2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习77二项分布超几何分布与正态分布（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习77二项分布超几何分布与正态分布（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·江西抚州模拟]袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好3人获奖的概率是( )
A．eq \f(38,243) B．eq \f(40,243)C．eq \f(70,243) D．eq \f(80,243)
2．已知随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝2，则P(X＝1)＝( )
A．eq \f(1,23) B．eq \f(1,24)C．eq \f(1,25) D．eq \f(1,26)
3．[2024·河北石家庄模拟]已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次(每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球)，规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X表示摸球8次后的总分值，则D(X)＝( )
A．8B．eq \f(16,9)
C．eq \f(16,3)D．16
4．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(26)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(30)) )的事件是( )
A．没有白球B．至少有一个白球
C．至少有一个红球D．至多有一个白球
二、多项选择题
5．[2024·重庆九龙坡模拟]一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有( )
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq \f(3,5)
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为eq \f(4,3)
C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为eq \f(3,5)
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq \f(26,27)
6．[2024·湖南岳阳模拟]下列说法正确的是( )
A．设随机变量X服从二项分布X～B(6，eq \f(1,2))，则P(X＝3)＝eq \f(5,16)
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是eq \f(1,7)
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
三、填空题
7．[2024·福建莆田模拟]已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(4，eq \f(1,3))，则P(ξ＝2)＝________．
8．[2024·山西临汾模拟]某市某年级数学统考的成绩服从正态分布N(80，100)，从中随机抽取100名学生，试估计这100名学生中分数超过100分的人数大约为________．(结果用四舍五入保留整数)(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)
9．[2024·广东江门模拟]学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求P(X≤1)＝________.
四、解答题
10．[2024·安徽安庆模拟]为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球．若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率；
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X，求X的分布列和期望．
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11．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]某产品的质量指标服从正态分布N(50，σ2).质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得σ至多为________．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<3σ)≈0.9974)
12．[2024·江苏常州模拟]设随机变量X～B(n，p)，记pk＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究pk的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若(n＋1)p为正整数，当k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p不为正整数，则当且仅当k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为________的概率最大．
课后定时检测案77 二项分布、超几何分布与正态分布
1．解析：从袋子中一次性摸出两个球，共有C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(6)) ＝15(种)情况，其中两个号码的和为3的倍数的有{1，2}，{1，5}，{2，4}，{3，6}，{4，5}，共5种情况，∴一个人摸球，能够获奖的概率为1－eq \f(5,15)＝eq \f(2,3)，∴5人参与摸球，恰好3人获奖的概率p＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(5)) ×(eq \f(2,3))3×(eq \f(1,3))2＝eq \f(80,243).故选D.
答案：D
2．解析：由二项分布的方差和期望公式可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E（X）＝np＝4，,D（X）＝np（1－p）＝2，))解得p＝eq \f(1,2)，n＝8，则P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(8)) ·(eq \f(1,2))1·(eq \f(1,2))7＝eq \f(8,28)＝eq \f(1,25).故选C.
答案：C
3．解析：由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用Y表示取到红球的个数，则Y～B(8，eq \f(1,3))，故D(Y)＝8×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(16,9).又因为X＝3Y，根据方差的性质可得：D(X)＝D(3Y)＝9D(Y)＝9×eq \f(16,9)＝16，故选D.
答案：D
4．解析：C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(30)) 表示从30个球中任取两个球的不同取法的总数，C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(26)) C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(4)) 表示从30个球中任取两个球且两球是一红一白的不同取法的总数，C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(4)) 表示从4个白球中任取两个不同的球的取法总数，故eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(26)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(30)) )为从30个球中任取两个球，至少有一个白球的概率，故选B.
答案：B
5．解析：对于A，所求的概率为P＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) )＝eq \f(3,5)，故A正确；
对于B，取到红球的次数X～B(6，eq \f(2,3))，所以其方差为6×eq \f(2,3)×(1－eq \f(2,3))＝eq \f(4,3)，故B正确；
对于C，第一次取到红球的概率为eq \f(4,6)，第二次取到红球的概率为eq \f(3,5)，所以第一次取到红球且第二次取到红球的概率为eq \f(4,6)×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，故C错误；
对于D，每次取到红球的概率为eq \f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－(1－eq \f(2,3))3＝eq \f(26,27)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
6．解析：对于选项A：若随机变量X服从二项分布B(6，eq \f(1,2))，则P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(6)) (eq \f(1,2))3(1－eq \f(1,2))3＝eq \f(5,16)，正确；
对于选项B：因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是直线x＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0对于选项C：设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，则P(AB)＝eq \f(3,33)＝eq \f(1,9)，P(A)＝1－eq \f(A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,33)＝eq \f(7,9)，所以P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(1,7)，正确；
对于选项D：E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，不正确．故选ABC.
答案：ABC
7．解析：∵ξ～B(4，eq \f(1,3))表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为eq \f(1,3)，∴P(ξ＝2)＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(4)) ×(eq \f(1,3))2×(eq \f(2,3))2＝eq \f(8,27).
答案：eq \f(8,27)
8．解析：由题意可得成绩平均值和方差分别为μ＝80，σ＝10，则100＝μ＋2σ，由正态分布对称性可知，分数超过100分的概率为P(X>100)＝P(X>μ＋2σ)＝eq \f(1,2)[1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)]≈eq \f(1,2)(1－0.9545)＝0.02275，所以分数超过100分的人数大约为100×0.02275＝2.275≈2人．
答案：2
9．解析：由题意可得
P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(10,35)＝eq \f(2,7)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(20,35)＝eq \f(4,7)，
所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(2,7)＋eq \f(4,7)＝eq \f(6,7).
答案：eq \f(6,7)
10．解析：(1)设顾客第i次摸到红球为Ei(i＝1，2)，
则P(E2)＝P(E1E2)＋P(eq \(E,\s\up6(－))1E2)＝eq \f(2,10)×eq \f(1,9)＋eq \f(8,10)×eq \f(2,9)＝eq \f(1,5).
(2)由题意知，P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(6,45)＝eq \f(2,15)，
P(B)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,45)，
P(C)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(3,45)＝eq \f(1,15)，
P(D)＝1－P(A)－P(B)－P(C)＝eq \f(7,9)，
因此，顾客获一、二、三等奖的概率分别为eq \f(1,45)、eq \f(1,15)、eq \f(2,15).
(3)由(2)可知，顾客抽奖一次获奖的概率为P＝eq \f(1,45)＋eq \f(1,15)＋eq \f(2,15)＝eq \f(2,9)，
则X～B(3，eq \f(2,9))，
所以P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up11(0),\s\d4(3)) (eq \f(2,9))0(eq \f(7,9))3＝eq \f(343,729)，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(3)) (eq \f(2,9))1(eq \f(7,9))2＝eq \f(294,729)，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) (eq \f(2,9))2(eq \f(7,9))1＝eq \f(84,729)，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(3)) (eq \f(2,9))3(eq \f(7,9))0＝eq \f(8,729)，
则X的分布列为：
数学期望E(X)＝3×eq \f(2,9)＝eq \f(2,3).
11．解析：依题可知，μ＝50，又P(|X－μ|<3σ)≈0.9974，所以要使合格率达到99.74%，则(50－3σ，50＋3σ)⊆(47，53)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50－3σ≥47，,50＋3σ≤53，))解得σ≤1，故σ至多为1.
答案：1
12．解析：继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数X服从二项分布X～B(80，eq \f(1,6))，
由k＝(n＋1)p＝81×eq \f(1,6)＝eq \f(81,6)＝13.5，结合题中结论可知，k＝13时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的4次，所以出现17次的概率最大．
答案：17X
0
1
2
3
P
eq \f(343,729)
eq \f(294,729)
eq \f(84,729)
eq \f(8,729)