2025版高考数学全程一轮复习练习第七章立体几何与空间向量专题培优课几何法求线面角二面角与距离

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问题思考·夯实技能
【问题1】 请你在图中作出直线l与平面α所成的角，并指出它的范围．
【问题2】 请你在图中作出平面α与平面β所成的角，并指出它的范围．
关键能力·题型剖析
题型一 几何法求线面角
例1 [2024·江西九江模拟]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AB上的动点，则A1M与平面ABC1D1所成角的取值范围为( )
A．[] B．[]
C．[] D．[]
[听课记录]

题后师说
几何法求线面角的一般步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．
巩固训练1
在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为( )
A. B．
C． D．
题型二 几何法求二面角
例2 如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
[听课记录]



题后师说
作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
巩固训练2
埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为( )
A．2 B．3
C． D．
题型三 几何法求距离
例3 已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C的大小为60°，则点A到平面PBD的距离是( )
A． B．
C． D．1
[听课记录]


题后师说
求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上的某一个点到平面α的距离来求．
(3)等体积法．
(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到平面α的距离为d＝.
巩固训练3
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．2
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3，则点B到上底面A1B1C1D1的距离为( )
A．4 B．2 C．2 D．3
2．[2023·全国乙卷]已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B． C． D．
3．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知正方体ABCD - A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，则二面角P-BC-D的大小是__________．
专题培优课 几何法求线面角、二面角与距离
问题思考·夯实技能
【问题1】
提示：在直线l上任取一点P，过点P作平面α的垂线，垂足为O，连结OA，则∠PAO为直线l与平面α所成的角，其范围为[0，].
【问题2】 提示：在平面α与平面β的交线l上任取一点O，作OA⊥l(OA⊂α)，OB⊥l(OB⊂β)，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，其范围为[0，π].
关键能力·题型剖析
例1
解析：设AD1＝O，连接OM，则AD1⊥A1D，
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，
因为AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，
所以A1O⊥平面ABC1D1，
所以∠A1MO即为A1M与平面ABC1D1所成角θ.
设AA1＝2，tan θ＝＝，
因为≤OM≤，
所以tan θ∈[，1]，
因为θ∈[0，]，所以θ∈[]，故选C.
答案：C
巩固训练1
解析：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故可得CD⊥PA，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
故可得CD⊥平面PAD.
连接ED，
故∠CED即为所求直线CE与平面PAD所成角，
不妨设PA＝AB＝AD＝2，
故在直角三角形CED中，CD＝2，DE＝＝，
故可得CE＝＝3，
则sin ∠CED＝＝，
则直线 CE 与平面 PAD 所成角的余弦值为，故选B.
答案：B
例2 解析：
取BC的中点D，连接AD，SD，∵△SBC，△ABC都是等边三角形，∴AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，又BC＝2，∴SD＝AD＝，∵SA＝，∴△SAD为等边三角形，∴∠SDA＝60°，故二面角S-BC-A的大小为60°.故选C.
答案：C
巩固训练2 解析：
如图所示，设正四棱锥的底面边长AB＝2a，点O为底面ABCD的中心，取AD中点为M，则OM＝AM＝a，连接OM，PM，则PM⊥AD，OM⊥AD，则侧面与底面所成角的平面角即为∠PMO，因为侧面与底面所成角的余弦值为，即＝，则PM＝a，在Rt△PAM中，tan ∠PAM＝＝＝.故选D.
答案：D
例3
解析：由题意，∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD＝AD.
又∵PD⊥AD，PD⊂平面PAD，CD⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴∠PDC就是二面角P-AD-C的平面角，
∴∠PDC＝60°，又∵CD＝AD＝2＝PD，
∴△PCD是等边三角形，取CD中点E，连接PE、BE如图，则PE⊥CD，
∵CD⊥AD，PD⊥AD，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，
∴AD⊥平面PCD，又∵PE⊂平面PCD，∴AD⊥PE，
又∵AD∩CD＝D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，即PE为棱锥P-BDA的高，
在边长为2的等边△PCD中，PE＝.
又∵BE⊂平面ABCD，所以PE⊥BE，
在正方形ABCD中，由BC＝2CE＝2知BE＝，
∴在Rt△PEB中，PB＝＝2；在正方形ABCD中，BD＝2，
又知PD＝2，则△PBD如图，取PD中点F，连接BF，
则BF⊥PD，且由PF＝1，PB＝2得BF＝，
∴S△PBD＝×2×＝.假设点A到平面PBD的距离为h，
又知S△BAD＝×AB×AD＝×2×2＝2，
∴由VP-BDA＝VA-PBD得PE×S△BAD＝h×S△PBD，
即×2＝h×，解得h＝，
∴点A到平面PBD的距离为.故选A.
答案：A
巩固训练3 解析：连接AC交BD于点E，则因为四边形ABCD为正方体，所以AC⊥BD，且E为AC中点，因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，因为BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BDD1B1，所以CE的长即为点C到平面BDD1B1的距离，因为正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，所以由勾股定理可得：AC＝＝2，显然CE＝.故选B.
答案：B
随堂检测
1．解析：∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1的长度为点B到平面A1B1C1D1的距离，故点B到上底面A1B1C1D1的距离为3.故选D.
答案：D
2．解析：
如图所示，取AB的中点为M，连接CM，DM，则CM⊥AB，DM⊥AB，又CM，DM⊂平面CMD，CM∩DM＝M，于是AB⊥平面CMD，∠CMD即为二面角C－AB－D的平面角，于是∠CMD＝150°.设AB＝2，则CM＝1，MD＝，在△CMD中，由余弦定理可得CD＝＝.延长CM，过点D作CM的垂线，设垂足为H，则∠HMD＝30°，DH＝DM＝，MH＝DM＝，所以CH＝1＋＝.因为DH⊂平面CMD，则AB⊥DH，又DH⊥CM，AB，CM⊂平面ABC，AB∩CM＝M，所以DH⊥平面ABC，∠DCM即为直线CD与平面ABC所成角，于是在Rt△DCH中，tan ∠DCM＝＝，故选C.
答案：C
3．解析：如图(1)，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．
如图(2)，连接B1C.因为＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确．
如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．
如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
答案：ABD
4.

解析：过P作PM⊥AD，垂足为M，过M作MN⊥BC，垂足为N，连接PN.
平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又PM⊥AD，PM⊂平面PAD，
根据面面垂直的性质定理可得，PM⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，故PM⊥BC，
又BC⊥MN，MN∩PM＝M，MN，PM⊂平面PMN，故BC⊥平面PMN，
由PN⊂平面PMN，故BC⊥PN，于是二面角P-BC-D的平面角为∠PNM，
根据题目数据，在Rt△PMN中，PM＝，MN＝1，∠PMN＝，
则tan ∠PNM＝＝，则∠PNM＝.
答案：