人教A版高中数学 选择性必修一 期末整合练习 分层练习（含答案解析）

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【基础篇】
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．椭圆的焦距为2，则的值等于（ ）
A．5B．8C．5或3D．5或8
2．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．以下命题正确的个数是（ ）
①命题“，”的否定是“，”．
②命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．
③若为假命题，则、均为假命题．
A．个B．个C．个D．个
4．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）
A．3B．2C．D．
5．若椭圆的弦被点平分，则所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．设是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线于另一点M，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
8．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，，两点在双曲线的右支上，为中点，为轴上一点，且.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、单选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
9.设P是椭圆C：上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2
C. 1≤PF1·PF2≤2 D. 0≤≤1
10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为
A．B．C．D．
11. 已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为D．
12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
A.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
C.曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
D. ①②③都不对
其中，所有正确结论序号是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将正确的答案填在题中的横线上．）
13.若双曲线的离心率为，则实数__________．
14．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
15.曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称; ③若点在曲线上,则,的面积不大于，其中，所有正确结论的序号是_____.
16．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）分别求适合下列条件的方程：
（1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
（2）一个焦点为，渐近线方程为的双曲线标准方程.
18．（12分）已知圆经过三点，，.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求过点且被圆截得弦长为的直线的方程.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是线段上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于，点，使得？并说明理由.
20．（12分）已知命题；命题．
（1）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
21．（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.
22．（12分）已知定圆,动圆过点,且和圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，点．若、、三点不共线,且．证明：动直线经过定点．
【提高篇】
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
2. 下列四个命题为真命题的是
A. “若，则互为相反数”的逆命题；
B. “全等三角形的面积相等” 的否命题；
C. “若，则无实根”的逆否命题；
D. “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；
3. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. （1，）B. （1，2）
C. （1，2]D. （1，]
7. 试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为

A. B.
C. D.
8. 已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边､､的中点分别为､､，且三条边所在直线的斜率分别为､､，且､､均不为0.为坐标原点，若直线､､的斜率之和为1.则（ ）
A. B. -3C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
9．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是
A．1B．2C．3D．4
10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为
A．B．C．D．
11. 已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为D．
12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
A.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
C.曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
D. ①②③都不对
其中，所有正确结论序号是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
二､填空题
13. 抛物线的准线方程为________．
14．若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是__________.
15．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.
16. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则________.
三､解答题
17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程.
18. 已知命题，，命题实数满足：方程表示双曲线．
1若命题为真命题，求实数的取值范围；
2若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过焦点且倾斜角为交抛物线于两点，求线段的长．
20.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
21.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
22. 如图，椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.
同步练习答案
【基础篇】
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】C
【解析】当焦点在轴上时：，，解得：，当焦点在轴上时：，，解得：，所以或，故选：C.
2．【答案】A
【详解】由题意，椭圆，即，可得椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的焦点坐标为.故选：A.
3．【答案】C
【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，①正确；②正确；、一真一假时，为假命题，③错误；
4．【答案】B
【解析】
是双曲线的两顶点，将椭圆长轴四等分
椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍
双曲线与椭圆有公共焦点，
的离心率的比值是，故答案选.
5．【答案】B
【详解】设，则满足，两式作差得，
又被点平分，故，
且直线的斜率存在，所以， 化简得，则所在直线方程为，化简得故选：B．
6．【答案】D
【详解】解：设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可得为平行四边形，所以，，
设，则，所以，即，
，，
在中，由余弦定理可得：，整理可得：，
可得离心率，故选：D．
7．【答案】B
【解析】化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
8．【答案】C
【详解】解：设，由题意可知，轴，不妨令，（其中）.因为，所以，
解得.
由题易知，整理得，即，即，又，所以.故选C.
二、单选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
9.【答案】ACD
【详解】椭圆长轴长为，根据椭圆定义，故选A； 设P是椭圆C的任意一点，则，所以，B错误；
,而，所以，C正确；,又根据椭圆性质有，所以，D正确。故选:ACD.
10．【答案】
【解析】：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，求得，或，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．故选：．
11. 【答案】 BCD
【详解】由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；，故D选项正确．
12.【答案】AB
【解析】由得,
,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线
恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论A正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论B正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法C错误.
三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将正确的答案填在题中的横线上．）
13.【答案】2
【解析】
，.渐近线方程是.
14．【答案】
【详解】，使是假命题，
则，使是真命题，
当，即，转化为，不是对任意的恒成立；
当，，使即恒成立，即
，第二个式子化简得，
解得或 所以
15.【答案】②③
【解析】
【详解】设曲线上点的坐标为，则
①将代入曲线方程知：
曲线不过坐标原点，①错误；
②若在曲线上，将代入曲线方程，可知方程成立，则曲线关于坐标原点对称，②正确；
③，③正确.
故答案为：②③
16．【答案】
【详解】据题意，，解得，，于是，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【详解】（1）由已知条件可得，可得，，
因此，所求椭圆的标准方程为；
（2）设所求双曲线的方程为，化为标准方程得，
由于该双曲线的一个焦点坐标为，则，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
18．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）和.
【解析】（Ⅰ）由题意，设圆的方程为，列出方程组，求解的值，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心坐标为，半径为，弦长为时，得到圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得直线的斜率，即可求求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心坐标为，半径为，弦长为时，圆心到直线的距离为：.
①若直线斜率不存在，直线方程为，经检验符合题意；
②若直线斜率存在，设直线斜率为，则直线方程，
即，则，解得，
所以直线方程为，即.
综上可知，直线方程为和.
19．【答案】（1）；（2）当时，存在这样的直线，，当，不存在；证明见解析
【解析】（1）结合已知条件，可求，，由，可以求的值，进而可求椭圆的方程.
（2）有题意可知，假设存在满足条件的直线，设的方程为，代入，设，，根据根与系数的关系可以求 ，根据，从而可求的中点为，由可得，可得， 之间的关系，结合的范围可求.
【详解】
由题意可得，解得：，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
（2）由（1）得，所以，假设存在满足条件的直线，
设的方程为，代入，得，
设，，则，，
，
设的中点为，则，
因为 ，所以，所以，
即，
所以，
当时，，即存在这样的直线，
当时，不存在，即不存在这样的直线.
20．【详解】由得 ，，
设
（1）时，由已知可知与一真一假
若为真命题，为假命题，则，所以
若假命题，为真命题，则，
则，
综上：
（2）根据题意知：是的充分条件，是的充分条件，即
，解得，所以实数的取值范围.
21．【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）1.
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意知，，得，，代入椭圆的方程，再由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积得，求得的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，得到，
当直线的斜率存在时，设:，联立方程组，求得，求得中点的坐标，代入圆的方程，得，再由弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到的表达式，即可求解面积的最大值．
试题解析：
（Ⅰ）由题意知，得，，所以，
由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，
所以，，椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，
令，得，，
当直线的斜率存在时，设:，，，，
由，得，
则，，
所以，，
将代入，得，
又因为 ，
原点到直线的距离，
所以

.
当且仅当，即时取等号.
综上所述，面积的最大值为1.
22．【详解】(1)圆的圆心为,半径. 设动圆的半径为,依题意有．由 ,可知点在圆内,从而圆内切于圆,故,即 .所以动点的轨迹E是以、为焦点,长轴长为4的椭圆,其方程为
(2) 设直线的方程为,联立消去得,
, .
设,,
则,.
于是,
由知.
即
,得,.
故动直线的方程为,过定点.
【提高篇】
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 【答案】C
【详解】表示焦点在轴上的椭圆
，解得：
故选：
2. 【答案】A
【解析】选项的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题；
选项的逆否命题为“若有实根，则”，当有实根，则，解得，可知为假命题；
选项的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”，显然为假命题.
本题正确选项：
3. 【答案】B
【解析】由题,“不破楼兰终不还”意味着如果“返回家乡”,则一定“攻破楼兰”；
但“攻破楼兰”后,否还有其他任务,诗句中并未提及,无法判断此时可否“返回家乡”；故选:B
4. 【答案】D
【解析】
试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．
5. 【答案】A
【解析】设，因为，所以，即，解得，
设在任取一点，则此点取自正方形的事件为，
由几何概型概率公式可得，
.故选A.
6. 【答案】D
【解析】设的内切圆的半径为，则
，
因为，所以,
由双曲线的定义可知，所以，即，
又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D．
7. 【答案】A
【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．
过点P作于点，由定义可得所以，
由图形可得，当三点共线时，最小，此时．
故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．
8. 【答案】A
【解析】因为椭圆的右焦点为，且离心率为，所以，解得 ，
所以椭圆方程为：，设 ，则，
两式相减得：，即，同理，
又直线､､的斜率之和为1，所以，故选：A
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
9．【答案】
【解析】：由，解得．又是的充分不必要条件，
，，，则．实数的值可以是2，3，4．
故选：．
10．【答案】
【解析】：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，求得，或，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．故选：．
11. 【答案】 BCD
【详解】由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；，故D选项正确．
12.【答案】AB
【解析】由得,,
,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线
恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论A正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论B正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法C错误.
二､填空题
13. 【答案】
【解析】因为抛物线的标准方程为：，因此其准线方程为：.故答案为
【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
14．【答案】
【解析】由得，
曲线C1表示以为圆心以1为半径的上半圆，
显然直线与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点，
∴直线与半圆有2个除端点外的交点，
当直线经过点时，，当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）
所以时，直线与半圆有2个除端点外的交点，
故答案为：
15．【答案】
【解析】由已知得，故，∵的面积为，
∴，∴，又，
∴，，∴，
又，∴，
∴.即的取值范围为.故答案为
16. 【答案】
【解析】过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C,设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，），准线：y＝﹣，
根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，
由图可知：，即，解得x＝，则．
故答案为：
三､解答题
17. 【答案】（1）或.；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别讨论焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，根据题中条件，分别求解，即可得出结果；
（2）根据题中条件，设双曲线标准方程为，点在双曲线上， 直接代入，求出，即可得出结果.
【详解】（1）若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，
由长轴长知：，；由焦距知：，
，解得：；
椭圆标准方程为：；
若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，
同焦点在轴上，可得，，
所以椭圆方程为；
综上，所求椭圆方程为或.
（2）所求双曲线与双曲线=1有共同的渐近线，
可设双曲线标准方程为，
又过点，所以，解得，
所以即所求.
【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求双曲线的标准方程，属于基础题型.
18. 【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
1，恒成立，可得，从而求得m的范围；2由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．
【详解】1，恒成立，
，解得，
实数m的取值范围是；
2“p或q”为假命题，，q均为假命题，
当q为真命题时，则，解得或．
为假命题时，．
由知，p为假命题时．
从而，即．
实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．
19. 【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由题意得，求出，即可得出抛物线方程；
（2）先由题意，得到直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.
【详解】（1）由题意得，
∴，故抛物线方程为．
（2）直线的方程为，即．
与抛物线方程联立，得，
消，整理得，其两根为，且．
由抛物线的定义可知，．
所以，线段的长是．
【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.
20.【答案】（1）（2）直线l不存在．详见解析
【解析】（1）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，
设双曲线方程为：，过点，可得，
所求双曲线方程为：．
（2）假设直线l存在．设是弦MN的中点，
且，，则，．
，N在双曲线上，，，
，，
直线l的方程为，即，
联立方程组，得
，直线l与双曲线无交点，直线l不存在．
21.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．
【解析】(1)设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
22. 【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，结合即得解；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，设，，用点坐标表示，韦达定理代入即得解.
【详解】（1）由题设知，，结合，
解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由题设知，直线的方程为，代入，得
.
由已知，
设，，，
则，，
从而直线的斜率之和
.
所以直线斜率之和为定值2.
【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.