2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习28两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习28两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·河北保定模拟]已知钝角α满足sinα＝eq \f(\r(5),5)，则cs (eq \f(π,4)＋α)＝( )
A．－eq \f(\r(10),4)B．－eq \f(3\r(10),10)
C．eq \f(\r(10),5)D．eq \f(2\r(5),5)
2．[2024·河南开封模拟]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4，3)，则sin (eq \f(3π,2)＋2α)＝( )
A．－eq \f(24,25)B．－eq \f(7,25)
C．eq \f(7,25)D．eq \f(24,25)
3．sin115°cs5°＋sin25°cs95°＝( )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)
4．[2024·辽宁丹东模拟]eq \r(1＋sin10)＝( )
A．－sin5－cs5B．sin5－cs5
C．－sin5＋cs5D．sin5＋cs5
5．[2024·河北沧州模拟]已知点P(eq \r(3)，1)为角α终边上一点，绕原点O将OP顺时针旋转eq \f(5π,6)，点P旋转到点Q处，则点Q的坐标为( )
A．(－eq \r(3)，－1) B．(－1，－eq \r(3))
C．(－eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2)) D．(－eq \f(\r(3),2)，－1)
6．[2024·河南开封模拟]已知sin (α＋eq \f(π,6))－csα＝eq \f(4,5)，则cs (α＋eq \f(π,3))＝( )
A．eq \f(3,5)B．eq \f(4,5)
C．－eq \f(3,5)D．－eq \f(4,5)
7．[2024·安徽合肥模拟]已知sinθ＋2cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(5,4)，则sin2θ＝( )
A．－eq \f(15,16)B．eq \f(15,16)
C．－eq \f(3,4)D．eq \f(3,4)
8．(素养提升)[2024·山西忻州模拟]已知sin (α＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(3),6)，则sin (2α＋eq \f(π,6))＝( )
A．eq \f(5,6)B．－eq \f(5,6)
C．eq \f(11,12)D．－eq \f(11,12)
9．(素养提升)[2024·广东广州模拟]已知θ为第一象限角，sinθ－csθ＝eq \f(\r(3),3)，则tan2θ＝( )
A．eq \f(2\r(2),3)B．eq \f(2\r(5),5)
C．－eq \f(2\r(2),3)D．－eq \f(2\r(5),5)
二、多项选择题
10．[2024·江西南昌模拟]计算下列各式，结果为eq \r(3)的是( )
A．eq \r(2)sin15°＋eq \r(2)cs15°
B．cs215°－sin15°cs75°
C．eq \f(tan15°,1－tan215°)
D．eq \f(1＋tan15°,1－tan15°)
11．(素养提升)[2024·河南洛阳模拟]已知0<α<βA．sinβ＝eq \f(2\r(5),5)B．sin (β－α)＝－eq \f(\r(10),10)
C．sin2β＝eq \f(4,5)D．α＝eq \f(π,4)
三、填空题
12．[2024·河南郑州模拟]已知sinα＝eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，则tan2α的值是__________．
13．求值：
eq \f(tan62°＋tan88°＋tan210°,tan62°tan88°)＝________．
14．[2024·广东湛江模拟]eq \f(cs70°－cs20°,cs65°)＝______．
四、解答题
15．已知α，β为锐角，tanα＝eq \f(3,4)，cs (α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求sin2α的值；
(2)求tan (α－β)的值．
优生选做题
16．[2024·广东茂名模拟]已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，sin (2α＋β)＝2sinβ，则tanβ的最大值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
17．[2024·山东德州模拟](1)已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，csα＝eq \f(1,7)，cs (α＋β)＝－eq \f(11,14)，求sinβ的值．
(2)已知0≤θ≤π，sinθ－csθ＝eq \f(1,3)，求sin (2θ－eq \f(π,4))的值．
课后定时检测案28 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
1．解析：由α为钝角，可知csα<0，所以csα＝－eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(－2\r(5),5)，
所以cs (eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)＝eq \f(\r(2),2)×(－eq \f(2\r(5),5)－eq \f(\r(5),5))＝－eq \f(3\r(10),10).故选B.
答案：B
2．解析：由题意得csα＝－eq \f(4,5)，所以sin (eq \f(3π,2)＋2α)＝－cs2α＝1－2cs2α＝1－2×eq \f(16,25)＝－eq \f(7,25).故选B.
答案：B
3．解析：sin115°cs5°＋sin25°cs95°＝sin (90°＋25°)cs5°＋sin25°cs (90°＋5°)＝cs25°cs5°－sin25°sin5°＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).故选C.
答案：C
4．解析：由eq \r(1＋sin10)＝eq \r(sin25＋2sin5cs5＋cs25)
＝eq \r(（sin5＋cs5）2)＝|sin5＋cs5|，
又eq \f(3π,2)<50>sin5且|cs5|<|sin5|，
所以eq \r(1＋sin10)＝－(sin5＋cs5)＝－sin5－cs5.故选A.
答案：A
5．解析：因为P(eq \r(3)，1)，可得OP＝2，由三角函数的定义，可得csα＝eq \f(\r(3),2)，sinα＝eq \f(1,2)，
又由绕原点O将OP顺时针旋转eq \f(5π,6)，且射线OQ为角α－eq \f(5π,6)的终边，
所以cs (α－eq \f(5π,6))＝csαcseq \f(5π,6)＋sinαsineq \f(5π,6)＝－eq \f(1,2)，
sin (α－eq \f(5π,6))＝sinαcseq \f(5π,6)－csαsineq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，所以点Q的坐标为(－1，－eq \r(3)).故选B.
答案：B
6．解析：因为sin (α＋eq \f(π,6))－csα＝eq \f(\r(3),2)sinα＋eq \f(1,2)csα－csα＝eq \f(\r(3),2)sinα－eq \f(1,2)csα＝eq \f(4,5)，即sin (α－eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)，
所以cs (α＋eq \f(π,3))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α－\f(π,6)）＋\f(π,2)))＝－sin (α－eq \f(π,6))＝－eq \f(4,5).故选D.
答案：D
7．解析：由已知sinθ＋2cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(5,4)，化简得sinθ＋1＋csθ＝eq \f(5,4)，∴sinθ＋csθ＝eq \f(1,4).
平方得1＋sin2θ＝eq \f(1,16)，
所以sin2θ＝－eq \f(15,16).故选A.
答案：A
8．解析：由2α＋eq \f(π,6)＝2(α＋eq \f(π,3))－eq \f(π,2)，
得sin (2α＋eq \f(π,6))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（α＋\f(π,3)）－\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（α＋\f(π,3)）))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2（α＋\f(π,3)）))＝－(1－eq \f(1,6))＝－eq \f(5,6).故选B.
答案：B
9．解析：因为θ为第一象限角，sinθ－csθ＝eq \f(\r(3),3)>0，则sinθ>csθ>0，cs2θ＝cs2θ－sin2θ<0，
(sinθ－csθ)2＝eq \f(1,3)，即1－sin2θ＝eq \f(1,3)，解得sin2θ＝eq \f(2,3)，cs2θ＝－eq \r(1－sin22θ)＝－eq \f(\r(5),3)，
所以tan2θ＝eq \f(sin2θ,cs2θ)＝－eq \f(2\r(5),5).故选D.
答案：D
10．解析：eq \r(2)sin15°＋eq \r(2)cs15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin60°＝eq \r(3)，故A项成立；
cs215°－sin15°cs75°＝cs215°－sin215°＝cs(2×15°)＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，故B项不成立；
eq \f(tan15°,1－tan215°)＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan15°,1－tan215°)＝eq \f(1,2)tan30°＝eq \f(\r(3),6)，故C项不成立；
eq \f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq \f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan (45°＋15°)＝tan60°＝eq \r(3)，故D项成立．故选AD.
答案：AD
11．解析：0<βsin2β＝2sinβcsβ＝eq \f(4,5)，C正确；
因为0<β－αcsα＝cs [β－(β－α)]＝csβcs (β－α)＋sinβsin (β－α)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，0<α答案：ACD
12．解析：因为sinα＝eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，
所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，则tanα＝－eq \f(4,3)，
所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(－\f(8,3),1－\f(16,9))＝eq \f(24,7).
答案：eq \f(24,7)
13．解析：因为eq \f(tan62°＋tan88°＋tan210°,tan62°tan88°)
＝eq \f(tan（62°＋88°）[1－tan62°tan88°]＋tan30°,tan62°tan88°)
＝eq \f(tan150°－tan150°tan62°tan88°＋tan30°,tan62°tan88°)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
14．解析：由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：
eq \f(cs70°－cs20°,cs65°)＝eq \f(cs（90°－20°）－cs20°,cs65°)
＝eq \f(sin20°－cs20°,cs（45°＋20°）)
＝eq \f(sin20°－cs20°,cs45°cs20°－sin45°sin20°)＝－eq \r(2).
答案：－eq \r(2)
15．解析：(1)因为tanα＝eq \f(3,4)，
所以sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,tan2α＋1)＝eq \f(2×\f(3,4),\f(9,16)＋1)＝eq \f(24,25).
(2)因为tanα＝eq \f(3,4)，所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq \f(24,7)，
因为α，β为锐角，所以α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(0，eq \f(π,2))，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)，
则tan (α＋β)＝eq \f(sin（α＋β）,cs（α＋β）)＝eq \f(\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝－2，
所以tan (α－β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2α－（α＋β）))＝eq \f(tan2α－tan（α＋β）,1＋tan2α·tan（α＋β）)＝eq \f(\f(24,7)＋2,1－2×\f(24,7))＝－eq \f(38,41).
16．解析：因为α，β∈(0，eq \f(π,2))，sin (2α＋β)＝2sinβ，
所以sin [(α＋β)＋α]＝2sin [(α＋β)－α]，
sin (α＋β)csα＋cs (α＋β)sinα＝2[sin (α＋β)csα－cs (α＋β)sinα]，
即3cs (α＋β)sinα＝sin (α＋β)csα，所以tan (α＋β)＝3tanα，
因为tanα>0，tanβ>0，
所以tanβ＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)，
所以tanβ＝eq \f(2tanα,1＋3tan2α)＝eq \f(2,\f(1,tanα)＋3tanα)≤eq \f(2,2\r(\f(1,tanα)·3tanα))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当eq \f(1,tanα)＝3tanα，即tanα＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立，tanβ取得最大值eq \f(\r(3),3).故选B.
答案：B
17．解析：(1)依题意，α，β∈(0，eq \f(π,2))，α＋β∈(0，π)，
所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－(－eq \f(11,14))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2).
(2)由sinθ－csθ＝eq \f(1,3)两边平方得1－2sinθcsθ＝eq \f(1,9)，2sinθcsθ＝eq \f(8,9)>0，
所以0<θ由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＋csθ＝\f(\r(17),3),sinθ－csθ＝\f(1,3)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(\r(17)＋1,6)，,csθ＝\f(\r(17)－1,6)，))
则sin2θ＝2sinθcsθ＝eq \f(8,9)，cs2θ＝cs2θ－sin2θ
＝(csθ＋sinθ)(csθ－sinθ)＝－eq \f(\r(17),3)×eq \f(1,3)＝－eq \f(\r(17),9).
所以sin (2θ－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)(sin2θ－cs2θ)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(8＋\r(17),9)＝eq \f(8\r(2)＋\r(34),18).