2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习60椭圆（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习60椭圆（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2024·河南郑州模拟]椭圆x2＋4y2＝1的焦距为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3)C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
2．已知椭圆C：eq \f(x2,3＋k)＋eq \f(y2,5－k)＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围为( )
A．(－3，1) B．(1，5)
C．(－3，5) D．(1，3)
3．如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
4．[2024·安徽蚌埠模拟]若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为( )
A．6B．eq \f(2\r(6),3)或2eq \r(6)
C．2eq \r(6)D．2eq \r(2)或2eq \r(6)
5．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(kb>0)经过点(1，－eq \f(\r(3),2)b)，且C的离心率为eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
7．[2024·河南安阳模拟]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为eq \f(\r(6),3)，过坐标原点O作直线l交椭圆于A，B两点，若AF⊥BF，则直线l的方程为( )
A．y＝±eq \f(\r(3),2)xB．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±eq \r(3)xD．y＝±eq \r(2)x
8．(素养提升)[2024·辽宁辽阳模拟]已知A，B，C为椭圆D上的三点，AB为长轴，AB＝7，AC＝3，∠BAC＝60°，则D的离心率是( )
A．eq \f(2,11)B．eq \f(3\r(2),11)
C．eq \f(3,11)D．eq \f(\r(22),11)
二、多项选择题
9．(素养提升)已知椭圆M：eq \f(x2,4)＋y2＝1，若P在椭圆M上，F1，F2是椭圆M的左、右焦点，则下列说法正确的有( )
A．若|PF1|＝|PF2|，则∠PF1F2＝30°
B．△F1PF2面积的最大值为2
C．|PF1|－|PF2|的最大值为2eq \r(3)
D．满足△F1PF2是直角三角形的点P有4个
三、填空题
10．[2024·山西大同模拟]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，且四边形PF1QF2的面积为eq \f(4,9)a2，则C的离心率为________．
11．(素养提升)[2024·山东东营模拟]如图，已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q.过点Q作y轴的垂线，垂足为N，若线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为________________．
四、解答题
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点且在第一象限．已知△MF1F2为等腰三角形，且|MF1|＝2|MF2|.
(1)求C的离心率；
(2)若△MF1F2的周长为10，求点M的坐标．
优生选做题
13．[2024·河北衡水模拟]已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)绕长轴旋转半周形成的几何体的体积为( )
A．eq \f(4,3)πa2bB．eq \f(4,3)πab2
C．eq \f(4,3)πa3D．eq \f(4,3)πb3
14．已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
课后定时检测案60 椭圆
1．解析：先将椭圆x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，则a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \f(\r(3),2).故焦距为2c＝eq \r(3).故选B.
答案：B
2．解析：因为椭圆C：eq \f(x2,3＋k)＋eq \f(y2,5－k)＝1的焦点在y轴上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋k>0，,5－k>0，,5－k>3＋k，))解得－3b>0)，令x＝t，可得r＝eq \f(b,a)eq \r(a2－t2)，则S＝π(a2－t2)·eq \f(b2,a2)，球体的体积V′＝eq \f(4π,3)a3，则对于椭球体的体积V，有：eq \f(V′,V)＝eq \f(S′,S)＝eq \f(a2,b2)，V＝eq \f(V′·S,S′)＝eq \f(4π,3)a3·eq \f(b2,a2)＝eq \f(4π,3)ab2.故选B.
答案：B
14．解析：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
∴4c2＝4a2－3mn.即3mn＝4a2－4c2.又mn≤(eq \f(m＋n,2))2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2)，
∴e的取值范围是[eq \f(1,2)，1).
(2)证明：由(1)，得mn＝eq \f(4（a2－c2）,3)＝eq \f(4,3)b2，
∴＝eq \f(1,2)mnsin60°＝eq \f(\r(3),3)b2，
面积表达式中的字母只含有b，可得：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．