2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习29简单的三角恒等变换（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习29简单的三角恒等变换（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)＝2sin (π＋x)csx，则f(eq \f(π,6))＝( )
A．eq \f(\r(3),2)B．－eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
2．[2024·安徽安庆模拟]已知cseq \f(θ,2)＋sineq \f(θ,2)＝eq \r(2)sinθ，则sinθ＝( )
A．1B．1或－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,2)或－1
3．[2024·江西上饶模拟]已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，α为钝角，tan (α－β)＝eq \f(1,3)，则tanβ＝( )
A．1B．－1
C．2D．－2
4．已知α为锐角，且cs (α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(3,5)，则cs (α＋eq \f(3π,4))＝( )
A．－eq \f(3,5)B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(4,5)D．eq \f(4,5)
5．[2024·山东烟台模拟]已知cs (eq \f(α,2)＋eq \f(π,4))＝eq \f(\r(6),3)，则sinα＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2)D．－eq \f(1,3)
6．[2024·辽宁沈阳模拟]已知sin (α＋eq \f(π,3))＋sinα＝eq \f(\r(3),3)，则sin (2α－eq \f(π,6))＝( )
A．eq \f(1,3)B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(7,9)D．eq \f(7,9)
7．已知eq \f(1＋sinx,csx)＝－eq \f(1,3)，则eq \f(csx,sinx－1)＝( )
A．eq \f(1,3)B．－eq \f(1,3)
C．3D．－3
8．(素养提升)[2024·河北邯郸模拟]已知sinα＝eq \f(1,2)＋csα，则eq \f(cs（π－2α）,sin（α＋\f(π,4)）)＝( )
A．－eq \f(\r(14),2)B．－eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(14),2)D．eq \f(\r(2),2)
9．(素养提升)[2024·山西朔州模拟]已知eq \f(1,tan\f(θ,2))－taneq \f(θ,2)＝2sinθ，则csθ＝( )
A．eq \f(\r(5)－2,4)B．eq \f(2－\r(5),2)
C．eq \f(1－\r(5),2)D．eq \f(\r(5)－1,2)
二、多项选择题
10．[2024·广东佛山模拟]下列化简正确的是( )
A．eq \f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝eq \r(3)
B．cs82°sin52°＋sin82°cs128°＝－eq \f(1,2)
C．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝eq \f(89,2)
D．eq \f(1,sin10°)－eq \f(\r(3),cs10°)＝4
11．已知cs (α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，cs2α＝－eq \f(4,5)，其中α，β为锐角，则( )
A.sin2α＝eq \f(3,5)B．cs (α－β)＝eq \f(2\r(5),5)
C.csαcsβ＝eq \f(\r(3),10)D.tanαtanβ＝eq \f(1,3)
三、填空题
12．化简：eq \f(cs2α,2cs2（\f(π,4)－α）tan（\f(π,4)－α）)＝________．
13．[2024·山西临汾模拟]已知sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，则sinα＝__________．
14．[2024·江苏宿迁模拟]求sin20°sin50°(eq \r(3)＋tan10°)＝________．
四、解答题
15．已知csα＝eq \f(2\r(5),5)，cs (α＋β)＝eq \f(\r(10),10)，其中α，β∈(0，π).
(1)求β；
(2)求sin (2α－β).
优生选做题
16．[2024·河北张家口模拟]已知0A．eq \f(7,9)B．－eq \f(7,9)
C．eq \f(\r(7),3)D．－eq \f(\r(7),3)
17．已知函数f(x)＝2sinxcs (x＋eq \f(π,3)).
(1)求f(eq \f(25π,6))的值；
(2)设α∈(0，π)，f(eq \f(α,2))＝eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),2)，求sinα的值．
课后定时检测案29 简单的三角恒等变换
1．解析：f(x)＝2sin (π＋x)csx＝－2sinxcsx＝－sin2x，则f(eq \f(π,6))＝－eq \f(\r(3),2).故选B.
答案：B
2．解析：由cseq \f(θ,2)＋sineq \f(θ,2)＝eq \r(2)sinθ，
两边同时平方整理得2sin2θ－sinθ－1＝0，
解得sinθ＝1或sinθ＝－eq \f(1,2).故选B.
答案：B
3．解析：因为sinα＝eq \f(\r(5),5)，所以csα＝±eq \r(1－sin2α)＝±eq \f(2\r(5),5)，因为α为钝角，
所以csα＝－eq \f(2\r(5),5)，则tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(1,2)，
所以tanβ＝tan [α－(α－β)]＝eq \f(tanα－tan（α－β）,1＋tanαtan（α－β）)＝eq \f(－\f(1,2)－\f(1,3),1＋（－\f(1,2)）×\f(1,3))＝－1.故选B.
答案：B
4．解析：cs (α＋eq \f(3π,4))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋\f(π,4)）＋\f(π,2)))＝－sin (α＋eq \f(π,4))，
∵α为锐角，∴α＋eq \f(π,4)∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))⇒sin (α＋eq \f(π,4))＝eq \r(1－cs2（α＋\f(π,4)）)＝eq \f(4,5)，
∴－sin(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(4,5).故选C.
答案：C
5．解析：∵－sinα＝cs (α＋eq \f(π,2))＝cs2(eq \f(α,2)＋eq \f(π,4))＝2cs2(eq \f(α,2)＋eq \f(π,4))－1＝2×eq \f(2,3)－1＝eq \f(1,3)，
∴sinα＝－eq \f(1,3).故选D.
答案：D
6．解析：因为sin (α＋eq \f(π,3))＋sinα＝sinαcseq \f(π,3)＋csαsineq \f(π,3)＋sinα＝eq \f(3,2)sinα＋eq \f(\r(3),2)csα，
所以eq \f(3,2)sinα＋eq \f(\r(3),2)csα＝eq \f(\r(3),3)，即eq \r(3)sin (α＋eq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),3)，故sin (α＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,3)，
sin (2α－eq \f(π,6))＝－cs (2α－eq \f(π,6)＋eq \f(π,2))＝－cs (2α＋eq \f(π,3))＝2sin2(α＋eq \f(π,6))－1＝－eq \f(7,9).故选C.
答案：C
7．解析：eq \f(1＋sinx,csx)·eq \f(sinx－1,csx)＝eq \f(sin2x－1,cs2x)＝－1，∴eq \f(csx,sinx－1)＝eq \f(1,3).故选A.
答案：A
8．解析：因为sinα＝eq \f(1,2)＋csα，即sinα－csα＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(cs（π－2α）,sin（α＋\f(π,4)）)＝eq \f(－cs2α,\f(\r(2),2)（sinα＋csα）)＝
－eq \f(\r(2)（csα＋sinα）（csα－sinα）,sinα＋csα)＝－eq \r(2)(csα－sinα)＝eq \f(\r(2),2).故选D.
答案：D
9．解析：因为eq \f(1,tan\f(θ,2))－taneq \f(θ,2)＝2sinθ，
所以eq \f(cs\f(θ,2),sin\f(θ,2))－eq \f(sin\f(θ,2),cs\f(θ,2))＝2sinθ.
所以cs2eq \f(θ,2)－sin2eq \f(θ,2)＝sin2θ，
则csθ＝sin2θ，
即csθ＝1－cs2θ，
解得csθ＝eq \f(\r(5)－1,2).故选D.
答案：D
10．解析：eq \f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝tan (48°＋72°)＝tan120°＝－eq \r(3)，故A错误；
由cs82°sin52°＋sin82°cs128°＝cs82°sin52°－sin82°cs52°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－eq \f(1,2)，故B正确；
设A＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，
则A＝cs289°＋cs288°＋cs287°＋…＋cs21°，
而sin2α＋cs2α＝1，故2A＝89即A＝eq \f(89,2)，故C正确；
eq \f(1,sin10°)－eq \f(\r(3),cs10°)＝eq \f(cs10°－\r(3)sin10°,sin10°cs10°)＝
eq \f(2（\f(1,2)cs10°－\f(\r(3),2)sin10°）,sin10°cs10°)＝eq \f(2（sin30°cs10°－cs30°sin10°）,\f(1,2)×2sin10°cs10°)＝eq \f(2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝4，所以D正确．故选BCD.
答案：BCD
11．解析：因为α，β为锐角，即0<α0<α＋β<π，0<2α<π，
因为cs (α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)<0，所以eq \f(π,2)<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，
因为cs2α＝－eq \f(4,5)<0，所以eq \f(π,2)<2α<π，
则eq \f(π,4)<αcs(α－β)＝cs [2α－(α＋β)]＝cs2αcs (α＋β)＋sin2αsin (α＋β)＝(－eq \f(4,5))×(－eq \f(\r(5),5))＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),5)，所以B选项正确；
cs (α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(2\r(5),5) ①，
cs (α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ＝－eq \f(\r(5),5) ②，
①＋②并化简得csαcsβ＝eq \f(\r(5),10)，所以C选项错误；
①－②并化简得sinαsinβ＝eq \f(3\r(5),10)，
所以tanαtanβ＝eq \f(sinαsinβ,csαcsβ)＝eq \f(\f(3\r(5),10),\f(\r(5),10))＝3，所以D选项错误．故选AB.
答案：AB
12．解析：原式＝eq \f(sin（\f(π,2)－2α）,2cs2（\f(π,4)－α）tan（\f(π,4)－α）)
＝eq \f(2sin（\f(π,4)－α）cs（\f(π,4)－α）,2cs2（\f(π,4)－α）tan（\f(π,4)－α）)＝1.
答案：1
13．解析：∵(sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2))2＝1＋2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝1＋sinα，sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝eq \f(3,5)，
∴eq \f(9,25)＝1＋sinα，解得sinα＝－eq \f(16,25).
答案：－eq \f(16,25)
14．解析：sin20°sin50°(eq \r(3)＋tan10°)＝sin20°sin50°(eq \f(\r(3)cs10°＋sin10°,cs10°))＝sin20°sin50°eq \f(2sin（60°＋10°）,cs10°)
＝sin20°sin50°eq \f(2sin70°,cs10°)＝eq \f(2sin20°sin50°sin70°,cs10°)
＝eq \f(2sin20°cs20°cs40°,cs10°)
＝eq \f(sin40°cs40°,cs10°)＝eq \f(sin80°,2cs10°)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
15．解析：(1)∵α，β∈(0，π)，csα＝eq \f(2\r(5),5)，cs (α＋β)＝eq \f(\r(10),10)，
∴α∈(0，eq \f(π,2))，α＋β∈(0，eq \f(π,2))，∴sinα＝eq \f(\r(5),5)，sin (α＋β)＝eq \f(3\r(10),10).
csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)csα＋sin (α＋β)sinα＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(2),2)，
∵β∈(0，π)，∴β＝eq \f(π,4).
(2)sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(4,5)，cs2α＝1－2sin2α＝eq \f(3,5)，
∴sin(2α－β)＝sin2αcsβ－cs2αsinβ＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
16．解析：因为00，
所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(π,2)，即x1＋x2＝π，x2＝π－x1，
所以cs (x1－x2)＝cs (2x1－π)＝－cs2x1＝－(1－2sin2x1)＝－(1－2×eq \f(1,9))＝－eq \f(7,9).故选B.
答案：B
17．解析：(1)由f(x)＝2sinxcs (x＋eq \f(π,3))＝2sinx·(csxcseq \f(π,3)－sinxsineq \f(π,3))＝sinxcsx－eq \r(3)sin2x，
即f(x)＝sinxcsx－eq \r(3)sin2x＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(\r(3)（1－cs2x）,2)＝sin (2x＋eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)，
所以f(eq \f(25π,6))＝sin (eq \f(25π,3)＋eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)＝sin (8π＋eq \f(2π,3))－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)，
所以f(eq \f(α,2))＝sin (α＋eq \f(π,3))－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),2)，
所以sin (α＋eq \f(π,3))＝eq \f(1,4)，
由α∈(0，π)，得α＋eq \f(π,3)∈(eq \f(π,3)，eq \f(4π,3))，
所以cs (α＋eq \f(π,3))＝±eq \r(1－sin2（α＋\f(π,3)）)＝±eq \r(1－\f(1,16))＝±eq \f(\r(15),4)，
①当cs (α＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(15),4)时，
sinα＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋\f(π,3)）－\f(π,3)))＝sin (α＋eq \f(π,3))cseq \f(π,3)－cs (α＋eq \f(π,3))sineq \f(π,3)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)－eq \f(\r(15),4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1－3\r(5),8)<0，
而当α∈(0，π)时，sinα>0，所以此种情况不成立；
②当cs (α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(\r(15),4)时，
sinα＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋\f(π,3)）－\f(π,3)))＝sin (α＋eq \f(π,3))cseq \f(π,3)－cs (α＋eq \f(π,3))sineq \f(π,3)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋3\r(5),8)，
综上所述sinα＝eq \f(1＋3\r(5),8).