海南省2023-2024学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试卷(含答案)

这是一份海南省2023-2024学年高二下学期学业水平诊断（二）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知随机变量,且,则( )
A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9
3．以下关于一元线性回归模型的说法中,错误的是( )
A.相关系数的绝对值越接近0,则两个变量的线性相关程度越弱
B.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合效果越好
C.点一定在经验回归直线上
D.若经验回归方程为,则x每增加1个单位,的值就增加10个单位
4．在复平面内,复数z对应的点和对应的点关于虚轴对称,则( )
A.B.C.D.
5．的展开式中,的系数为( )
A.B.C.D.
6．记为等差数列的前n项和,若,,则( )
A.144B.120C.108D.96
7．若当时,不等式恒成立,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数若关于x的方程有两个不同的实根,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知为等比数列,,,记是的前n项和,则( )
A.的公比为9B.是等比数列
C.为等差数列D.
10．某种常见病分为甲,乙,丙三种类型,甲型病的患病率为3%,其中30%的患者出现症状S,乙型病的患病率为3.5%,其中20%的患者出现症状S,丙型病的
患病率为0.5%,其中80%的患者出现症状S.若该病的患者只能得甲,乙,丙三种
类型中的一种,且症状S是该病的特有症状,则下列说法正确的是( )
A.该病的患病率为7%
B.从该病的患者中任选1人,此人患乙型病的概率为0.35
C.从人群中任选1人,此人出现症状S的概率为0.02
D.若某人出现症状S,则此人患丙型病的概率为0.2
11．已知F为双曲线的右焦点,过F的直线l与圆相切于点M,且l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率为
B.直线OM是C的一条渐近线
C.若,则C的离心率为
D.若,则C的渐近线方程为
三、填空题
12．已知向量,,若且,则________.
13．已知直线与抛物线在第一象限交于点P,若点P到C的准线的距离为,则________.
14．若函数的图象在点处的切线方程为,则________;若方程有两个不等的实根,则实数t的取值范围为________.
四、解答题
15．甲､乙两名同学进行乒乓球比赛,比赛采用七局四胜制（有一方先胜四局即获胜,比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率都是,且各局比赛的结果相互独立.
（1）求比赛结束时恰好打了4局的概率;
（2）若已知前4局中甲已胜了3局,记表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求的分布列及数学期望.
16．已知各项均不为零的数列满足:.
（1）证明是等差数列,并求的通项公式;
（2）记数列的前n项和为,证明:.
17．如图,在四棱台中,平面ABCD,四边形ABCD为菱形.
（1）证明:平面平面;
（2）若,,M是棱BC上靠近点C的三等分点,求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的长轴长与短轴长的差为2,且离心率为,O为坐标原点.
（1）求E的方程.
（2）过点且不与y轴重合的动直线l与E相交于A,B两点,AB的中点为Q.
①证明:直线l与OQ的斜率之积为定值;
②当的面积最大时,求直线l的方程.
19．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若,且存在两个极值点,.
①求a的取值范围;
②证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：,,则
故选:A.
2．答案：C
解析：先根据随机变量的对称性可知关于对称,
因为,
,
则
故选:C.
3．答案：D
解析：选项A:由相关系数r的绝对值越接近0,则两个变量的线性相关程度越弱,可知选项A正确;
选项B:由在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合效果越好可知选项B正确;
选项C:由点一定在经验回归直线上知选项C正确;
选项D:由回归方程的性质可知;若经验回归方程为,则x每增加1个单位,的值就平均增加3个单位,可知D选项C错误.
故选:D.
4．答案：C
解析：,
因为复数对应的点和对应的点关于虚轴对称,
所以.
故选:C
5．答案：A
解析：由,
当,解得,
所以的系数为,
故选:A.
6．答案：B
解析：记为等差数列的前n项和,则,,,也是等差数列.
由于,,则,,,成等差数列.
则,解得.
则3,21,39,成等差数列.故,则.
故选:B.
7．答案：B
解析：
因为所以,则,
又因为不等式恒成立,
所以的取值范围,
故选:B.
8．答案：D
解析：,则关于x的方程有两个不同的实根,即关于x的方程有两个不同的实根.
即与有两个不同的交点.
令,,,解得.
,,递增,,,递减,
则有极大值.,,
则可画出的草图.与有两个不同的交点.
则实数m的取值范围是.
故选:D.
9．答案：BC
解析：因为是等比数列设公比为q,,,A选项错误;
,B选项正确;
,C选项正确;
,D选项错误.
故选:BC.
10．答案：ACD
解析：设患甲型病为事件A,患乙型病为事件B,患丙型病为事件C,出现症状S为事件H,
由题意知,,,,,,,
对A,因为该病的患者只能得甲､乙､丙三种类型中的一种,所以互斥,所以该病患病率为,故A正确;
对B,该病的患者中任选1人,此人患乙型病的概率为,故B错误;
对C,从人群中任选1人,此人出现症状S的概率为,故C正确;
对D,所求概率为,故D正确;
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A,根据题意,,设直线,
又因为直线l与圆相切于点M,
所以,,,A正确;
对于B,根据题意可知,可得,
所以直线是C的一条渐近线,B正确;
对于C,若,根据题意,联立,解得,
同理联立,解得,
由于,故,即,
化简得,则C的离心率为,C错误;
对于D,设,依题意知,则,
故,得,,
故,代入,得,
所以,则,,
得,则C的渐近线方程为,D正确;
故选:ABD
12．答案：
解析：,,
又因为,所以.
故答案为:
13．答案：3
解析：抛物线的准线方程为,
由,得,即,
解得或,
所以点P的横坐标为,
因为点P到C的准线的距离为,
所以,解得.
故答案为:3
14．答案：/,
解析：由,得,
所以切线的斜率为,,
所以切线方程,即,
因为切线方程为,所以,
所以;
由,得,所以,
令,,则直线与的图象有两个交点,
,
由,得,由,得,
所以在上递增,在上递减,
所以的极大值为,
当时,,当时,,
所以的大致图象如图所示,
由图可知当时,直线与的图象有两个交点,
此时,即实数t的取值范围为.
故答案为:,
15．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）第一种情况:比赛结束时恰好打了4局且甲获胜,
则概率为;
第二种情况:比赛结束时恰好打了4局且乙获胜,
则概率为.
所以比赛结束时恰好打了4局的概率为;
（2）依题意得X的所有可能取值为1,2,3,
,,,
X的分布列为
.
16．答案：（1）证明见解析,
（2）证明见解析
解析：（1）因为,故由,
可得,
又,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,
所以,故.
（2）易得,
所以
易知在时是递增的,所以,
因此.
17．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）证明:因为平面ABCD,平面ABCD,所以.
因为四边形ABCD为菱形,所以.
因为,,平面,
所以平面,
又平面,
所以平面平面.
（2）在平面ABCD内,过点A作BC的垂线交BC于点N,以AN,AD,所在直线分别为x轴､y轴､z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设,则,,因为,所以是等边三角形,
故N是BC的中点,于是,.
因为M是棱BC上靠近点C的三等分点,所以,.
故,,,
所以,.
记平面的法向量为,
则,
令,则,,即.
易知平面的一个法向量为,
则,
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）①证明见解析;②或.
解析：（1）设E的半焦距为,
由已知,得解得
故E的方程为.
（2）①由题可设,,.
将,消去y,得.
当,即时,有,.
所以,,即,
可得,所以,即直线l与OQ的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点O到直线l的距离,
所以的面积.
设,则,,
当且仅当,即时等号成立,且满足.
所以当的面积最大时,直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）①;
②证明见解析
解析：（1）,,则,则
又,
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）①的定义域为R,,
设,则,令,得.
由,得,由,得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以.
因为存在两个极值点,所以有两个零点,
所以,得.
又当时,,当时,,
所以满足有两个零点,有两个极值点,故a的取值范围是.
②不妨设,由（1）知,,
两式相减,可得,得.
要证,只需证,
即证,
即证.
令,则需证,即证.
设,则当时,,
所以在上单调递增,所以,
所以在上单调递增,所以.
综上,.
X
1
2
3
P