2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习71两个计数原理（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习71两个计数原理（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答，有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有( )
A．20种B．10种
C．21种D．36种
2．[2023·安徽安庆模拟]现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是( )
A．15种B．31种
C．24种D．23种
3．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种B．11种
C．13种D．15种
4．[2024·黑龙江佳木斯模拟]在落实“绿水青山就是金山银山”的工作中，吉林省走在了全国前列，工作落实到位，产生的效果也非常好，受到了群众的一致认可，同时也吸引了很多的旅游爱好者前来．现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法( )
A．24种B．6种
C．64种D．81种
5．[2024·河南郑州模拟]高二1、2、3班各有升旗同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为( )
A．12B．15
C．20D．21
6．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A．48B．18
C．24D．36
7．如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有( )
A．20B．21
C．25D．26
8．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有( )
A．6种B．9种
C．11种D．23种
9．[2024·江苏宿迁模拟]用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有( )
A．240B．360
C．480D．600
10．(素养提升)如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有( )
A．24种B．23种
C．15种D．7种
二、多项选择题
11．[2024·河北石家庄模拟]现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有( )
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法
12．(素养提升)现安排高二年级A、B、C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A．共有不同的安排方法43种
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
三、填空题
13．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则Ax＋By＝0可表示________条不同的直线．
14．[2024·湖北武汉模拟]1260有__________个不同的正因数．(用数字作答)
15．(素养提升)[2024·浙江台州模拟]如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1>a2，且a2优生选做题
16．五行是华夏民族创造的哲学思想．多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化．所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源．下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色(例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色)，五行相克可以用同一种颜色(例如火与水相克可以用同一种颜色)，则不同的涂色方法种数有( )
A．30B．120
C．150D．240
17．数学课上，老师出了一道智力游戏题．如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图(小正方形边长为1)，一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色(只能由红变绿或绿变红)，如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择(1，1)变成绿色，则与之相邻的(0，1)，(1，0)，(1，2)，(2，1)四个点也要变成绿色，那么最少需要________步，才能使得位于直线y＝－x＋3上的四个点变成绿色，而其他点都是红色．
课后定时检测案71 两个计数原理
1．解析：根据分类加法计数原理可得，不同的选法共有3＋4＋3＝10(种).故选B.
答案：B
2．解析：除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，所以共有23×3－1＝24－1＝23(种).故选D.
答案：D
3．解析：若A，B之间电路不通，按焊接点脱落的个数分成4类：脱落1个，有1，4，共2种；脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种；脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种；脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种，由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知，每一个家庭有3种选择方式，则4个家庭共计有3×3×3×3＝81(种)选择方式．故选D.
答案：D
5．解析：依题意，选中高二1班的同学有1×6(种)方法，高二1班的同学没选中有3×3(种)，所以2人来自不同班的选法种数为1×6＋3×3＝15(种).故选B.
答案：B
6．解析：正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).故选D.
答案：D
7．解析：当十位是0时，百位可选1，个位可选0和1，共2个；当十位是1时，百位可选1和2，个位可选0，1和2，共2×3＝6(个)；当十位是2时，百位可选1，2和3，个位可选1，2和3，共3×3＝9(个)；当十位是3时，百位可选2和3，个位可选2和3，共2×2＝4(个)；综上所述，共2＋6＋9＋4＝21(个)，故选B.
答案：B
8．解析：设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D，由于每个人都要拿别人写的卡片，即不能拿自己写的卡片，故a有3种拿法．不妨设a拿了B，则b可以拿剩下3张中的任一张，也有3种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3×3×1×1＝9(种)分配方式．故选B.
答案：B
9．解析：将区域标号，如图所示，
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有6×5×4＝120(种)不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有120×(1＋3)＝480(种)不同的涂色方法．故选C.
答案：C
10．解析：①A水闸关闭时，满足要求，此时B，C，D，E打开或关闭时均可，故此时有24＝16(种)情况，②若A水闸打开时，同时关闭B，C时，满足要求，此时D，E打开或关闭时均可，故此时有22＝4(种)情况，③若A水闸打开时，同时关闭D，E时，满足要求，此时B，C打开或关闭时均可，故此时有22＝4(种)情况，上面②③两种情况有重复的1种情况，就是A水闸打开，B，C，D，E同时关闭的情况，故共有16＋4＋4－1＝23(种)情况．故选B.
答案：B
11．解析：对于A中，从国画中选一幅有5种不同的选法；从油画中选一幅有2种不同的选法；从水彩画中选一幅有7种不同的选法，由分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，所以正确；对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，所以正确；对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5×2＝10(种)不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5×7＝35(种)不同的选法；若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2×7＝14(种)不同的选法，由分类加法计数原理，可得共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，所以正确；对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是5×4＝20(种)，所以错误．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有3×3×3＝33＝27(种)，则工厂甲必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，B正确；对于C，若同学A必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有4×4＝42＝16(种)安排方法，C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有A eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(4)) ＝24(种)安排方法，D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20(条)不同的直线．由分类加法计数原理，知共可表示1＋1＋20＝22(条)不同的直线．
答案：22
14．解析：1260＝22×32×5×7，
第一步，2可以取20，21，22，共3种，
第二步，3可以取30，31，32，共3种，
第三步，5可以取50，51，共2种，
第四步，7可以取70，71，共2种，
所以一共有3×3×2×2＝36(种)取法，对应36个不同的正因数．
答案：36
15．解析：当首位为1，中间位置为0有4个凹数；
当首位为2，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；
当首位为3，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；
当首位为4，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；
当首位为5，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；
综上，共有40个无重复数字的凹数．
答案：40
16．解析：由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色(例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色)，
五行相克可以用同一种颜色(例如火与水相克可以用同一种颜色)，
不妨设四种颜色分别为A、B、C、D，
先填涂区域“火”，有4种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为A，
接下来填涂区域“土”，有3种选择，分别为B、C、D，
若区域“土”填涂的颜色为B，则区域“金”填涂的颜色分别为A、C、D；
若区域“土”填涂的颜色为C，则区域“金”填涂的颜色分别为A、B、D；
若区域“土”填涂的颜色为D，则区域“金”填涂的颜色分别为A、B、C.
综上所述，区域“金”填涂A、B、C、D的方案种数分别为3、2、2、2种，
接下来考虑区域“水”的填涂方案：
若区域“金”填涂的颜色为A，则区域“水”填涂的颜色可为B、C、D；
若区域“金”填涂的颜色为B，则区域“水”填涂的颜色可为A、C、D；
若区域“金”填涂的颜色为C，则区域“水”填涂的颜色可为A、B、D；
若区域“金”填涂的颜色为D，则区域“水”填涂的颜色可为A、B、C.
则区域“水”填涂A的方案种数为2×3＝6(种)，填涂B的方案种数为3＋2×2＝7(种)，
填涂C的方案种数为3＋2×2＝7(种)，填涂D的方案种数为3＋2×2＝7(种).
从区域“火”“土”“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关，
当区域“水”填涂的颜色为A时，区域“木”填涂的颜色可为B、C、D；
若区域“水”填涂的颜色为B时，区域“木”填涂的颜色可为C、D；
若区域“水”填涂的颜色为C时，区域“木”填涂的颜色可为B、D；
若区域“水”填涂的颜色为D时，区域“木”填涂的颜色可为B、C.
所以当区域“火”填涂颜色A时，填涂方案种数为6×3＋7×2×3＝60(种).
因此，不同的涂色方法种数有4×60＝240(种).故选D.
答案：D
17．解析：由题意可知，需要使(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)变成绿色，其他点都是红色，
第一步：(0，3)变成绿色，则(0，2)，(1，3)也变成绿色；
第二步：(1，2)变成绿色，则(0，2)，(1，3)变成红色，(1，1)，(2，2)变成绿色；
第三步：(2，1)变成绿色，则(1，1)，(2，2)变成红色，(2，0)，(3，1)变成绿色；
第四步：(3，0)变成绿色，则(2，0)，(3，1)变成红色．
答案：4