2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第六节双曲线

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第六节双曲线，共15页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
【问题2】 如何由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求出其渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程为y＝kx，如何设双曲线方程？
关键能力·题型剖析
题型一 双曲线的定义及应用
例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
(2)已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．2 B．2
C． D．2
题后师说
(1)在利用双曲线的定义求双曲线的轨迹时，要注意分清是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固训练1
(1)[2024·江西上饶模拟]已知圆x2＋y2－4y＝0的圆心为S，过点T(0，－2)的直线m交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点M，则点M的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
(2)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为( )
A．6 B．7
C．8 D．不能确定
题型二 双曲线的标准方程
例2(1)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2024·河南许昌模拟]已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(3)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PQ|＝4，△PQF1的周长为20，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
题后师说
求双曲线方程的两种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北张家口模拟]“k>2”是“＝1表示双曲线”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题型三 双曲线的几何性质
角度一 渐近线
例3(1)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
题后师说
求双曲线渐近线方程的两种常用方法
角度二 离心率
例4(1)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|OP|＝c，|PF|＝2a，则双曲线C的离心率为( )
A． B．2 C． D．3
(2)[2024·九省联考]设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
题后师说
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
巩固训练3
(1)[2024·江苏镇江模拟]点(0，4)到双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．5
(2)[2024·河北唐山模拟]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为______．
(3)[2024·安徽黄山模拟]设双曲线＝1(a>0，b>0)，其右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点H，且与另一条渐近线交于点Q，若＝，则双曲线的离心离为__________．
1.(多选)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn0，则C是两条直线
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
3．[2022·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，则C的离心率为________．
第六节 双曲线
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：若A＞0，B＜0表示焦点在x轴上的双曲线；若A＜0，B＞0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB＜0.
【问题2】 答案：由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求渐近线方程，只需把1变成0，整理得±＝0.反过来，若双曲线的渐近线方程为y＝kx，则双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
关键能力·题型剖析
例1 解析：
如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.
解析：设θ＝∠F1PF2＝60°，则＝|PF1||PF2|sin θ，
而cs θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故选D.
答案： A
答案：D
巩固训练1 解析： x2＋y2－4y＝0，即圆x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因为SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故点M的轨迹为双曲线．
故选D.
解析：双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1，
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C.
答案： D
答案：C
例2 解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，
因为过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
则△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，则b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.故选C.
答案： B
答案：A
答案：C
巩固训练2 解析：当(k＋2)(k－2)>0，即k2时，＝1表示双曲线，
所以“k>2”是“＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选B.
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2，
a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线方程为＝1.故选D.
答案： B
答案：D
例3 解析：由题意可得x2－my2＝1⇒＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋⇒m＝，
渐近线方程为y＝± x＝±x.故选D.
解析：设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
因为＝ ＝，所以＝4，则＝2，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
答案： D
答案：C
例4 解析：
由题意知点P在第一象限且在双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为α，则tan α＝，即＝，
结合sin2α＋cs2α＝1，可得csα＝±，
结合题意可知α∈(0，)，故cs α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cs α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cs α，
即cs α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故选B.
解析：由双曲线的对称性可知＝＝，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令＝＝m，则＝＝2m，
由双曲线定义可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cs ∠AF2B＝2a×4a cs ∠AF2B＝4a2，
则cs ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cs ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
答案： B
答案：D
巩固训练3 解析：由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距离为d＝＝＝，所以＝，
不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故选C.
解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，
由题意解得
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
解析：设点H为第一象限内一点，如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，因为＝，则H为FQ的中点，
又因为OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因为∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，则∠FOH＝，
直线OH的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝2.
答案： C
答案：2
答案：2
随堂检测
1．解析：对于选项A，∵m>n>0，∴00，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
3．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
答案：
4．解析：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
答案：