2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习30三角函数的图象与性质（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习30三角函数的图象与性质（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数以eq \f(π,2)为周期的是( )
A．f(x)＝sin2xB．f(x)＝tan2x
C．f(x)＝|csx|D．f(x)＝cseq \f(1,2)x
2．若函数f(x)＝2sin (2x－eq \f(π,3)＋φ)是偶函数，则φ的值可以是( )
A．eq \f(5π,6)B．eq \f(π,2)
C．eq \f(π,3)D．－eq \f(π,2)
3．[2024·安徽马鞍山模拟]在下列区间中，是函数f(x)＝2sin (x＋eq \f(π,3))的单调递减区间的是( )
A．(0，eq \f(π,2)) B．(eq \f(π,2)，π)
C．(π，eq \f(3π,2)) D．(eq \f(3π,2)，2π)
4．[2024·河北邯郸模拟]函数f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))在(－eq \f(π,3)，eq \f(π,3))上的值域为( )
A．(0，1] B．(－eq \f(\r(3),2)，0)
C．(－eq \f(\r(3),2)，1] D．[－1，1]
5．[2024·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝eq \r(3)sin2x－cs2x，则( )
A．f(x)在(－eq \f(π,6)，0)单调递增，且图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称
B．f(x)在(－eq \f(π,6)，0)单调递增，且图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
C．f(x)在(－eq \f(π,6)，0)单调递减，且图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称
D．f(x)在(－eq \f(π,6)，0)单调递减，且图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
6．已知常数φ∈R，如果函数y＝cs (2x＋φ)的图象关于点(eq \f(4π,3)，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A．eq \f(π,3)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,6)D．eq \f(π,2)
7．(素养提升)[2024·北京东城模拟]已知函数f(x)＝sin (x－φ)且cs (eq \f(π,3)－φ)＝csφ，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,3)B．x＝－eq \f(π,6)
C．x＝eq \f(π,3)D．x＝eq \f(π,6)
8．(素养提升)[2024·山东北镇中学模拟]已知f(x)＝cs (2x＋φ)，|φ|A．f(x)在(eq \f(π,6)，eq \f(5π,6))上单调递增
B．f(x)在(eq \f(π,6)，eq \f(5π,6))上单调递减
C．f(x)在(－eq \f(π,3)，eq \f(π,6))上单调递增
D．f(x)在(－eq \f(π,3)，eq \f(π,6))上单调递减
二、多项选择题
9．[2024·海南模拟]已知f(x)＝cs2x－sin2x，则( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)图象的一个对称中心是(eq \f(π,4)，0)
D．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增
10．(素养提升)[2024·山东济南模拟]已知函数f(x)＝asinx＋csx(a>0)的最大值为2，则( )
A．a＝eq \r(3)
B．y＝f(x)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)对称
C．x＝eq \f(π,6)是y＝f(x)图象的一条对称轴
D．y＝f(x)在(0，eq \f(π,3))上单调递增
三、填空题
11．当函数y＝2sin (3x＋eq \f(π,6))取得最大值时的x的集合为________．
12．[2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|13．(素养提升)若函数f(x)＝sinx－csx在区间[a，0]单调递增，则a的最小值是________．
四、解答题
14．[2024·安徽安庆模拟]已知函数f(x)＝cs2x＋eq \r(3)sinx·csx－eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最值．
优生选做题
15．(多选)[2022·新高考Ⅱ卷]函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象以(eq \f(2π,3)，0)中心对称，则( )
A．y＝f(x)在(0，eq \f(5π,12))单调递减
B．y＝f(x)在(－eq \f(π,12)，eq \f(11π,12))有2个极值点
C．直线x＝eq \f(7π,6)是一条对称轴
D．直线y＝eq \f(\r(3),2)－x是一条切线
16．[2024·河北保定模拟]已知函数f(x)＝2eq \r(3)－4eq \r(3)cs2(ωx＋eq \f(π,6))－4sinωxcsωx(x∈R，ω>0)的两个相邻的对称中心的距离为eq \f(π,2).
(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，关于x的方程f(x)＝m有两个不相等的实数根x1，x2(x1课后定时检测案30 三角函数的图象与性质
1．解析：对于A，T＝eq \f(2π,2)＝π，故A错误；
对于B，T＝eq \f(π,2)，故B正确；
对于C，T＝eq \f(2π,2)＝π，故C错误；
对于D，T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故D错误．故选B.
答案：B
2．解析：由于f(x)是偶函数，
则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，
则f(0)＝±2，即2sin (－eq \f(π,3)＋φ)＝±2，∴－eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，即φ＝kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，故选A.
答案：A
3．解析：由2kπ＋eq \f(π,2)f(x)的减区间是(2kπ＋eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(7π,6))，k∈Z，
只有选项B的区间(eq \f(π,2)，π)⊆(eq \f(π,6)，eq \f(7π,6)).故选B.
答案：B
4．解析：当x∈(－eq \f(π,3)，eq \f(π,3))时，2x＋eq \f(π,3)∈(－eq \f(π,3)，π)，当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)时，即x＝eq \f(π,12)时，f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))取最大值1，当2x＋eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)，即x＝－eq \f(π,3)时，f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))取最小值大于－eq \f(\r(3),2)，故值域为(－eq \f(\r(3),2)，1] .故选C.
答案：C
5．解析：f(x)＝eq \r(3)sin2x－cs2x＝2sin (2x－eq \f(π,6))，
由于－eq \f(π,6)所以f(x)在(－eq \f(π,6)，0)单调递增，
f(eq \f(π,6))＝2sineq \f(π,6)＝1≠±2，所以f(x)不关于直线x＝eq \f(π,6)对称．
f(eq \f(π,3))＝2sineq \f(π,2)＝2，所以f(x)关于直线x＝eq \f(π,3)对称．故选B.
答案：B
6．解析：因为函数y＝cs (2x＋φ)的图象关于点(eq \f(4π,3)，0)中心对称，
所以2×eq \f(4π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以φ＝－eq \f(13π,6)＋kπ，k∈Z，
所以当k＝2时φ＝－eq \f(π,6)，当k＝3时φ＝eq \f(5π,6)，k＝1时φ＝－eq \f(7π,6)，
所以|φ|的最小值为eq \f(π,6).故选C.
答案：C
7．解析：因为cs (eq \f(π,3)－φ)＝cseq \f(π,3)csφ＋sineq \f(π,3)sinφ＝eq \f(1,2)csφ＋eq \f(\r(3),2)sinφ＝csφ，
所以tanφ＝eq \f(\r(3),3)，可取φ＝eq \f(π,6)，则函数f(x)＝sin (x－φ)＝sin (x－eq \f(π,6))，
令x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，求得x＝eq \f(2,3)π＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝eq \f(2,3)π＋kπ，k∈Z，
令k＝－1，可得x＝－eq \f(π,3)，即函数f(x)的图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,3).故选A.
答案：A
8．解析：因为f(x)＝cs (2x＋φ)，|φ|所以cs (eq \f(π,3)＋φ)＝±1，所以eq \f(π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－eq \f(π,3)＋kπ.
因为|φ|－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，得到f(x)在(－eq \f(π,3)，eq \f(π,6))上单调递增，故C正确，D错误．
2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤π＋2kπ，解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，得到f(x)在(eq \f(π,6)，eq \f(2π,3))上单调递减，故A，B错误．故选C.
答案：C
9．解析：因为f(x)＝cs2x－sin2x＝cs2x，定义域为R，
f(－x)＝cs (－2x)＝cs2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；
f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故B正确；
f(eq \f(π,4))＝cseq \f(π,2)＝0，所以(eq \f(π,4)，0)是f(x)图象的一个对称中心，故C正确；
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,2)＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))，k∈Z，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：易得f(x)＝asinx＋csx＝eq \r(a2＋1)sin (x＋φ)(tanφ＝eq \f(1,a))，
则f(x)≤eq \r(a2＋1)＝2⇒a＝eq \r(3)，即A正确；
所以f(x)＝2sin (x＋eq \f(π,6))，当x＝eq \f(π,6)⇒f(eq \f(π,6))＝2sineq \f(π,3)＝eq \r(3)，f(eq \f(π,6))≠0，即B错误；
同理f(eq \f(π,6))≠±2，即C错误；
x∈(0，eq \f(π,3))⇒x＋eq \f(π,6)∈(eq \f(π,6)，eq \f(π,2))，由正弦函数的性质可得此时y＝f(x)单调递增，即D正确．
故选AD.
答案：AD
11．解析：依题意令3x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得x＝eq \f(π,9)＋eq \f(2kπ,3)，k∈Z，
所以函数y＝2sin (3x＋eq \f(π,6))取得最大值时的x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,9)＋\f(2kπ,3)，k∈Z)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,9)＋\f(2kπ,3)，k∈Z))))
12．解析：因为函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝eq \f(2π,T)＝2；
又因为函数f(x)图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，可得sin (2×eq \f(π,3)＋φ)＝±1，
可得eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，且|φ|答案：－eq \f(3\r(3),2)
13．解析：f(x)＝sinx－csx＝eq \r(2)sin (x－eq \f(π,4))，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
解得－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，
令k＝0，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
可得f(x)＝sinx－csx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增，
因为函数f(x)＝sinx－csx在区间[a，0]单调递增，
则－eq \f(π,4)≤a<0，所以a的最小值是－eq \f(π,4).
答案：－eq \f(π,4)
14．解析：(1)f(x)＝eq \f(1＋cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x＝sin (2x＋eq \f(π,6)).
因为y＝sinx的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z).
(2)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6))).
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)最大值为1，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)最小值为－eq \f(1,2).
15．解析：由题意得，f(eq \f(2π,3))＝sin (eq \f(4π,3)＋φ)＝0，所以eq \f(4π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－eq \f(4π,3)＋kπ，k∈Z，
又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝eq \f(2π,3)，故f(x)＝sin (2x＋eq \f(2π,3)).
对于A，当x∈(0，eq \f(5π,12))时，2x＋eq \f(2π,3)∈(eq \f(2π,3)，eq \f(3π,2))，由正弦函数y＝sinu图象知y＝f(x)在(0，eq \f(5π,12))上单调递减；
对于B，当x∈(－eq \f(π,12)，eq \f(11π,12))时，2x＋eq \f(2π,3)∈(eq \f(π,2)，eq \f(5π,2))，由正弦函数y＝sinu图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(3π,2)，解得x＝eq \f(5π,12)，即x＝eq \f(5π,12)为函数的唯一极值点；
对于C，当x＝eq \f(7π,6)时，2x＋eq \f(2π,3)＝3π，f(eq \f(7π,6))＝0，直线x＝eq \f(7π,6)不是对称轴；
对于D，由y′＝2cs (2x＋eq \f(2π,3))＝－1得：cs (2x＋eq \f(2π,3))＝－eq \f(1,2)，
解得2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)＋2kπ或2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，
从而得x＝kπ或x＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝f(x)在点(0，eq \f(\r(3),2))处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cseq \f(2π,3)＝－1，
切线方程为y－eq \f(\r(3),2)＝－(x－0)即y＝eq \f(\r(3),2)－x.故选AD.
答案：AD
16．解析：(1)f(x)＝2eq \r(3)－4eq \r(3)cs2(ωx＋eq \f(π,6))－4sinωxcsωx＝－2eq \r(3)cs (2ωx＋eq \f(π,3))－2sin2ωx
＝－eq \r(3)cs2ωx＋sin2ωx＝2sin (2ωx－eq \f(π,3))，
由题意知，f(x)的最小正周期为π，所以T＝eq \f(2π,2ω)＝π，解得ω＝1，
所以f(x)＝2sin (2x－eq \f(π,3))，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，
取k＝1，则eq \f(11π,12)≤x≤eq \f(17π,12)，取k＝0，则－eq \f(π,12)≤x≤eq \f(5π,12)，
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，π)).
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x－eq \f(π,3))，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，
由y＝sinx的对称性可知(2x1－eq \f(π,3))＋(2x2－eq \f(π,3))＝π，解得x1＋x2＝eq \f(5π,6)，
所以cseq \f(x1＋x2,2)＝cseq \f(5π,12)＝cs (eq \f(π,6)＋eq \f(π,4))＝cseq \f(π,6)cseq \f(π,4)－sineq \f(π,6)sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).