2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习39平面向量中的最值范围问题（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习39平面向量中的最值范围问题（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2024·山东济南模拟]已知向量a＝(x＋1，1)，b＝(1，eq \f(2,x))，若x>0，则a·b的最小值为( )
A．2eq \r(2)B．1＋2eq \r(2)
C．2＋2eq \r(2)D．2eq \r(2)－1
2．[2024·广东深圳模拟]已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝eq \f(π,4)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))的最大值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．1D．eq \r(2)
3．已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b＋c|的最大值是( )
A．eq \r(2)＋1B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \r(2)－1
4．[2024·河北张家口模拟]已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的外接圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，eq \r(2)]
C．[1，2] D．[－1，1]
5．[2024·江西九江模拟]已知m、n为单位向量，则向量m＋2n与n夹角的最大值为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
6．[2022·北京卷]在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
二、多项选择题
7．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，则下列结论正确的是( )
A．当M为线段AD上的中点时，λ＋μ＝eq \f(3,2)
B．λμ的最大值为eq \f(1,2)
C．μ的取值范围为[0，1]
D．λ＋μ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
8．[2024·安徽宿松模拟]已知P(2，0)，A(csα，sinα)，B(csβ，sinβ)，A，B两点不重合，则( )
A．|eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为2
B．|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为2
C．若eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))，|eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(3)
D．若eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为4
三、填空题
9．[2024·河南郑州模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点(包含端点)，则eq \(MB,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最大值为________．
10．已知单位向量a，b满足|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为________．
课后定时检测案39 平面向量中的最值(范围)问题
1．解析：a·b＝x＋1＋eq \f(2,x)≥2eq \r(x·\f(2,x))＋1＝2eq \r(2)＋1，当且仅当x＝eq \f(2,x)即x＝eq \r(2)时等号成立，则a·b的最小值为1＋2eq \r(2).故选B.
答案：B
2.
解析：由圆O是△ABC的外接圆，且A＝eq \f(π,4)，故OB⊥OC，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝－cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉，故eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))反向共线时eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))最大，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→)))max＝1.故选C.
答案：C
3.
解析：因为向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，
可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，如图，
所以|a＋b|＝eq \r(2)，当c与a＋b同向时，此时|a＋b＋c|有最大值，为eq \r(2)＋1.故选A.
答案：A
4.
解析：当弦MN的长度最大时，弦MN过正方形ABCD的外接圆的圆心O，
因为正方形ABCD的边长为2，所以圆O的半径为eq \r(2)，
如图所示，
则eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OM,\s\up6(→))2.
因为点P为正方形四条边上的动点，所以1≤|eq \(PO,\s\up6(→))|≤eq \r(2)，
又|eq \(OM,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[－1，0].故选A.
答案：A
5．解析：设〈m，n〉＝α，则|m＋2n|＝eq \r(（m＋2n）2)＝eq \r(m2＋4m·n＋4n2)＝eq \r(5＋4csα)，
(m＋2n)·n＝m·n＋2n2＝m·n＋2|n|2＝csα＋2，
则cs〈m＋2n，n〉＝eq \f(（m＋2n）·n,|m＋2n||n|)＝eq \f(csα＋2,\r(5＋4csα))，
令t＝eq \r(5＋4csα)，因为－1≤csα≤1，所以t∈[1，3]，
∴cs〈m＋2n，n〉＝eq \f(\f(t2－5,4)＋2,t)＝eq \f(1,4)(t＋eq \f(3,t))≥eq \f(1,4)×2eq \r(t·\f(3,t))＝eq \f(\r(3),2)，当且仅当t＝eq \f(3,t)即t＝eq \r(3)时取等号，
又〈m＋2n，n〉∈[0，π]，所以〈m＋2n，n〉∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，
所以向量m＋2n与n夹角的最大值为eq \f(π,6).故选A.
答案：A
6．解析：
以点C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．由题意可得A(3，0)，B(0，4)，C(0，0).∵PC＝1，∴设P(csθ，sinθ)，∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－csθ，－sinθ)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－csθ，4－sinθ)，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－csθ)·(－csθ)＋(－sinθ)·(4－sinθ)＝cs2θ－3csθ＋sin2θ－4sinθ＝1－3csθ－4sinθ＝1－5sin (θ＋φ)，其中sinφ＝eq \f(3,5)，csφ＝eq \f(4,5).当sin (θ＋φ)＝1时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))取得最小值－4；当sin (θ＋φ)＝－1时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))取得最大值6.故eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是[－4，6].故选D.
答案：D
7.
解析：以B为原点，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，
则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)，
设M(t，2)，则0≤t≤2，
因为eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，所以(t，2)＝λ(0，1)＋μ(2，2)＝(2μ，λ＋2μ)，
所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝eq \f(t,2)，
因为M为线段AD上的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，A正确；
λμ＝(2－t)eq \f(t,2)＝t－eq \f(1,2)t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为eq \f(1,2)，B正确；
因为μ＝eq \f(t,2)，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；
λ＋μ＝2－eq \f(t,2)，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：由已知A，B为单位圆上任意两点，|OA|＝|OB|＝1，|eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))|＝|AB|≤2，A正确；
设D为AB的中点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2|PD|，
由于A，B两点不重合，所以|PD|∈(1，3)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2|PD|∈(2，6)，故B错误；
当P，A，B共线时，|eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))|＝|AB|≤2，故C错误；
当P，A，B共线时，若A，B坐标分别为(－1，0)与(1，0)或(1，0)与(－1，0)时，O，D两点重合，此时|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2|PD|＝4，
若A，B坐标不同时为(－1，0)与(1，0)时，此时OD⊥PB，则|PD|