2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题

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关键能力·题型剖析
题型一 与系数有关的最值问题
例 1 [2024·河北唐山模拟]如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且＝4，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则μ－的最小值是( )
A． B．
C．－7 D．
题后师说
巩固训练1
如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，则x2＋9y2的最小值为________．
题型二 与数量积有关的最值(范围)问题
例 2 [2024·河南开封模拟]等腰直角△ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且|AB|＝1，O为坐标原点，则·的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，]
C．(，1] D．(，1]
题后师说
与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识解决．
巩固训练2
[2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则·的最小值是( )
A．－ B．－1
C．－2 D．－4
题型三 与向量的模有关的最值(范围)问题
例 3 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
题后师说
与向量的模有关的最值(范围)问题的两种常用方法
(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；
(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解．
巩固训练3
[2024·湖南衡阳模拟]已知平面向量a、b、c满足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，则|b＋c|的最小值为( )
A．1 B．
C．2 D．4

题型四 与向量的夹角有关的最值(范围)问题
例 4 [2024·安徽安庆模拟]已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为( )
A． B． C． D．
题后师说
求与向量的夹角有关的最值(范围)问题要根据夹角余弦值表达式，利用基本不等式或函数的性质求解．
巩固训练4
平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cs 〈b，3b－a〉的最小值是________．

1．已知向量a，b，c满足a＝(3，0)，b＝(0，4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为( )
A． B． C． D．
2．[2023·湖南长沙模拟]正八边形ABCDEFGH上存在一动点P(点P与A，C不重合)，已知正八边形边长为2，则·的最大值为( )
A．2＋ B．6＋4
C．6＋6 D．8＋6
3．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
4．在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值是________．
状元笔记 极化恒等式
极化恒等式的证明过程与几何意义
证明过程：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
||2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
||2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，此即极化恒等式．
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的.
【典例】 (1)如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值为________.
(2)已知点A，B，C均在半径为的圆上，若|AB|＝2，则·的最大值为________．
[解析] (1)设＝＝，
·＝||2－||2＝92－2＝4，
·＝||2－||2＝2－2＝－1，
解得2＝2＝，
∴·＝||2－||2＝42－2＝.
(2)设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，
故·＝·＝－＝－1，
因为A，B，C三点在圆上，
所以CD长度最大为r＋d，
其中d为圆心O到弦AB的距离，
故最大值为1＋，
所以－1的最大值为(1＋)2－1＝2＋2.
[答案] (1) (2)2＋2
专题培优课 平面向量中的最值(范围)问题
关键能力·题型剖析
例1 解析：因为M，D，N三点共线，所以可设＝t，
则＝t()，
又＝＝＝)＝，
所以＝t()，
又＝λ＝μ，
所以－λ＝t(μ)，
所以(－λ)＝－t＋t(μ－，
所以消去t得＝，
所以μ－＝μ－，
因为λ>0，μ>0，得＝>0，得μ>，
所以μ＋≥2 ＝，当且仅当μ＝，即μ＝时，等号成立，所以μ－的最小值为.故选A.
答案：A
巩固训练1 解析：根据题意，得＝＝xy.
因为M，B，C三点共线，设＝λ，(0