2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习38平面向量的数量积及其应用（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习38平面向量的数量积及其应用（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2024·北京通州模拟]已知向量a，b满足a＋b＝(2，－4)，3a－b＝(－10，16)，则a·b＝( )
A．－13B．13C．－29D．29
2．[2024·江西南昌模拟]平面向量a＝(－2，k)，b＝(2，4)，若a⊥b，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝( )
A．6B．5C．2eq \r(6)D．2eq \r(5)
3．[2024·河北保定模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(5),5)B．eq \f(3,4)C．eq \f(\r(2),3)D．eq \f(4,5)
4．[2024·安徽淮北模拟]已知向量a，b满足a·b＝10且b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量为( )
A．(－6，8) B．(6，－8)
C．(－eq \f(6,5)，eq \f(8,5)) D．(eq \f(6,5)，－eq \f(8,5))
5．[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6B．－5C．5D．6
6．[2024·河南郑州模拟]已知向量a＝(3，4)，b＝(4，m)，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝( )
A．3B．4C．5D．6
7．已知平面向量a，b满足(a＋b)·b＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)C．2eq \r(3)D．1
8．[2024·山东菏泽模拟]在边长为2的正三角形ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(9,4)B．eq \f(3,2)C．－eq \f(3,2)D．eq \f(9,4)
9．[2024·江苏无锡模拟]在平行四边形ABCD中，已知eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(FC,\s\up6(→))，|eq \(AE,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AF,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．－9B．－6C．6D．9
10．(素养提升)[2024·山东临沂模拟]在△ABC中，已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs18°，cs72°)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2cs63°，2cs27°)，则cs∠BAC的值为( )
A．0B．eq \f(1,2)C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
二、多项选择题
11．[2024·黑龙江大庆模拟]已知向量a，b是单位向量，且a·b＝eq \f(1,2)，则以下结论正确的是( )
A.若a＝(1，0)，则b＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))
B．|a＋b|＝eq \r(3)
C．向量a，b的夹角为eq \f(2π,3)
D．向量a在向量b上的投影向量为eq \f(1,2)b
12．(素养提升)(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(csα，sinα)，P2(csβ，－sinβ)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
三、填空题
13．[2024·湖北黄冈模拟]若向量a，b满足a＝(1，1)，|b|＝1，且(a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为____________．
14．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
优生选做题
15．[2024·河南郑州模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝8，b＝5，A＝eq \f(π,3)，点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则AD＝( )
A．eq \f(\r(61),3)B．eq \f(2\r(61),3)C．eq \f(\r(61),6)D．eq \f(\r(61),2)
16．△ABC中，AH为BC边上的高且eq \(BH,\s\up6(→))＝3eq \(HC,\s\up6(→))，动点P满足eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2，则点P的轨迹一定过△ABC的( )
A．外心B．内心C．垂心D．重心
课后定时检测案38 平面向量的数量积及其应用
1．解析：依题意a＋b＝(2，－4)，3a－b＝(－10，16)，两式相加得4a＝(－8，12)，a＝(－2，3)，所以b＝(2，－4)－a＝(4，－7)，所以a·b＝－8－21＝－29.故选C.
答案：C
2．解析：因为a＝(－2，k)，b＝(2，4)，a⊥b，所以a·b＝－2×2＋4k＝0，解得k＝1，所以a－b＝(－2－2，k－4)＝(－4，－3)，因此eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝eq \r(（－4）2＋（－3）2)＝5.故选B.
答案：B
3．解析：因为a与b垂直，故a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，设a与a＋b夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·（a＋b）,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)))＝eq \f(5,\r(12＋22)×5)＝eq \f(\r(5),5).故选A.
答案：A
4．解析：因为向量b＝(3，－4)，且a·b＝10，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \r(32＋（－4）2)＝5，所以向量a在向量b上的投影向量为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))cs〈a，b〉·eq \f(b,|b|)＝eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))·eq \f(（3，－4）,5)＝(eq \f(6,5)，－eq \f(8,5)).故选D.
答案：D
5．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4).由题意，得cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，即eq \f(9＋3t＋16,|c|·5)＝eq \f(3＋t,|c|·1)，解得t＝5.故选C.
答案：C
6．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，两边平方得(a＋b)2＝(a－b)2，展开整理得a·b＝0.∴a·b＝3×4＋4m＝0，解得m＝－3.∴|b|＝eq \r(42＋（－3）2)＝5.故选C.
答案：C
7．解析：由(a＋b)·b＝2可得a·b＋|b|2＝2，又|b|＝2可得|b|2＝4，所以a·b＝－2；即|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋4－4＝1，所以|a＋b|＝1.故选D.
答案：D
8.
解析：建立如图所示平面直角坐标系：
则A(0，eq \r(3))，B(－1，0)，设D(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x，y－eq \r(3))，eq \(DB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)－\f(1,3)x，,y－\r(3)＝－\f(1,3)y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,4)，,y＝\f(3\r(3),4)，))即D(－eq \f(1,4)，eq \f(3\r(3),4))，
则eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(3))，eq \(DE,\s\up6(→))＝(eq \f(1,4)，－eq \f(3\r(3),4))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(9,4).故选D.
答案：D
9.
解析：由题意可得：eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
∵eq \(AE,\s\up6(→))2＝eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＝4， ①
eq \(AF,\s\up6(→))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AD,\s\up6(→))2＝12， ②
①－②得：eq \f(8,9)eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \f(8,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＝－8，即eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AD,\s\up6(→))2＝9，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝－9.
故选A.
答案：A
10．解析：由向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs18°，cs72°)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2cs63°，2cs27°)，可得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(cs218°＋cs272°)＝eq \r(cs218°＋sin218°)＝1，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(4cs263°＋4cs227°)＝eq \r(4（cs263°＋sin263°）)＝2，且eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2(cs18°cs63°＋cs72°cs27°)＝2(sin72°cs63°＋cs72°sin63°)＝2sin (72°＋63°)＝eq \r(2)，所以cs∠BAC＝cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),1×2)＝eq \f(\r(2),2).故选C.
答案：C
11．解析：对于A，若a＝(1，0)，则b＝(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2))时，也有a·b＝eq \f(1,2)，故A错误；对于B，|a＋b|＝eq \r(|a＋b|2)＝eq \r(a2＋b2＋2a·b)＝eq \r(1＋1＋2×\f(1,2))＝eq \r(3)，B正确；对于C，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2),1×1)＝eq \f(1,2)，而〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝eq \f(π,3)，C错误；对于D，向量a在向量b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，D正确．故选BD.
答案：BD
12．解析：A：eq \(OP1,\s\up6(→))＝(csα，sinα)，eq \(OP2,\s\up6(→))＝(csβ，－sinβ)，所以|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝eq \r(cs2α＋sin2α)＝1，|eq \(OP2,\s\up6(→))|＝eq \r(cs2β＋（－sinβ）2)＝1，故|eq \(OP1,\s\up6(→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(→))|，正确；B：eq \(AP1,\s\up6(→))＝(csα－1，sinα)，eq \(AP2,\s\up6(→))＝(csβ－1，－sinβ)，所以|eq \(AP1,\s\up6(→))|＝eq \r(（csα－1）2＋sin2α)＝eq \r(cs2α－2csα＋1＋sin2α)＝eq \r(2（1－csα）)＝eq \r(4sin2\f(α,2))＝2|sineq \f(α,2)|，同理|eq \(AP2,\s\up6(→))|＝eq \r(（csβ－1）2＋sin2β)＝2|sineq \f(β,2)|，故|eq \(AP1,\s\up6(→))|，|eq \(AP2,\s\up6(→))|不一定相等，错误；C：由题意得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝1×cs (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝cs(α＋β)，OP1·OP2＝csα·csβ＋sinα·(－sinβ)＝cs (α＋β)，正确；D：由题意得：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))＝1×csα＋0×sinα＝csα，eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))＝csβ×cs (α＋β)＋(－sinβ)×sin (α＋β)＝cs [β＋(α＋β)]＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β))，故一般来说eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(→))≠eq \(OP2,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(→))，错误．故选AC.
答案：AC
13．解析：由a＝(1，1)⇒|a|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，由(a＋b)·b＝0⇒a·b＋b2＝0⇒|a|·|b|·cs〈a，b〉＋1＝0⇒cs〈a，b〉＝－eq \f(\r(2),2)，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
14．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(9,2).
答案：－eq \f(9,2)
15．解析：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up6(→))))2＝eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))2，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,9)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(4,9)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＋eq \f(4,9)|eq \(AC,\s\up6(→))|2，因为c＝8，b＝5，A＝eq \f(π,3)，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,3)，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,9)×64＋eq \f(4,9)×8×5×eq \f(1,2)＋eq \f(4,9)×25＝eq \f(244,9)，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(2\r(61),3)，故AD＝eq \f(2\r(61),3).故选B.
答案：B
16．解析：设|BC|＝4a，|AH|＝b，
以H为原点，eq \(HC,\s\up6(→))、eq \(HA,\s\up6(→))方向为x、y轴正方向如图建立空间直角坐标系，∵eq \(BH,\s\up6(→))＝3eq \(HC,\s\up6(→))，∴|BH|＝3a，|HC|＝a，则H(0，0)，B(－3a，0)，C(a，0)，A(0，b)，则eq \(BC,\s\up6(→))＝(4a，0)，设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－b)，∵eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2，∴4ax＝－eq \f(1,4)(4a)2，即x＝－a，即点P的轨迹方程为x＝－a，而直线x＝－a平分线段BC，即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心，故选A.
答案：A