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安徽省蚌埠市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份安徽省蚌埠市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 已知函数若，则m的值为， 在的展开式中，的系数是， 中，“”是“”的， 已知函数，则函数的解析式为， 已知事件A，B，，，，则，05等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 若，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数若，则m的值为（ ）
A. B. 2C. 9D. 2或9
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 20D. 80
6. 中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知事件A，B，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A. 变量与具有负相关关系B. 剔除后不变
C. 剔除后回归方程为D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是曲线的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 若方程在上有且仅有6个解，则
11. 已知函数及其导函数的定义域均为．若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. ）
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，写出一个满足题意的实数的值：__________.
13. 安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.
14. 函数在处的切线方程为_________；若有两个零点，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最大值.
16. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．
（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；
（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
17. 我国为了鼓励新能源汽车发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为．
（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．
并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？
（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
18. 定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为．
（1）若向量的“伴随函数”满足，求的值；
（2）已知，设，且的“伴随函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时向量，的关系．
19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19~35岁
35岁以上
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2706
3.841
6.635
7879
10.828
蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测
高二数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
2. 若，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用对数函数单调性判断大小即可.
【详解】因为单调递增，又,所以,可得;
又因为单调递增，又,所以,所以,可得,
所以.
故选：B.
3. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据坐标计算，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为，
所以向量在上的投影向量为.
故选：A
4. 已知函数若，则m的值为（ ）
A. B. 2C. 9D. 2或9
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得或，即求.
【详解】∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 20D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】先求出展开式中的通项，再求出值即可．
【详解】展开式中的通项公式为：
，
令，则，
展开式中的系数为，
故选：D．
6. 中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】在三角形中，因为，所以，即
若，则，即，
若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知
所以“”是“”的充要条件
故选：C
7. 已知函数，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
8. 已知事件A，B，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用条件概率公式及全概率公式计算即可.
【详解】因为,所以,
所以,
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A. 变量与具有负相关关系B. 剔除后不变
C. 剔除后的回归方程为D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题.
【详解】对于A，由剔除前回归直线的斜率为，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，
两者均大于0，则变量与具有正相关关系，A错误；
对于B，剔除前，而剔除的两个数据点，，
因此剔除后不变，B正确；
对于C，剔除后，，而回归直线的斜率为，则回归直线方程为，C正确；
对于D，剔除后的回归直线方程为，当时，，则残差为，D错误.
故选：BC
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 是曲线的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 若方程在上有且仅有6个解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及，可求得，从而判断A，B，C；解出的6个正根，再求出第7个正根，即可得的范围，从而判断D．
【详解】解：对于A．，即，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，，
解得，，
又因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，故A正确；
对于B．因为，
所以，
所以不是函数的对称轴，故B错误；
对于C．因为，
易知此时函数为奇函数，故C正确；
对于D．，或，
即，或，
若方程在上有且只有6个根，
则将它们从小到大排列为：
，，，，，，
由规律可知，大于且离最近的使得的为，
所以，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数及其导函数定义域均为．若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. ）
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可判断A；结合和，化简得到，可判断B；对和，两边同时求导，得，从而得是以4为周期的周期函数，即可判断C；令，可得的周期为4，且令，用赋值法求得，，，，根据求解即可．
【详解】解：A．设函数的图象关于对称，
则关于对称，可得关于对称，
因为函数的图像关于点对称，可得，，解得，，
所以函数图象关于对称，所以A正确；
B．由函数的图象关于对称，可得，
因为，可得，
两式相减得，即，所以B不正确；
C．由，可得，
即，所以，
在中，两边求导得：，
即，，所以，
即，所以的周期为4，所以，故C正确；
D．令，可得，
因为，所以，
所以，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为，且函数关于对称，
可得（1），（2），
又因为，令，可得，
所以，再令，可得，所以，
由，可得，，，，
可得，
又由函数是以4为周期的周期函数，且，
所以
，所以D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是求出函数的周期以及一个周期内函数值的和，最后求和即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，写出一个满足题意的实数的值：__________.
【答案】2（本题答案不唯一，只要所写数值满足即可）
【解析】
【分析】解对数不等式求出集合，然后根据可得的范围，即可得答案.
【详解】由得，即，所以，
因为，所以或，得.
故答案为：2（答案不唯一）
13. 安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】先分组，然后将不含工作A的3组工作中选1组分配为甲，再分配其他3组工作即可.
【详解】第一步，将6项工作分为或有种情况；
第二步，从不含工作A3组工作中选1组分配为甲，有种情况；
第三步，将剩下的3组工作分配给其余3人，有种情况.
由分布计数乘法计数原理可得不同的安排方式有种.
故答案为：
14. 函数在处的切线方程为_________；若有两个零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一个空，对求导，求出和，即可求解切线方程；第二个空，进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可．
【详解】，则，
又，所以函数在处的切线方程为；
令，
所以．
令，定义域为，，
令，易知在上单调递增，且．
所以，
则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；当时，，
则，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想，构造函数，转化为直线与函数交点问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最大值.
【答案】（1），.
（2）10
【解析】
【分析】（1）直接求导得，解出值，验证即可；
（2）由（1）知，求导再列表即可得到其最大值.
【小问1详解】
，
因为在处取极小值5，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意.
所以，.
又，所以.
综上，，.
【小问2详解】
由（1）知，，
列表如下：
由于，故时，.
16. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．
（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；
（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）159人
（2）分布列见解析，，．
【解析】
【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解；
（2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解．
【小问1详解】
样本中100名学生每周阅读时间的均值为：
，
即，又，所以，
所以，
所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人）
【小问2详解】
因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，
故，，，
，，，
随机变量Y的分布列为：
故，．
17. 我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为．
（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．
并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？
（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
【答案】（1）表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关
（2）．
【解析】
【分析】（1）补全列联表，计算的值，与临界值比较即可判断；
（2）利用古典概型的概率公式求解．
【小问1详解】
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为，所以偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段得人数：（人），
故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段得人数：（人），
新能源汽车200名车主中在19~35岁年龄段的比例为，故人数为：（人）：
新能源汽车35岁以上的人数为：（人），
填表如下：
，
则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．
【小问2详解】
按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，
其中在岁年龄段的人数为人，35岁以上的人数为2，
从5人中任意取2人，共有种情况，
其中恰有1人在岁年龄段的有种情况，
故2人中恰有1人在 岁年龄段的概率为．
18. 定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为．
（1）若向量的“伴随函数”满足，求的值；
（2）已知，设，且的“伴随函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时向量，的关系．
【答案】（1）
（2）最小值为，此时．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出的“伴随函数”，然后表示出，令，利用换元的思想得到，再利用正切函数求解即可；
（2）设，，利用向量线性运算坐标表示得出，进一步得到的解析式，根据满足
则时，，从而，即可判断．
【小问1详解】
由题意知，向量的“伴随函数”为，
所以，
令，上式化为，
所以，，，
即．
【小问2详解】
设，，
因为，
所以
，
令，
若满足
则时，，其中，
此时，即，，故．
从而，等号当且仅当时成立，
所以的最小值为，此时．
19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以．
【小问2详解】
对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
【小问3详解】
对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
0
1
2
3
0
0
1
极大值6
极小值5
10
0
1
2
3
4
5
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19~35岁
35岁以上
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19~35岁
120
75
240
35岁以上
80
125
180
合计
200
200
400
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 若，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数若，则m的值为（ ）
A. B. 2C. 9D. 2或9
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 20D. 80
6. 中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知事件A，B，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A. 变量与具有负相关关系B. 剔除后不变
C. 剔除后回归方程为D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是曲线的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 若方程在上有且仅有6个解，则
11. 已知函数及其导函数的定义域均为．若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. ）
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，写出一个满足题意的实数的值：__________.
13. 安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.
14. 函数在处的切线方程为_________；若有两个零点，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最大值.
16. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．
（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；
（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
17. 我国为了鼓励新能源汽车发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为．
（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．
并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？
（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
18. 定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为．
（1）若向量的“伴随函数”满足，求的值；
（2）已知，设，且的“伴随函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时向量，的关系．
19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19~35岁
35岁以上
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2706
3.841
6.635
7879
10.828
蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测
高二数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
2. 若，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用对数函数单调性判断大小即可.
【详解】因为单调递增，又,所以,可得;
又因为单调递增，又,所以,所以,可得,
所以.
故选：B.
3. 已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据坐标计算，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为，
所以向量在上的投影向量为.
故选：A
4. 已知函数若，则m的值为（ ）
A. B. 2C. 9D. 2或9
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得或，即求.
【详解】∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 20D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】先求出展开式中的通项，再求出值即可．
【详解】展开式中的通项公式为：
，
令，则，
展开式中的系数为，
故选：D．
6. 中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】在三角形中，因为，所以，即
若，则，即，
若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知
所以“”是“”的充要条件
故选：C
7. 已知函数，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
8. 已知事件A，B，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用条件概率公式及全概率公式计算即可.
【详解】因为,所以,
所以,
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A. 变量与具有负相关关系B. 剔除后不变
C. 剔除后的回归方程为D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题.
【详解】对于A，由剔除前回归直线的斜率为，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，
两者均大于0，则变量与具有正相关关系，A错误；
对于B，剔除前，而剔除的两个数据点，，
因此剔除后不变，B正确；
对于C，剔除后，，而回归直线的斜率为，则回归直线方程为，C正确；
对于D，剔除后的回归直线方程为，当时，，则残差为，D错误.
故选：BC
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 是曲线的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 若方程在上有且仅有6个解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及，可求得，从而判断A，B，C；解出的6个正根，再求出第7个正根，即可得的范围，从而判断D．
【详解】解：对于A．，即，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，，
解得，，
又因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，故A正确；
对于B．因为，
所以，
所以不是函数的对称轴，故B错误；
对于C．因为，
易知此时函数为奇函数，故C正确；
对于D．，或，
即，或，
若方程在上有且只有6个根，
则将它们从小到大排列为：
，，，，，，
由规律可知，大于且离最近的使得的为，
所以，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数及其导函数定义域均为．若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. ）
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可判断A；结合和，化简得到，可判断B；对和，两边同时求导，得，从而得是以4为周期的周期函数，即可判断C；令，可得的周期为4，且令，用赋值法求得，，，，根据求解即可．
【详解】解：A．设函数的图象关于对称，
则关于对称，可得关于对称，
因为函数的图像关于点对称，可得，，解得，，
所以函数图象关于对称，所以A正确；
B．由函数的图象关于对称，可得，
因为，可得，
两式相减得，即，所以B不正确；
C．由，可得，
即，所以，
在中，两边求导得：，
即，，所以，
即，所以的周期为4，所以，故C正确；
D．令，可得，
因为，所以，
所以，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为，且函数关于对称，
可得（1），（2），
又因为，令，可得，
所以，再令，可得，所以，
由，可得，，，，
可得，
又由函数是以4为周期的周期函数，且，
所以
，所以D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是求出函数的周期以及一个周期内函数值的和，最后求和即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，写出一个满足题意的实数的值：__________.
【答案】2（本题答案不唯一，只要所写数值满足即可）
【解析】
【分析】解对数不等式求出集合，然后根据可得的范围，即可得答案.
【详解】由得，即，所以，
因为，所以或，得.
故答案为：2（答案不唯一）
13. 安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】先分组，然后将不含工作A的3组工作中选1组分配为甲，再分配其他3组工作即可.
【详解】第一步，将6项工作分为或有种情况；
第二步，从不含工作A3组工作中选1组分配为甲，有种情况；
第三步，将剩下的3组工作分配给其余3人，有种情况.
由分布计数乘法计数原理可得不同的安排方式有种.
故答案为：
14. 函数在处的切线方程为_________；若有两个零点，则实数的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一个空，对求导，求出和，即可求解切线方程；第二个空，进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可．
【详解】，则，
又，所以函数在处的切线方程为；
令，
所以．
令，定义域为，，
令，易知在上单调递增，且．
所以，
则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；当时，，
则，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想，构造函数，转化为直线与函数交点问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值5.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的最大值.
【答案】（1），.
（2）10
【解析】
【分析】（1）直接求导得，解出值，验证即可；
（2）由（1）知，求导再列表即可得到其最大值.
【小问1详解】
，
因为在处取极小值5，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意.
所以，.
又，所以.
综上，，.
【小问2详解】
由（1）知，，
列表如下：
由于，故时，.
16. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．
（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；
（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】（1）159人
（2）分布列见解析，，．
【解析】
【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解；
（2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解．
【小问1详解】
样本中100名学生每周阅读时间的均值为：
，
即，又，所以，
所以，
所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人）
【小问2详解】
因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，
故，，，
，，，
随机变量Y的分布列为：
故，．
17. 我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为．
（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．
并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？
（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
【答案】（1）表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关
（2）．
【解析】
【分析】（1）补全列联表，计算的值，与临界值比较即可判断；
（2）利用古典概型的概率公式求解．
【小问1详解】
在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为，所以偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段得人数：（人），
故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段得人数：（人），
新能源汽车200名车主中在19~35岁年龄段的比例为，故人数为：（人）：
新能源汽车35岁以上的人数为：（人），
填表如下：
，
则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．
【小问2详解】
按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，
其中在岁年龄段的人数为人，35岁以上的人数为2，
从5人中任意取2人，共有种情况，
其中恰有1人在岁年龄段的有种情况，
故2人中恰有1人在 岁年龄段的概率为．
18. 定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为．
（1）若向量的“伴随函数”满足，求的值；
（2）已知，设，且的“伴随函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时向量，的关系．
【答案】（1）
（2）最小值为，此时．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出的“伴随函数”，然后表示出，令，利用换元的思想得到，再利用正切函数求解即可；
（2）设，，利用向量线性运算坐标表示得出，进一步得到的解析式，根据满足
则时，，从而，即可判断．
【小问1详解】
由题意知，向量的“伴随函数”为，
所以，
令，上式化为，
所以，，，
即．
【小问2详解】
设，，
因为，
所以
，
令，
若满足
则时，，其中，
此时，即，，故．
从而，等号当且仅当时成立，
所以的最小值为，此时．
19. 若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以．
【小问2详解】
对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
【小问3详解】
对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
0
1
2
3
0
0
1
极大值6
极小值5
10
0
1
2
3
4
5
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19~35岁
35岁以上
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
偏好新能源汽车
偏好燃油车
合计
19~35岁
120
75
240
35岁以上
80
125
180
合计
200
200
400
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