2025高考数学一轮复习-第1讲-集合及其运算【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第1讲-集合及其运算【课件】，共51页。PPT课件主要包含了激活思维，2＋∞，确定性，聚焦知识，互异性，无序性，集合间的基本关系，n－1，集合的基本运算，集合中元素的性质等内容，欢迎下载使用。
1．若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　)A．1∈AB．{－1}⊆AC．∅⊆AD．{－1，1}∉A
2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是(　　)A．A∪B＝BB．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2}D．(∁RB)∪(∁RA)＝R
因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2＜2x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x＞2}．
3．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____．
因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，当a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.
4．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为______________．
因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
1．集合与元素(1) 集合中元素的三个特性：__________、__________、__________．(2) 常见集合的符号表示
注：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有______个子集，_________个真子集．
4．常见结论与等价关系A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A；(∁UA)∪A＝_____；∁U(∁UA)＝_____．
(1) 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是______________．
若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．
变式　(1) 已知集合A＝{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2，3}}，则集合A中的元素个数为_____．
x∈{1，2}表示x的取值为1、2两个，y∈{1，2，3}表示y的取值为1、2、3三个，构成有序实数对共有2×3＝6对．
变式　(2) 已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝_________．
(2) 已知集合A＝{x∈N*|x2－2x－3＜0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为(　　)A．3B．4C．7D．8
A＝{x∈N*|x2－2x－3＜0}＝{x∈N*|－1＜x＜3}＝{1，2}，所以满足B⊆A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，故个数为3.
(3) 已知集合A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|y＝ln (6＋x－x2)}，且A⊆B，则(　　)A．－1≤a≤2B．－1＜a＜2C．－2≤a≤1D．－2＜a＜1
因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.
因为B⊆A，所以：①当B＝∅时，ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
(1) 已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)A．{－2，－1，0，1}B．{0，1，2}C．{－2}D．2
方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．方法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.
(2) 设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则A∩(∁UB)＝(　　)A．(1，2)B．(1，2]C．[1，2)D．[1，2]
解不等式|x－2|≤1，得1≤x≤3，则A＝[1，3].解不等式2x－4≥0，得x≥2，则B＝[2，＋∞)，∁UB＝(－∞，2)，所以A∩(∁UB)＝[1，2).
变式　(1) 若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)＝{1，6}．
变式　(2) 设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝(　　)A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅
因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪(∁UM)＝(　　)A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}
因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}．又N＝{2，5}，所以N∪(∁UM)＝{2，3，5}．
2．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)A．∅B．SC．TD．Z
任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S.因此，S∩T＝T.
3．已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|x2－2x≥0}，则M∩N＝(　　)A．(－∞，0]∪(1，＋∞)B．(1，2]C．(1，＋∞)D．[2，＋∞)
由x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2，故M∩N＝[2，＋∞).
4．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为(　　)A．2B．4C．8D．16
A＝{x∈N|1＜x＜4}＝{2，3}，故其子集个数为22＝4.
5．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_____人．
设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．因为总人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，得x＝45－38＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．
2．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝(　　)A．{0，2，4，6，8}B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8}D．U
由题得∁UN＝{2，4，8}，所以M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．
4．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为(　　)A．2B．3C．4D．6
由题可知A＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0，1}，共有4个子集．
5．已知集合A＝{x|3x－1＞8}，B＝{x|x≤10}，则A∩B＝(　　)A．(10，＋∞)B．(3，10)C．(3，10]D．[10，＋∞)
如图，将集合A＝{x|3x－1＞8}＝{x|x＞3}和集合B标在数轴上，由图可知C正确．
6．设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　)A．∁U(M∪N)B．N∪(∁UM)C．∁U(M∩N)D．M∪(∁UN)
由题意可得M∪N＝{x|x＜2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x＞－1}，故B错误；M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，故C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x＜1或x≥2}，故D错误．
7．已知集合A＝{1，2}，B＝{a－1，a2＋2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为(　　)A．0B．1C．2D．3
因为A＝{1，2}，B＝{a－1，a2＋2}，且A∩B＝{1}，又a2＋2≠1，所以a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1，6}，符合题意．
8．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－2x＝0}的关系的Venn图是(　　)
由x2－2x＝0，解得x＝2或x＝0，则N＝{0，2}．又M＝{x|0≤x≤2}，则N⊆M，故M和N对应的Venn图如B所示．
10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为(　　)A．36　　　　　　　　B．35　　　　　　　　C．34　　　　　　　　D．33
如图，设两个项目都参加的有x人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，则数学组共有5＋18－x＋x＋20－x＝43－x(x≥8)人，显然43－x≤35.
对于A，A∪D＝{x|x≥－2}≠R，所以A错误；对于B，A∩B＝∅，所以B正确；对于C，因为A∪B＝{x|x≤－1或x＞0}，所以∁R(A∪B)＝{x|－1＜x≤0}D，所以C正确；对于D，因为D＝{z|z≥－2}，所以∁RD＝{z|z＜－2}．因为B＝{y|y≤－1或y＞1}，所以∁RDB，所以D正确．
12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　)A．P⊆MB．M∩P＝MC．N∪P＝PD．M∩(∁PN)＝∅
由M∩N＝N可得N⊆M.由M∪P＝P，可得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误．
13．已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论正确的是(　　)A．M∩(∁RN)＝∅B．M∪(∁RN)＝RC．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM
因为N∩(∁RM)＝∅，所以N⊆M.若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M，得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M，得(∁RN)⊇(∁RM)，故C错误，D正确．
14．我们知道，如果集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B.例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列选项正确的是(　　)A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆B
C．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}
对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3，8}，A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A－B＝∅，知A⊆B，B正确；
对于C，由韦恩图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁UA)，C错误；对于D，∁RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，D正确．
三、 填空题15．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝______________．
由x2＋2x－3＜0，解得－3＜x＜1，所以A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，B是偶数集，所以A∩B＝{－2，0}．
16．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是___________________________________．
(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}
由题意，原问题转化为方程ax2－2x＋a＝0至多只有一个根．当a＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a≠0时，方程ax2－2x＋a＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a2≤0，解得a≤－1或a≥1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．
由x－a≥0，得x≥a，所以B＝[a，＋∞).因为A＝[1，6]，且A⊆B，所以a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].
18．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为_____．