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实战演练04 高中常见的恒（能）成立问题（4大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）
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一、恒成立和有解问题思路一览
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
五、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 .
5．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ．
②基本不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
二、填空题
4．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 .
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
③函数中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 .
8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 .
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．1D．e
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是
10．（2024·广西·模拟预测）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是 ．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
②基本不等式中的恒（能）成立问题
③函数中的恒（能）成立问题
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
五、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 .
5．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ．
②基本不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
二、填空题
4．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 .
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
③函数中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 .
8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 .
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．1D．e
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是
10．（2024·广西·模拟预测）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是 ．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
②基本不等式中的恒（能）成立问题
③函数中的恒（能）成立问题
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
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