2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习35正弦余弦定理应用举例（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习35正弦余弦定理应用举例（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。
A．北偏东30°方向B．北偏东15°方向
C．南偏西30°方向D．南偏西15°方向
2.
[2024·福建泉州模拟]如图，某同学运用数学知识测算东西塔塔尖M，N的距离，该同学选择地面上一点C为观测点，测得西塔A的塔尖M仰角为∠ACM＝45°，东塔B的塔尖N仰角30°，且∠MCN＝120°，AC＝50eq \r(2)m，BC＝100eq \r(3)m，则塔尖M、N的距离为( )
A．100eq \r(7)mB．100eq \r(10)m
C．200mD．200eq \r(3)m
3．[2024·江西上饶模拟]图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)在某地利用一表高为2dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm，则该地的纬度约为北纬(参考数据：tan34°≈0.67，tan56°≈1.49)( )
A．23°26′B．32°34′
C．34°D．56°
4．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin∠ACB＝( )
A．eq \f(\r(21),7)B．eq \f(\r(7),7)
C．eq \f(\r(3),7)D．eq \f(\r(7),3)
5.
为运输方便，某工程队将从A到D修建一条湖底隧道，如图，工程队从A出发向正东行10eq \r(3)km到达B，然后从B向南偏西45°方向行了一段距离到达C，再从C向北偏西75°方向行了4eq \r(2)km到达D，已知C在A南偏东15°方向上，则A到D的距离为( )
A．15eq \r(6)kmB．2eq \r(38)km
C．10eq \r(2)kmD．15eq \r(3)km
6.
[2024·黑龙江哈尔滨模拟]火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法．由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键．位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥．工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，如果过长影响火箭发射)，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B俯角为α，β.则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为( )
A．eq \f(hsinαcsβ,sin（α－β）)B．eq \f(hcsαcsβ,sinβ)
C．eq \f(hcsαcsβ,sin（α－β）)D．eq \f(hcsαsinβ,csβ)
二、多项选择题
7．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座(即B在A的正下方)，在广场内(与B在同一水平面内)选取C、D两点，测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠BDC，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是( )

A．m、∠ACB、∠BCD、∠BDC
B．m、∠ACB、∠BCD、∠ACD
C．m、∠ACB、∠ACD、∠ADC
D．m、∠CAB、∠CBD、∠BCD
三、填空题
8．[2024·北京怀柔模拟]神舟十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东60°的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南30°的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点__________公里．
四、解答题
9.
[2024·河北沧州模拟]汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝70°，∠BED＝120°，BE＝17.2m，DE＝10.32m，在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据：取tan62°＝1.88，sin70°＝0.94，eq \r(144.9616)＝12.04.
(1)求BD；
(2)求塔高AB(结果精确到1m).
优生选做题
10．[2024·河北衡水模拟]据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为__________小时．
课后定时检测案35 正弦、余弦定理应用举例
1.
解析：由题，1小时后，甲船来到C处，则AC＝4，则BC＝6.又由题可知，此时，乙船来到D处，BD＝6，结合BD是北偏东60°方向，则∠DBC＝120°.又BC＝BD，则∠BCD＝30°，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向．故选C.
答案：C
2．解析：由题得，在△ACM中，MA⊥AC，
MA＝ACtan∠ACM＝50eq \r(2)×1＝50eq \r(2)，MC＝eq \r(MA2＋AC2)＝100，
在△CBN中，NB⊥BC，
NC＝eq \f(CB,cs∠NCB)＝eq \f(100\r(3),\f(\r(3),2))＝200，
则在△MCN中，由余弦定理可得MN2＝MC2＋NC2－2MC·NCcs∠MCN＝1002＋2002－2×100×200×(－eq \f(1,2))＝7×1002，
所以MN＝100eq \r(7).故选A.
答案：A
3．解析：由图1可得tanα＝eq \f(2,2.98)≈0.67，又tan34°≈0.67，
所以α＝34°，所以∠MAN＝90°－34°＝56°，
所以β＝56°－23°26′＝32°34′，
该地的纬度约为北纬32°34′，故选B.
答案：B
4．解析：由题意∠CAB＝120°，AC＝10，AB＝20，
由余弦定理得，CB2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs∠CAB＝102＋202－2×10×20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝700，∴CB＝10eq \r(7)，
由正弦定理得，eq \f(CB,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，即eq \f(10\r(7),\f(\r(3),2))＝eq \f(20,sin∠ACB)，解得sin∠ACB＝eq \f(\r(21),7).故选A.
答案：A
5．解析：连接AC，由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，∠BCD＝75°＋45°＝120°，∠ACB＝60°，AB＝10eq \r(3)，CD＝4eq \r(2)，
在△ABC中，由正弦定理得，eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
即eq \f(10\r(3),\f(\r(3),2))＝eq \f(AC,\f(\r(2),2))，则AC＝10eq \r(2)，
在△ACD中，由余弦定理得，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcs∠ACD＝(10eq \r(2))2＋(4eq \r(2))2－2×10eq \r(2)×4eq \r(2)×eq \f(1,2)＝152，
则AD＝2eq \r(38)km.故选B.
答案：B
6．解析：在Rt△BCD中，BC＝eq \f(CD,cs∠BCD)＝eq \f(CD,csβ)，
在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，∠A＝eq \f(π,2)－α，
由正弦定理可得：eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠A)，即eq \f(h,sin（α－β）)＝eq \f(\f(CD,csβ),sin（\f(π,2)－α）)＝eq \f(CD,csαcsβ)，所以CD＝eq \f(hcsαcsβ,sin（α－β）).故选C.
答案：C
7．解析：对于A：由m，∠BCD、∠BDC可以解△BCD，又AB＝BC·tan∠ACB，可求塔高度AB；
对于B：在△BCD中，由CD＝m，∠BCD无法解三角形，在△ACD中，由CD＝m，∠ACD无法解三角形，
在△BCA中，已知两角∠ACB、∠ABC无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度AB；
对于C：由CD＝m，∠ACD、∠ADC可以解△ACD，可求AC，又AB＝AC·sin∠ACB，即可求塔高度AB；
对于D：由∠CBD，∠BCD可求∠BDC，在△BCD中，由正弦定理可求BC，在△ABC中，由BC，∠CAB可求AB.即D项可求塔高AB.故选ACD.
答案：ACD
8．解析：记着陆点为点C，
如图，AB＝80公里，AC＝60公里，α＝60°，β＝30°，
∴∠BAC＝60°，
在△ABC中，由余弦定理得eq \f(|AB|2＋|AC|2－|BC|2,2|AB||AC|)＝eq \f(1,2)，
解得|BC|＝20eq \r(13)公里．
答案：20eq \r(13)
9．解析：(1)在△BDE中，由余弦定理得BD2＝BE2＋DE2－2BE·DE·cs∠BED，
则BD＝eq \r(（17.2）2＋（10.32）2－2×17.2×10.32cs120°)
＝eq \r(579.8464)＝2eq \r(144.9616)＝2×12.04＝24.08m.
(2)在△BCD中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
则BC＝eq \f(BD·sin∠BDC,sin∠BCD)＝eq \f(24.08×0.94,\f(1,2))＝45.27m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝62°，
所以AB＝BC·tan∠ACB＝45.27×1.88＝85.1076≈85m，
故塔高AB为85m.
答案：85m
10.
解析：如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．
设台风移动t小时后的位置为C，则BC＝40t.
又∠ABC＝60°，AB＝400，
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs60°＝4002＋(40t)2－2×400×40t×eq \f(1,2)＝1600t2－16000t＋160000，
由AC≤350可得，1600t2－16000t＋160000≤3502，
整理可得，16t2－160t＋375≤0，
解得eq \f(15,4)≤t≤eq \f(25,4)，又eq \f(25,4)－eq \f(15,4)＝eq \f(5,2)，
所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为eq \f(5,2)小时．
答案：eq \f(5,2)