2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何高考大题研究课八圆锥曲线中的定点定值问题

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何高考大题研究课八圆锥曲线中的定点定值问题，共8页。
会用直线与圆锥曲线的有关知识解决定点、定值问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 定点问题
例1[2023·全国乙卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
题后师说
求解直线或曲线过定点问题的策略
巩固训练1
[2024·山西吕梁模拟]已知抛物线C：y2＝2px过点A(2，4)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)P，Q是抛物线C上的两个动点，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，证明：直线PQ恒过定点．
题型二 定值问题
例2[2024·湖南长沙模拟]已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(1)求k的取值范围；
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．
题后师说
求定值问题的策略
巩固训练2
[2024·河北保定模拟]已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P(2，2)，
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA，PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值．
高考大题研究课八 圆锥曲线中的
定点、定值问题
关键能力·题型剖析
例1 解析：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＝1.
解析：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设为k(k≠0)，
设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，
同理得yN＝，
则yM＋yN＝2
＝2
＝2
＝2
＝2×
＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，
所以MN的中点为定点(0，3)．
巩固训练1 解析： A(2，4)坐标代入抛物线方程得16＝4p，解得p＝4，
∴抛物线方程为y2＝8x.
解析：证明：显然直线PQ斜率不为0，故可设PQ：x＝my＋t，将PQ的方程与y2＝8x联立得y2－8my－8t＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t，
所以Δ>0⇒64m2＋32t>0⇒2m2＋t>0，
kPA＝＝＝，同理：kQA＝，
由题意：＝4，
∴2(y1＋y2)＝y1y2＋4(y1＋y2)，
∴y1y2＝－2(y1＋y2)，即t＝2m，
代入直线得x＝my＋2m＝m(y＋2)，
故直线PQ恒过定点(0，－2)．
例2 解析：∵l与圆相切，∴1＝，∴m2＝1＋k2，
由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，
∴
∴k20)，
根据题意得解得
故所求椭圆方程为＝1.
解析：如图所示，
设直线l：y＝kx＋m交该椭圆＝1于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
将y＝kx＋m代入＝1，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－20＝0，
所以
由直线PA，PB能与x轴共同围成底边在x轴上的等腰三角形，
可得kPA＋kPB＝0，
即＝＝0，
整理得(kx1＋m－2)(x2－2)＋(kx2＋m－2)(x1－2)＝2kx1x2＋(m－2k－2)(x1＋x2)－4(m－2)＝0，
即2k·－(m－2k－2)·－4(m－2)＝0，
即(4k－1)m＋8k2－10k＋2＝0，
所以当k＝时，不论m为何值时(4k－1)m＋8k2－10k＋2＝0都成立，
所以直线PA，PB与x轴共同围成底边在x轴上的等腰三角形时直线AB的斜率为定值.