2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积及其应用

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积及其应用，共16页。试卷主要包含了故选D，故选B，故选A等内容，欢迎下载使用。
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．
2．了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决简单的平面几何问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？
【问题2】 由a·b＝0一定可以得出a＝0或b＝0吗？
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量数量积的运算
例 1 (1)[2024·江西宜春模拟]已知向量a＝(－1，m)(m>0)，b＝(4，3)，且|a|＝|b|，则a·b＝( )
A．68 B．－68
C．－4－6 D．6－4
(2)[2024·河南开封模拟]在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点P是菱形ABCD内部一点，且＋2＋3＝0，则·＝( )
A．－ B．－
C． D．
题后师说
平面向量数量积运算的3种策略
巩固训练1
(1)设向量a，b的夹角的余弦值为－，|a|＝4，|b|＝1，则(2a＋3b)·b＝( )
A．－1 B．1
C．－5 D．5
(2)[2024·安徽淮南模拟]在△ABC中，已知∠ACB＝，BC＝4，AC＝3，D是边AB的中点，点E满足＝，则·＝( )
A．－ B．－1
C． D．

题型二 平面向量数量积的应用
角度一 向量的模
例 2 [2024·河北衡水模拟]已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a－b＝(，－2)，则|2a－b|＝( )
A． B．4
C． D．33
角度二 向量的夹角
例 3 [2024·安徽亳州模拟]已知非零向量a，b，c满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝－1，a·b＝1，c＝－2b.则向量a与c的夹角为( )
A．45° B．60°
C．135° D．150°
角度三 向量的垂直
例 4 [2024·山东日照模拟]已知向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，则m＝( )
A． B．3
C． D．5
角度四 投影向量
例 5 [2024·江苏常州模拟]已知平面向量a，b，满足|a|＝2，b＝(1，1)，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影向量的坐标为( )
A．() B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(－，－)
题后师说
(1)求平面向量的模的方法：①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．
(2)求平面向量的夹角的方法：①定义法：cs θ＝；②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
(4)求投影向量的方法：向量a在向量b上的投影向量为·＝b.
巩固训练2
(1)(多选)[2024·广东广州模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则( )
A．(a－b)⊥(a＋b)
B．(a－b)∥(a＋b)
C．|a－b|＝|a＋b|
D．b－a在a上的投影向量是a
(2)[2024·安徽合肥模拟]已知非零向量a，b，c满足a⊥(b＋c)，|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，则〈a，c〉＝( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°

题型三 平面向量的综合应用
例 6 (1)[2024·江西景德镇模拟]已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
(2)若P为△ABC所在平面内一点，且||＝|－2|，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
题后师说
平面向量的综合应用主要是利用平面向量的知识作为解题工具，解决平面几何问题、三角函数问题、解三角形问题、解析几何问题、实际问题等．
巩固训练3
(1)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，a＝b，·＝8，则c＝( )
A．2 B．2
C．4 D．4
(2)一条河宽为800 m，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为20 km/h，水流速度的大小为12 km/h，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为________ min.

1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
2．[2023·全国乙卷]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝( )
A． B．3
C．2 D．5
3．[2023·全国甲卷]向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cs 〈a－c，b－c〉＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
平面向量与三角形的“四心”
1．平面向量与三角形的重心
(1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．
(2)O是△ABC的重心⇔＝0.
【典例1】 已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝)(其中P为平面上任意一点)，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
[解析] 由已知得3＝－＋－＋－，
所以3＋3＝＋＋，
即＋＋＝0，
所以点O是△ABC的重心．故选C.
[答案] C
2．平面向量与三角形的垂心
(1)三角形的垂心：三角形的三条高线的交点．
(2)O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·
【典例2】 已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则点O一定为△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
[解析] 因为＋＝＋，
所以－＝－，
所以(－)·(＋)＝()·(－)，
所以·(＋)＝·(－)，
所以·(＋－＋)＝0，
所以·(＋＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥.
同理可得⊥⊥.
所以O为△ABC的垂心．故选D.
[答案] D
3．平面向量与三角形的外心
(1)三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
(2)O是△ABC的外心⇔||＝||＝||(或＝＝)．
【典例3】 已知点O是△ABC所在平面上的一点．若()·＝()·＝()·＝0，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
[解析] (＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝0⇔－＝－＝－＝0⇔||＝||＝||.所以点O是△ABC的外心．故选A.
[答案] A
4．平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)．
(2)O是△ABC的内心⇔·()＝·()＝·()＝0.
【典例4】 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
[解析] ∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴的方向与∠BAC的角平分线一致，
又∵＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴＝＝λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心．故选A.
[答案] A
第三节 平面向量的数量积及其应用
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：不一定．当两个向量的夹角为0(或π)时，数量积也大于0(或小于0)．
【问题2】 提示：不能推出a＝0或b＝0.因为当a·b＝0时，还有可能a⊥b.
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)∵已知向量a＝(－1，m)(m>0)，b＝(4，3)，|a|＝|b|，∴＝，即1＋m2＝25，m2＝24，又∵m>0，∴m＝2，故a＝(－1，2)，∴a·b＝－1×4＋2×3＝6－4.故选D.
(2)以菱形ABCD的对角线AC方向为x轴方向，DB方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(0，2)，C(2，0)，D(0，－2)，设P(x，y)，
所以＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－x，2－y)，又＋2＋3＝0，
所以(－2－x，－y)＋2(2－x，－y)＋3(－x，2－y)＝(0，0)，
所以2－6x＝0，6－6y＝0，即x＝，y＝1，
所以P(，1)，＝(，－1)，＝(－，－3)，所以·＝(－，－3)·(，－1)＝－－3×(－1)＝.故选D.
答案：(1)D (2)D
巩固训练1 解析：(1)设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为－，即cs θ＝－，又|a|＝4，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cs θ＝1×4×(－)＝－1，所以(2a＋3b)·b＝2a·b＋3b2＝－2＋3＝1.故选B.
(2)∵D为AB的中点，∴＝)，
∵＝，
∴＝，
即＝＝，
如图所示，
∵＝＝－)＋＝，
∴·＝)·()
＝·＋－·
＝－＋－·
＝－×9＋×16－×3×4cs ＝.故选C.
答案：(1)B (2)C
例2 解析：因为a－b＝(，－2)，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝7，则a·b＝－1，所以|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝21，即|2a－b|＝.故选C.
答案：C
例3 解析：∵(a－b)·(a＋b)＝－1，a2－b2＝－1，
∴|b|＝.∵a·b＝1，∴cs 〈a，b〉＝＝＝，θ∈[0，π]，则〈a，b〉＝，
设向量a与c的夹角为θ，c＝－2b，c与b反向，则θ＝π－＝.故选C.
答案：C
例4 解析：由已知得2a＋b＝2(m＋1，m－1)＋(－1，m)＝(2m＋1，3m－2)，∵(2a＋b)⊥c，且c＝(－1，1)，∴(2a＋b)·c＝－(2m＋1)＋3m－2＝0，解得m＝3.故选B.
答案：B
例5 解析：由|a|＝2，|b|＝，且|a＋b|＝，平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2a·b＋2＝10，解得a·b＝2，所以a在b方向上的投影向量为·＝·b＝·b＝b＝(1，1)．故选B.
答案：B
巩固训练2 解析：(1)因为a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)，所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0，(a－b)⊥(a＋b)，故A正确；
因为3×3－1×(－1)＝10≠0，故B错误；
|a－b|＝，|a＋b|＝，故C正确；
因为b－a＝(－3，－1)在a上的投影向量是＝＝－a，故D错误．故选AC.
(2)∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
所以|a||b|cs 〈a，b〉＋|a||c|cs 〈a，c〉＝0，
又|b|＝|c|，〈a，b〉＝60°，
∴|a||c|×＋|a||c|cs 〈a，c〉＝0，由a，b，c均为非零向量，
则cs 〈a，c〉＝－，且〈a，c〉在0°到180°之间，故〈a，c〉＝135°.
故选D.
答案：(1)AC (2)D
例6 解析：(1)因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cs α)且(a＋b)∥c，所以4cs α＝2sin α，则tan α＝＝2.故选A.
(2)因为||＝|－2|，
所以||＝|()＋()|＝||，
即||＝||，两边平方整理得·＝0，
所以⊥，即△ABC为直角三角形．故选C.
答案：(1)A (2)C
巩固训练3 解析：(1)∵·＝||||cs A＝bc·＝＝8，又a＝b，∴＝8，解得c＝－4(舍)或c＝4.故选C.
(2)如图所示，所以|v2|＝＝＝16 km/h，故t＝＝0.05(h)＝3(min)．
答案：(1)C (2)3
随堂检测
1．解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得：λμ＝－1.故选D.
答案：D
2．解析：方法一 由题意知，＝＝＝＝－，所以·＝·＝||2－||2，由题意知||＝||＝2，所以·＝4－1＝3，故选B.
方法二 以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(1，2)，＝(－1，2)，·＝－1＋4＝3，故选B.
答案：B
3．解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.
如图，设＝a，＝b，＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，
AB边上的高OD＝，AD＝，
所以CD＝CO＋OD＝＝，
tan ∠ACD＝＝，cs ∠ACD＝，
cs 〈a－c，b－c〉＝cs ∠ACB＝cs 2∠ACD＝2cs2∠ACD－1＝2×()2－1＝.故选D.
答案：D
4．解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝.
答案：