2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第七节正弦定理余弦定理

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第七节正弦定理余弦定理，共14页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．掌握三角形面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如何判断三角形解的个数？
【问题2】 对于△ABC，在①sin A＞sin B；②cs A＜cs B；③tan A＞tan B；④＜中，哪些是“A>B”的充要条件？哪些不是？
关键能力·题型剖析
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 (1)[2024·福建三明模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝( )
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
(2)[2024·湖北随州模拟]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c2－a2＝2a＋4，则角C＝____________．
题后师说
利用正弦、余弦定理解题策略
巩固训练1
(1)[2024·河南新乡模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝( )
A． B． C． D．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
题型二 判断三角形的形状
例 2 (1)[2024·安徽芜湖模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cs A＋b cs (A＋C)＝0，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
(2)[2024·江苏南通模拟]在△ABC中，a－b＝c(cs B－cs A)，则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
题后师说
判断三角形形状的方法
巩固训练2
(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝c cs B，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
(2)[2024·广东广州模拟]在△ABC中，cs2＝，则△ABC的形状为______三角形．
题型三 与三角形的面积(周长)有关的计算
例 3 [2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积．
(2)若sin A sin C＝，求b.
题后师说
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ab sin C＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
巩固训练3
[2023·辽宁鞍山模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cs B(a＋b sin C)＋b sin B cs C＝0.
(1)求角B；
(2)若2c＝a，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c，B＝， △ABC的面积为 ，则b＝( )
A． B．2 C． D．3
2．[2024·安徽蚌埠模拟]在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cs B＝cs C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．[2023·北京卷]在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝( )
A． B． C． D．
4．[2024·广东广州模拟]设t为实数，满足t，t＋1，t＋2构成一个钝角△ABC的三边长，则t的取值范围为________．
射影定理的应用
【典例1】 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cs C＋c cs B；b＝c cs A＋a cs C；c＝a cs B＋b cs A.
注：以“a＝b cs C＋c cs B”为例，b，c在a上的射影分别为b cs C，c cs B，故名射影定理．
[证明]
在锐角三角形ABC中：
BC＝BD＋DC
＝AB·cs B＋AC·cs C，
即a＝b cs C＋c cs B.
在直角三角形ABC中：
c·cs B＝0，
a＝b cs c，
即a＝b cs C＋c cs B.
在钝角三角形ABC中：
c·cs B＝－BD，
b·cs c＝CD，
BC＝CD－BD，
即a＝b cs C＋c cs B，
综上，a＝b cs C＋c cs B可证，
同理可证b＝c·cs A＋a·cs C，
c＝a·cs B＋b cs A．
【典例2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cs C＋b＝2c cs A，c＝a，则A＝( )
A． B． C． D．
[解析] 法一 已知c＝a，
由正弦定理得sin C＝sin A，
所以sin2C＝3sin2A，
所以cs2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.
由2a csC＋b＝2c cs A，
得2sin A cs C＋sin B＝2sin C cs A，
2sin A cs C＋sin (A＋C)＝2sin C cs A，
3sin A cs C＝sin C cs A，
9sin2A cs2C＝sin2C cs2A，
9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，
由sinA≠0，解得sin A＝±.
又0A，又∵0°