2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习64高考中的圆锥曲线压轴小题（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习64高考中的圆锥曲线压轴小题（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右半支上一点，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,4)，＝2a2，则双曲线C的离心率为( )
A．2B．4
C．6D．9
2．过抛物线y＝x2的焦点F的一条直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与QF的长分别是p，q，则eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)为定值( )
A．1B．2
C．3D．4
3．[2024·安徽滁州模拟]已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3).若e2∈[eq \r(3)，＋∞)，则e1的取值范围为( )
A．[eq \f(\r(3),3)，eq \f(3,4)) B．(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),3)]
C．(0，eq \f(\r(3),3)] D．(0，eq \f(1,2)]
4．[2024·河北保定模拟]已知抛物线Γ：y2＝－2px(p>0)的焦点为F，准线m与坐标轴交于点F1，过点F的直线l与Γ及准线m依次相交于A，B，C三点(点B在点A，C之间)，若|BF|＝eq \f(1,3)|FC|，|AF|＝6，则△F1AB的面积等于( )
A．2eq \r(3)B．3eq \r(3)
C．4eq \r(3)D．6eq \r(3)
5．若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在一点D，使得函数f(x)＝eq \f(x＋1,2x－1)图象上任意一点关于点D的对称点仍在f(x)的图象上，且椭圆C的长轴长大于2，则C的离心率的取值范围是( )
A.(0，eq \f(\r(210),15)) B．(eq \f(\r(210),15)，1)
C．(0，eq \f(\r(6),3)) D．(eq \f(\r(6),3)，1)
二、多项选择题
6．[2024·河北秦皇岛模拟]如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌、曲项琵琶、排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证．该杯的主体部分可近似看作是双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与直线x＝0，y＝－3，y＝6围成的曲边四边形ABCD绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为2eq \r(14)，下底外直径为2eq \r(5)，双曲线Γ与x轴交于E，F两点，则( )
A．Γ的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
B．Γ的离心率e＝eq \f(\r(70),5)
C．Γ的焦点到渐近线的距离为eq \r(6)
D．若P(m，n)为Γ上任意一点，则eq \f(1,2m2)－eq \f(6,n2)的最大值为eq \f(1,4)
7．[2024·河北邯郸模拟]已知O为坐标原点，抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点(0，2)且斜率为k的直线l与E交于A，B两点，C(－3，－2)，则下列叙述正确的是( )
A．E的准线方程为x＝－1
B．eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－4恒成立
C．若k＝2，则|FA|＋|FB|＝20
D．若∠CFA＝∠CFB，则k＝－eq \f(3,2)
三、填空题
8．[2024·河北邢台模拟]已知P为抛物线C：x2＝－16y上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长不小于48，则点P的纵坐标的取值范围是________．
9．[2024·河北张家口模拟]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(2eq \r(a2－b2)，0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(NM,\s\up6(→))，，则椭圆C的离心率为________．
10．[2024·安徽合肥模拟]已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为________．
课后定时检测案64 高考中的圆锥曲线压轴小题
1．解析：∵eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝2a2，∴|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|cs∠F1PF2＝2a2可得|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝8a2.又|eq \(PF1,\s\up6(→))|－|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝2a，两式联立可得|eq \(PF1,\s\up6(→))|＝4a，|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝2a，∴cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,16a2)＝eq \f(1,4)，整理可得c2＝4a2，∴c＝2a，e＝2.故选A.
答案：A
2．解析：抛物线x2＝y的焦点F(0，eq \f(1,4))，准线方程为y＝－eq \f(1,4)，
显然直线PQ的斜率存在，设为k，则直线PQ的方程为y＝kx＋eq \f(1,4)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(1,4),y＝x2))消去x并整理得：y2－(k2＋eq \f(1,2))y＋eq \f(1,16)＝0，显然Δ＝(k2＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,4)≥0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2＝eq \f(1,16)，y1＋y2＝k2＋eq \f(1,2)，而p＝y1＋eq \f(1,4)，q＝y2＋eq \f(1,4)，
因此eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝eq \f(4,4y1＋1)＋eq \f(4,4y2＋1)＝eq \f(16（y1＋y2）＋8,16y1y2＋4（y1＋y2）＋1)＝eq \f(16k2＋16,4k2＋4)＝4，所以eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)为定值4.故选D.
答案：D
3．解析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴长为2m，
P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2m，由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，
可得|PF1|＝m＋a，|PF2|＝a－m，
又∠F1PF2＝eq \f(π,3)，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2，
可得(m＋a)2＋(a－m)2－(m＋a)·(a－m)＝4c2，
得a2＋3m2＝4c2，即eq \f(a2,c2)＋eq \f(3m2,c2)＝4，
可得eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＋eq \f(3,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝4，即eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝4－eq \f(3,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )，
又e2∈[eq \r(3)，＋∞)时，可得3≤4－eq \f(3,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )<4，
即3≤eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )<4，亦即eq \f(1,4)答案：B
4．解析：如图，过A作AM⊥m于M，过B作BN⊥m于N，连接FM，
抛物线Γ：y2＝－2px(p>0)的焦点为F(－eq \f(p,2)，0)，准线方程为x＝eq \f(p,2)，则F1(eq \f(p,2)，0)，
由抛物线定义可得|BF|＝|BN|＝eq \f(1,3)|FC|，所以|BN|＝eq \f(1,2)|BC|，则∠BCN＝30°，故∠CBN＝60°，
又有∠FAM＝∠CBN＝60°，由抛物线定义得|AF|＝|AM|，所以△AFM为正三角形，则|FM|＝|AF|＝6，
所以∠AFM＝60°，则∠MFF1＝60°，所以|MF|＝2|FF1|＝2·p＝6，故p＝3，
故|FF1|＝3，所以|FC|＝2|FF1|＝6，则|BF|＝|BN|＝eq \f(1,3)|FC|＝2＝－xB＋eq \f(3,2)，所以xB＝－eq \f(1,2)，则y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(B)) ＝－6xB＝3，不妨由图取yB＝－eq \r(3)，
又|AF|＝|AM|＝－xA＋eq \f(3,2)＝6，所以xA＝－eq \f(9,2)，则y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(A)) ＝－6xA＝27，不妨由图取yA＝3eq \r(3)，
所以S△F1AB＝eq \f(1,2)|FF1|·|yA－yB|＝eq \f(1,2)×3×4eq \r(3)＝6eq \r(3).
故选D.
答案：D
5．解析：因为f(x)＝eq \f(x＋1,2x－1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,4（x－\f(1,2)）)，
所以f(x)＝eq \f(x＋1,2x－1)的图象可由奇函数y＝eq \f(3,4x)的图象向右平移eq \f(1,2)个单位，再向上平移eq \f(1,2)个单位得到，
所以f(x)＝eq \f(x＋1,2x－1)的图象关于点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))对称，
所以椭圆经过点D(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，则eq \f(1,4a2)＋eq \f(1,4b2)＝1，即a2＋b2＝4a2b2，
即2a2－c2＝4a2(a2－c2)，
所以4a2＝eq \f(2a2－c2,a2－c2)＝eq \f(2－e2,1－e2)，又因为2a>2，所以eq \f(2－e2,1－e2)>4，解得e2>eq \f(2,3)，
又0答案：D
6．解析：由题意知D(eq \r(14)，6)，C(eq \r(5)，－3)，代入Γ的方程解得a2＝2，b2＝6，所以Γ的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1，A正确；
因为a＝eq \r(2)，b＝eq \r(6)，c＝2eq \r(2)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝2，B错误；
Γ的焦点为(±2eq \r(2)，0)，渐近线为y＝±eq \r(3)x，所以焦点到渐近线的距离为eq \f(|2\r(6)|,\r(（\r(3)）2＋12))＝eq \r(6)，C正确；
(eq \f(1,2m2)－eq \f(6,n2))(eq \f(m2,2)－eq \f(n2,6))＝eq \f(5,4)－(eq \f(n2,12m2)＋eq \f(3m2,n2))≤eq \f(5,4)－2eq \r(\f(n2,12m2)·\f(3m2,n2))＝eq \f(1,4)，当且仅当eq \f(n2,12m2)＝eq \f(3m2,n2)，即n＝±eq \r(6)m时取等号，但将n＝±eq \r(6)m代入Γ的方程后，无解，D错误．故选AC.
答案：AC
7．解析：因为抛物线x2＝2py的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，其准线方程为y＝－1，A错误；
由已知直线AB的方程为y＝kx＋2，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋2，))消y，可得x2－4kx－8＝0，方程x2－4kx－8＝0的判别式Δ＝16k2＋32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，所以y1y2＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)·eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＝4，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－4，B正确；
当k＝2时，x1＋x2＝8，x1x2＝－8，所以y1＋y2＝2x1＋2＋2x2＋2＝20，所以|FA|＋|FB|＝y1＋y2＋2＝22，C错误；
由∠CFA＝∠CFB可得〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))〉＝〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))〉，所以cs〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))〉＝cs〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))〉，故eq \f(\(FC,\s\up6(→))·\(FA,\s\up6(→)),|\(FC,\s\up6(→))||\(FA,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(FC,\s\up6(→))·\(FB,\s\up6(→)),|\(FC,\s\up6(→))||\(FB,\s\up6(→))|)，又C(－3，－2)，所以eq \(FC,\s\up6(→))＝(－3，－3)，eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1，y1－1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2，y2－1)，
|eq \(FA,\s\up6(→))|＝y1＋1，|eq \(FB,\s\up6(→))|＝y2＋1，所以eq \f(－3x1－3y1＋3,y1＋1)＝eq \f(－3x2－3y2＋3,y2＋1)，
所以eq \f(－3x1＋6－3y1－3,y1＋1)＝eq \f(－3x2＋6－3y2－3,y2＋1)，
所以eq \f(x1－2,kx1＋3)＝eq \f(x2－2,kx2＋3)，
所以3x1－2kx2＝3x2－2kx1，又x1≠x2，
所以k＝－eq \f(3,2)，D正确．故选BD.
答案：BD
8．解析：抛物线C：x2＝－16y，则焦准距p＝8，则F(0，－4)，
如图，设点P的坐标为(m，n)，则m2＝－16n，准线y＝4与y轴的交点为A，
则由抛物线定义可得|PF|＝|PH|＝－n＋4，
又|FH|＝eq \r(|AF|2＋|AH|2)＝
eq \r(82＋m2)＝eq \r(64－16n)＝4eq \r(4－n)，
所以△PFH的周长为|FH|＋|PF|＋|PH|＝4eq \r(4－n)＋2(4－n)，
设函数f(n)＝4eq \r(4－n)＋2(4－n)(n≤0)，则f(n)在(－∞，0]上为减函数，
因为f(－12)＝48，所以f(n)≥48的解为n≤－12，则点P的纵坐标的取值范围是(－∞，－12].
答案：(－∞，－12]
9．解析：如图，由eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(NM,\s\up6(→))，可得eq \f(|PN|,|PM|)＝eq \f(1,3)，
又由P(2eq \r(a2－b2)，0)，即P(2c，0)可知，eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(1,3)，
故NF2∥MF1，且|MF1|＝3|F2N|，
设|F2N|＝m，则|MF1|＝3m，而|eq \(F2M,\s\up6(→))|＝2|eq \(F2N,\s\up6(→))|，于是|F2M|＝2m，
由椭圆的定义可知，2a＝|MF1|＋|MF2|＝3m＋2m＝5m，即a＝eq \f(5m,2)，
延长MF1交椭圆C于点Q，连接QF2，则由椭圆的对称性可知，|QF1|＝|F2N|＝m.
又|QF1|＋|QF2|＝2a，故|QF2|＝4m＝|QM|，即△QMF2为等腰三角形，
于是，cs∠QMF2＝eq \f(|QM|2＋|MF2|2－|QF2|2,2|QM|·|MF2|)＝eq \f(4m2,2·4m·2m)＝eq \f(1,4)，
在△MF1F2中，设|F1F2|＝2c，由余弦定理得4c2＝9m2＋4m2－2·3m·2m·eq \f(1,4)＝10m2，即c＝eq \f(\r(10),2)m＝eq \f(\r(10),2)×eq \f(2,5)a，
所以椭圆C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5).
答案：eq \f(\r(10),5)
10．解析：如图所示，根据题意可得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(a，0)，
设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝eq \f(y1,x1＋c)(x＋c)，
所以直线PF1与y轴的交点Q(0，eq \f(cy1,x1＋c))，
由AQ∥PF2可得kAQ＝kPF2，即eq \f(\f(cy1,x1＋c)－0,0－a)＝eq \f(y1,x1－c)，
整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)；
又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，
当x1＝a时，AQ，PF2共线与题意不符，即x1>a；
可得x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)>a，整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0，
解得e>eq \r(2)＋1或e<1－eq \r(2)(舍)；
即双曲线E的离心率的取值范围为e>eq \r(2)＋1.
答案：(eq \r(2)＋1，＋∞)