2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第四节随机事件的概率与古典概型

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第四节随机事件的概率与古典概型，共13页。试卷主要包含了9，0等内容，欢迎下载使用。
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．理解事件间的关系与运算．
3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
问题思考·夯实技能
【问题1】 互斥事件与对立事件有何区别与联系？
【问题2】 随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
关键能力·题型剖析
题型一 随机事件
角度一 事件的关系与运算
例 1 (1)(多选)[2024·河南平顶山模拟]抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是( )
A．C＝A＝A
C．C＝∅ D．C⊆B
(2)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红、黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
题后师说
判断互斥事件、对立事件的两种方法
角度二 随机事件的频率与概率
例 2 [2024·广东揭阳模拟]为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答．结果被调查的1 200人(学号从1至1 200)中有366人回答了“是”．由此可以估计这1 200人中闯过红灯的人数是________．
题后师说
计算简单随机事件的频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．
角度三 互斥事件与对立事件的概率
例 3 某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
题后师说
求复杂互斥事件概率的两种方法
巩固训练1
(1)天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A． B． C． D．
(2)(多选)[2024·河北石家庄模拟]口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件A＝取出的两球同色，B＝取出的2 球中至少有一个黄球，C＝取出的2球中至少有一个白球，D＝取出两个球不同色，E＝取出的2球中至多有一个白球．下列判断中正确的是( )
A．事件A与D为对立事件
B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与E为对立事件
D．事件P(C＝1
(3)四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为________.
题型二 古典概型
例 4 (1)[2024·河南郑州模拟]有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4.同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)[2024·河北保定模拟]三位同学参加某项体育测试，每人要从100 m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是( )
A． B．
C． D．
题后师说
古典概型中样本点个数的探求方法
巩固训练2
(1)[2024·山东济南模拟]从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)[2024·安徽宣城模拟]将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A． B．
C． D．
题型三 概率与统计的综合问题
例 5 [2024·安徽安庆模拟]县政府组织500人参加卫生城市创建“义工”活动，按年龄分组所得频率分布直方图如图，完成下列问题：
(1)如表是年龄的频数分布表，求出表中正整数a、b的值；
(2)现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1、2、3组的各抽取多少人？
(3)在第(2)问的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
题后师说
概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．
巩固训练3
某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下：
(1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；
(2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率．

1．[2023·全国甲卷]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A． B． C． D．
2．[2022·新高考Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A． B． C． D．
3．[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B． C． D．
4．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
第四节 随机事件的概率与古典概型
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
【问题2】 提示：随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)记Ai＝{有i枚硬币正面向上}，i＝0，1，2，3，
则A＝A1＝A0＝A0，
对于A，因为A＝A1故A错误；
对于B，因为A＝A0故B错误；
对于C，因为C＝∅，故C正确；
对于D，因为C⊆B，故D正确．故选CD.
(2)对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是．故选C.
答案：(1)CD (2)C
例2 解析：被调查的1 200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0.11，用样本频率估计总体，从而估计这1 200人中闯过红灯的人数为1 200×0.11＝132人．
答案：132
例3 解析：(1)设“派出2人及以下外出家访”为事件A，“派出3人外出家访”为事件B，“派出4人外出家访”为事件C，“派出5人外出家访”为事件D，“派出6人及以上外出家访”为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C与D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知P(C＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访，所以由对立事件的概率公式可知所求概率P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
巩固训练1 解析：(1)10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为＝.故选B.
(2)设Ω是样本空间，A选项，由于A＝Ω，A＝∅，所以A与D是对立事件，A选项正确；B选项，由于B＝“取出的2球中，一个黄球一个白球”，所以B与C不是互斥事件，B选项错误；C选项，由于C＝“取出的2球中，恰好有1个白球”，所以C与E不是对立事件，C选项错误；D选项，由于C＝Ω，所以P(C＝1，所以D选项正确．故选AD.
(3)该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，所以该电路正常工作的概率为0.9×(1－0.2×0.3×0.4)＝0.878 4.
答案：(1)B (2)AD (3)0.878 4
例4 解析：(1)根据题意，同时抛掷两个玩具，朝下的面写有的数字有16种情况，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种，
分别为(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，
则数字之积是3的倍数的概率为P＝，故选D.
(2)三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有)3个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件A含有的基本事件数有－1)个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P(A)＝＝.故选C.
答案：(1)D (2)C
巩固训练2
解析：(1)以点A为例，以点A为其中一个顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ABE，△ABF，△ACD，△ACE，△ACF，△ADE，△ADF，△AEF，共10个，
其中直角三角形为△ABD，△ABE，△ACD，△ACF，△ADE，△ADF，共6个，
故所得三角形是直角三角形的概率为＝.故选C.
(2)将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有＝＝21(种)．
要使2个0不相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放0，故排放方法有＝＝15(种)．
所以所求概率为P＝＝.故选D.
答案：(1)C (2)D
例5 解析：(1)由图可知，年龄在[35，40)间的频率为0.08×5＝0.4，故a＝0.4×500＝200(人)，b＝500－(50＋50＋200＋150)＝50(人)．
(2)由题意知，第1，2，3组共有300人，现在抽取6人，其抽样比例为＝，
所以每组应该抽取的人数为：第1组：50×＝1，
第2组：50×＝1，第3组：200×＝4.
(3)设第1组的人为A，第2组的人为B，第3组的人为c，d，e，f，现在随机抽取6人，共有：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef 15种抽取方法，记事件E为“至少有1人来自第3组”，则P(E)＝1－＝.
巩固训练3 解析：(1)由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为＝；
女生中喜欢养殖小动物甲的频率为＝，
所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为.
(2)抽取的这6人中男生人数为6×＝2，分别记为A，B，
女生人数为6×＝4，分别记为a，b，c，d.
设抽取的2人分别为m，n，用数组(m，n)表示这个实验的一个样本点，
因此该试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}共15个样本点．
设事件E＝“抽取的2人恰好都是女生”，
则E＝，共6个样本点．
因为样本空间Ω中每一个样本点出现的可能性相等，
所以该试验是古典概型，因此P(E)＝＝.
随堂检测
1．解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D.
答案：D
2．解析：从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
答案：D
3．解析：从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率P＝＝.故选C.
答案：C
4．解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有＝10(种)选法，甲、乙都入选有＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率P＝.
答案：派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
组别
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50)
人数
50
50
a
150
b
性别
养殖小动物甲
喜欢
不喜欢
男生
20
30
女生
40
10