2025高考数学一轮复习-第35讲-直线、平面垂直的判定与性质【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第35讲-直线、平面垂直的判定与性质【课件】，共56页。PPT课件主要包含了激活思维，聚焦知识，举题说法，随堂练习，配套精练等内容，欢迎下载使用。

1．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是(　　)A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误．B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误．C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确．D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．
3．(多选)下列说法正确的是(　　)A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a⊂α，但直线a与平面β不垂直，故B错误；
对于C，若平面α⊥平面β，它们的交线记为直线l，显然直线l⊂平面β，在平面α内一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确；对于D，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确．
4．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为(　　)
如图，取B1C1的中点E，连接A1E，CE.根据题意易得A1E⊥侧面BCC1B1，所以∠A1CE即为A1C与侧面BCC1B1所成的角．
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的____________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件的序号即可)．
连接AC(图略).因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面各边都相等，所以AC⊥BD.因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则下列说法正确的是(　　)A．α∥β，l∥αB．α⊥β，l⊥βC．α与β相交，且交线平行于lD．α与β相交，且交线垂直于l
与线、面垂直相关命题的判定
由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，故A，B错误．又l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故C正确，D错误．
变式　已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是(　　)A．若m⊥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
对于A，过直线n找一个平面与平面α相交，设交线为l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故A不正确．对于B，若m∥α，α∥β，则m⊂β或m∥β，故B不正确．
对于C，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n⊂α.当n⊂α时，因为n⊥β，所以根据面面垂直的判定定理可得α⊥β；当n∥α时，过n作平面γ∩α＝l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为n⊥β，所以l⊥β，又因为l⊂α，所以α⊥β.综上，C正确．对于D，若α⊥β，设α∩β＝l，作直线m∥l，则m∥α，m∥β，故D不正确．
如图，在三棱锥S-ABC中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，∠SAB＝∠SCB＝∠ABC＝90°.求证：AC⊥SB.
线面垂直的判定定理与性质定理的应用
如图，取AC的中点E，连接SE，BE.因为AB＝BC，所以BE⊥AC.
在△SCB和△SAB中，∠SAB＝∠SCB＝90°，AB＝BC，SB＝SB，所以△SCB≌△SAB，所以SA＝SC.
因为E为AC的中点，所以SE⊥AC.又因为SE∩BE＝E，SE，BE⊂平面SBE，所以AC⊥平面SBE.因为SB⊂平面SBE，所以AC⊥SB.
变式　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为棱PB和PC上的点，且AE⊥PB，AF⊥PC，求证：EF⊥PC.
由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，知PA⊥BC.由底面ABCD为正方形，知AB⊥BC.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而AE⊂平面PAB，则BC⊥AE.
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.因为AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PC.
面面垂直的判定定理与性质定理的应用
设BF∩AO＝Q，则Rt△QBO∽Rt△BAO，所以∠QBO＝∠BAO＝∠BCA，所以BF＝CF.又∠ABC＝90°，故F为AC中点．又E为AP中点，所以EF∥PC.因为PC∥DO，所以EF∥DO.又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，所以EF∥平面ADO.
又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，所以AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.
(2) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为线段A1B1的中点，E为线段CC1的中点，AC＝CE＝1，平面ABE⊥平面AA1C1C，求证：AB⊥AE.
如图，取AE的中点F，连接CF.因为AC＝CE，所以CF⊥AE.
又平面ABE⊥平面AA1C1C，平面ABE∩平面AA1C1C＝AE，CF⊂平面AA1C1C，所以CF⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，所以CF⊥AB.依题意知CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB.又CC1∩CF＝C，CC1，CF⊂平面AA1C1C，所以AB⊥平面AA1C1C.又AE⊂平面AA1C1C，所以AB⊥AE.
又AC⊂平面ABC，所以PB⊥AC.又AC⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以BC⊥AC.
垂直关系的综合应用——角与距离的计算
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD.(1) 求证：PB⊥BC；
如图，取AD的中点O，连接BO，CO，PO.由侧面PAD为正三角形知PO⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
由勾股定理知OB2＋BC2＝OC2，所以BC⊥OB.又因为PO⊥BC，PO，OB⊂平面POB，PO∩OB＝O，所以BC⊥平面POB.因为PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD.(2) 求CD与平面PBC所成的角的正弦值．
1．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)A．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βB．若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥βD．若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥β
对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确．对于B，若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误．对于C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误．对于D，若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误．
2．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥ AC，过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部
因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.
因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D
对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD.又BB1⊥EF，从而EF⊥平面BDB1.又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确．
对于B，因为平面A1BD∩平面BDB1＝BD，显然BD不垂直于平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B错误．对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误．对于D，连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D.又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，则平面A1C1D与平面B1EF不平行，故D错误．
4．(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则(　　)A．AD1∥平面BOC1B．BD⊥平面COC1C．C1O与平面ABCD所成的角为45°
如图，因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BOC1，BC1⊂平面BOC1，所以AD1∥平面BOC1，故A正确．
因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1，又BD⊥CO，CO∩CC1＝C，CO，CC1⊂平面COC1，所以BD⊥平面COC1，故B正确．
A组　夯基精练一、 单项选择题1．下列说法中错误的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β
对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行，故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n(垂直于同一平面的两条直线互相平行)，故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α，β相交或平行，故D错误．
3．如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论不成立的是(　　)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC
因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，易证BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，而DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此B，C均正确．因为点P在平面ABC的射影为△ABC的中点，并不在DE上，所以D不成立．
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是(　　)
对于A，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于C，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1-D1PC的体积为定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．
二、 多项选择题5．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　)
对于B，如图(2)，取NT的中点Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，在正方体SBCM-NADT中，SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩TN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，故OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，因为PO⊂平面OPQ，所以MN⊥OP，故B正确；对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，同理可得OP⊥BD，则OP⊥MN，故C正确；
对于D，如图(4)，取AD的中点Q，连接PQ，QO，OD，BD，OA，则MN∥BD∥PQ，所以∠QPO或其补角为异面直线PO与MN所成的角，
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则(　　　)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故A，B正确；
直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故D正确．
三、 填空题7．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________________时，平面MBD⊥平面PCD.
BM⊥PC(或DM⊥PC)
由题知△PAB≌△PAD，所以PB＝PD，可知△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，故PC⊥平面MBD，因为PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
8．已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，△ABC是底面圆O的内接正三角形，点P在DO上，且PO＝λDO.若PA⊥平面PBC，则实数λ＝______.
如图，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，PO⊥平面ABC，连接CO.因为CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO，又OD⊂平面PDO，所以CD⊥OD.
如图，连接AB1，A1B，设AB1∩A1B＝O，连接OM.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.
因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BM⊥平面ACC1A1，因为AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为AC＝2，所以AM＝1.
因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面AA1C1C.又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.
11．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且BB1＝B1C1＝C1C＝1，BC＝2，底面△ABC为正三角形．(1) 求三棱台ABC-A1B1C1的体积；
(1) 在三棱台ABC-A1B1C1中，因为△ABC为正三角形，所以△A1B1C1也为正三角形．
因为侧面BB1C1C⊥底面ABC，侧面BB1C1C∩底面ABC＝CB，C1H⊥CB，C1H⊂平面CBB1C1，所以C1H⊥平面ABC，所以C1H为三棱台ABC-A1B1C1的高．
11．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且BB1＝B1C1＝C1C＝1，BC＝2，底面△ABC为正三角形．(2) 过点B1作平面B1DE∥平面AA1C1C，分别交BC，AB，A1B于D，E，F，求证：B1E⊥平面A1BC.
如图，连接DF，A1E.因为平面B1DE∥平面AA1C1C，平面A1CB∩平面ACC1A1＝CA1，平面A1CB∩平面DB1E＝DF，所以CA1∥DF，同理CC1∥DB1.由CB∥C1B1，知四边形CDB1C1为平行四边形．
因为A1B1∥EB，A1B1＝EB＝B1B＝1，所以四边形A1B1BE为菱形，所以A1B⊥B1E，F为A1B中点．又DE＝DB1，所以DF⊥B1E.又DF∥CA1，所以CA1⊥B1E.又A1B∩CA1＝A1，A1B⊂平面A1BC，CA1⊂平面A1BC，所以B1E⊥平面A1BC.