2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第八节正弦余弦定理应用举例

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第八节正弦余弦定理应用举例，共11页。
会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
关键能力·题型剖析
题型一 测量距离问题
例 1 [2024·广东广州模拟]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A、B两点的距离为________ m．
题后师说
测量距离问题的求解策略
巩固训练1
[2024·河南驻马店模拟]如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为( )
A．100 m B．120 m
C．100 m D．200 m
题型二 测量高度问题
例 2 [2024·黑龙江鹤岗模拟]某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为30(2－) m，在它们之间的地面上的点M(B、M、D三点共线)处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是15°和30°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则学校天文台CD的高度为________ m.
题后师说
测量高度问题的三个注意点
(1)要理解仰角、俯角、方向(位)角的概念．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
巩固训练2 [2024·安徽黄山模拟]如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东30°方向上的点D处，在A点测得塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点30 m的B点测得塔底位于西偏北45°方向上(A，B，D在同一水平面)，则塔的高度CD约为(≈1.414，≈1.732)( )
A．17.32 m B．14.14 m
C．10.98 m D．6.21 m
题型三 测量角度问题
例 3 [2024·广东深圳模拟]如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击．
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里；
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船．
题后师说
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
巩固训练3
[2024·湖南长沙模拟]如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cs θ＝( )
A． B．
C．－1 D．－1
1.[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)( )
A．346 B．373
C．446 D．473
2．[2021·全国乙卷]魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝( )
A．＋表高
B．－表高
C．＋表距
D．－表距
3．[2024·山西太原模拟]某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向上，向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在点B的南偏东30°方向上，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P、C间的距离为________海里．
第八节 正弦、余弦定理应用举例
关键能力·题型剖析
例1 解析：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD＝CD＝35，
又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝35，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs ∠ADB，
所以AB2＝352＋(35)2－2×35×35×(－)，解得AB＝35 m.
答案：35
巩固训练1
解析：由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100，NB＝50，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得AM＝＝200，
在直角△ABN中，可得AN＝＝100，
在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cs ∠MAN＝20 000，
所以MN＝100 m．故选A.
答案：A
例2 解析：在Rt△ABM中，AM＝，
在△ACM中，∠CAM＝15°＋15°＝30°，∠AMC＝180°－15°－30°＝135°，
∠ACM＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得＝，
故MC＝·AM＝·＝＝＝，
在Rt△CDM中，CD＝MC·sin 30°＝＝30，
故学校天文台CD的高度为30 m.
答案：30
巩固训练2 解析：由已知可得，在△ABD中，有∠BAD＝60°，∠ABD＝45°，BD＝30，
根据正弦定理＝可得，
AD＝sin ∠ABD＝＝10.
在Rt△ADC中，有∠CAD＝30°，AD＝10，
tan ∠CAD＝，所以CD＝AD tan 30°＝10＝10≈14.14(m)．故选B.
答案：B
例3 解析：(1)由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时BD＝3×1＝3，AC＝2×1＝2，
由题意知∠BAC＝90°－30°＝60°，
在△ABC中，AB＝，AC＝2，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC
＝()2＋(2)2－2()·2＝12，
所以BC＝2，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
∴sin ∠ABC＝，∴∠ABC＝45°(135°舍去)，
∴∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，
又∠CBD＝180°－45°－45°－60°＝30°，
在△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝3，BC＝2，
由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cs 30°
＝(2)2＋32－2×2×3·cs 30°＝3，
∴CD＝，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里．
(2)当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船，
则CE＝3t，DE＝3t，CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝＝，则＝＝，
∴sin ∠BCD＝，∴∠BCD＝60°，∠BDC＝90°，∠CDE＝135°，
在△CDE中，由正弦定理得＝，
则sin ∠DCE＝＝，故∠DCE＝30° (150°舍)，
∠ACE＝∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝75°＋60°＋30°＝90°＋75°，
故巡逻艇应该沿北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船．
巩固训练3 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100.
在△ADC中，＝，
∴cs θ＝sin (θ＋90°)＝＝－1.故选C.
答案：C
随堂检测
1．解析：如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
答案：B
2．解析：如图所示：
由平面相似可知，＝＝，而 DE＝FG，
所以＝＝＝＝，而 CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，
即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故选A.
答案：A
3.
解析：如图，在△ABP中，AB＝30×＝20(海里)，
∠BAP＝120°，∠BPA＝30°，
由＝，得＝，
解得BP＝20海里．
在△BPC中，BC＝30×＝40(海里)，
由已知得∠PBC＝90°，
所以PC＝＝＝20(海里)，
所以P、C间的距离为20海里．
答案：20