2025版高考数学全程一轮复习练习第三章一元函数的导数及其应用专题培优课隐零点与极值点偏移问题

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关键能力·题型剖析
题型一隐零点问题
例1 [2024·江苏扬州模拟]已知函数f(x)＝x2＋x－ln x.
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2.
[听课记录]
题后师说
零点问题求解三步曲
巩固训练1 [2024·河南许昌模拟]已知函数f(x)＝x－ln x－2.
(1)求出函数f(x)的极值；
(2)若对于任意的x∈(1，＋∞)，都有x ln x＋x>(x－1)，求整数k的最大值．
题型二极值点偏移
例2 [2024·福建莆田模拟]已知函数f(x)＝ln x－ax2.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x1，x2是方程f(x)＝0的两不等实根，求证：>2e.
题后师说
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(x2＋x＋2，只用证明ex－ln x－2>0，
令g(x)＝ex－ln x－2，g′(x)＝ex－，
设h(x)＝ex－，h′(x)＝ex＋>0，即g′(x)单调递增，
g′()＝－20，
可得函数g′(x)有唯一的零点x0(x0>0且x0≠1)，满足－＝0，
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下，
所以g(x)min＝g(x0)＝－ln x0－2＝＋x0－2，
因为＋x0－2≥2－2＝0，x0≠1，所以不取等号，
即＋x0－2>0，即g(x)min>0恒成立，
所以ex－ln x－2>0恒成立，
所以对∀x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2成立．
巩固训练1 解析：(1)由函数f(x)＝x－ln x－2的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－＝，
令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)0得00且g(t)→0.
所以0