2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习66圆锥曲线中的最值范围问题（Word版附解析）

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(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
2．[2024·安徽宣城模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，|AB|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，|PQ|＝m(m>0)，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．
3．[2024·安徽合肥模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，A，F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2(eq \r(2)＋1).
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线y＝kx－1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，|MN|＝λ|PQ|，求实数λ的取值范围．
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4．[2024·九省联考]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
课后定时检测案66 圆锥曲线中的最值、范围问题
1．解析：(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.
椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点M(2，3)，可得eq \f(4,16)＋eq \f(9,b2)＝1，解得b2＝12.
所以C的方程：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，
可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离比较远的直线方程：x－2y＝8，
直线AM方程为x－2y＝－4，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得d＝eq \f(8＋4,\r(1＋4))＝eq \f(12\r(5),5)，
由两点之间距离公式可得|AM|＝eq \r(（2＋4）2＋32)＝3eq \r(5).
所以△AMN的面积的最大值为eq \f(1,2)×3eq \r(5)×eq \f(12\r(5),5)＝18.
2．解析：(1)由题设，F(0，eq \f(p,2))且yA＝yB＝eq \f(p,2)，则|AB|＝2p＝4，
所以抛物线C的方程x2＝4y.
(2)设直线PQ为y＝kx＋b，联立抛物线方程可得x2－4kx－4b＝0，
所以Δ＝16k2＋16b>0，即k2＋b>0，
xP＋xQ＝4k，xPxQ＝－4b，则yP＋yQ＝k(xP＋xQ)＋2b＝4k2＋2b，故yE＝2k2＋b，
又|PQ|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xP＋xQ）2－4xPxQ)＝
4eq \r(（1＋k2）（k2＋b）)＝m，可得b＝eq \f(m2,16（1＋k2）)－k2，
所以yE＝eq \f(m2,16（1＋k2）)＋(1＋k2)－1令t＝1＋k2≥1，则yE＝eq \f(m2,16t)＋t－1，
由对勾函数的性质：
当eq \f(m,4)≤1，01，m>4时，yE在(1，eq \f(m,4))上单调递减，在(eq \f(m,4)，＋∞)上单调递增，则最小yE＝eq \f(m,2)－1；
综上，04时最小yE＝eq \f(m,2)－1.
3．解析：(1)因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，
则eq \f(c,a)＝eq \r(2)，c＝eq \r(2)a，可得a＝b，
由已知，将xB＝c＝eq \r(2)a代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，可得|yB|＝a，
由eq \f(1,2)×|BF|×|AF|＝2(eq \r(2)＋1)，即eq \f(1,2)×a×(a＋c)＝2(eq \r(2)＋1)，
所以a＝2，故双曲线的方程为x2－y2＝4.
(2)依题意，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝（2k）2－4（1－k2）×（－5）>0，))
解得－13－(－1)＝4，
同理，当m1