2025版高考数学全程一轮复习练习第三章一元函数的导数及其应用专题培优课函数中的构造问题

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关键能力·题型剖析
题型一抽象函数的构造
角度一 利用f(x)与x构造
例1
[2024·河南驻马店模拟]已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且xf′(x)－f(x)<0，若f(5)＝4，则5f(x)<4x的解集为( )
A．(0，4) B．(4，＋∞)
C．(5，＋∞) D．(0，5)
题后师说
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
巩固训练1
[2024·山东临沂模拟]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)＋f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A．< B．>
C．πf(π)ef(e)
角度二 利用f(x)与ex构造
例2
[2024·河南焦作模拟]已知定义在R上的函数f(x)及其导函数f′(x)满足f′(x)>－f(x)，若f(ln 3)＝，则满足不等式f(x)>的x的取值范围是__________．
题后师说
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)．
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
巩固训练2
[2024·河北承德模拟]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)A．ef(1)C．ef(1)>f(2) D．ef(1)≥f(2)
角度三 利用f(x)与sin x、cs x构造
例3 (多选)已知偶函数y＝f(x)对于任意的x∈[0，)满足f′(x)·cs x＋f(x)·sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的是( )
A．f(－)B．f(－)>f()
C．f(0)D．f()题后师说
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造
可导函数的几种常见形式
1．F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
2．F(x)＝，
F′(x)＝；
3．F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
4．F(x)＝，F′(x)＝.
巩固训练3
[2024·安徽合肥模拟]已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)≥cs x 恒成立，则f(x)≥sin x的解集为( )
A．[－π，＋∞) B．[π，＋∞)
C．[，＋∞) D．[0，＋∞)
题型二具体函数的构造
例4 [2022·新高考Ⅰ卷]设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A．aC．c题后师说
根据所给的代数式，仔细观察这些数值的共同之处，有的数值需要适当变形后才能观察到，然后构造具体的函数解析式，利用导数研究函数的单调性来比较大小．
巩固训练4
[2024·河南开封模拟]已知a＝，b＝－1，c＝ln ，则( )
A．aC．c题型三同构法构造函数
例5 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＋1＋bA．ab>e B．b>ea＋1
C．ab题后师说
同构法的三种基本模式：①乘积型，如aea≤b ln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex；②比商型，如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝；③和差型，如ea±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x．
巩固训练5
(多选)已知x－ln y>y－ln x，则( )
A．> B．x－y>
C．ln (x－y)>0 D．x3>y3
1.若函数y＝f(x)在R上可导，且满足xf′(x)＋f(x)>0恒成立，常数a，b(a>b)，则下列不等式一定成立的是( )
A．af(a)>bf(b)
B．af(b)>bf(a)
C．af(a)D．af(b)2．[2024·安徽芜湖模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)>0，则下列大小关系正确的是( )
A．f(2)>e2f(1)>e3f()
B．e2f(1)>f(2)>e3f()
C．e2f(1)>e3f()>f(2)
D．f(2)>e3f()>e2f(1)
3．已知函数f(x)的定义域为(－)，其导函数是f′(x). 有f′(x)cs x＋f(x)sin x<0，则关于x的不等式f(x)<2f()cs x的解集为( )
A．() B．()
C．(－，－) D．(－，－)
4．[2024·山东淄博模拟]已知f(x)＝x2ln x当0专题培优课 函数中的构造问题
关键能力·题型剖析
例1 解析：令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，因为xf′(x)－f(x)<0，则g′(x)＝<0，因此函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，则5f(x)<4x⇔<⇔g(x)5，所以5f(x)<4x的解集为(5，＋∞)．故选C.
答案：C
巩固训练1 解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，故g(x)为(0，＋∞)上的增函数，故g(π)>g(e)即πf(π)>ef(e)，故选D.
答案：D
例2 解析：由题意，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，
即f′(x)＋f(x)>0.
构造函数g(x)＝exf(x)，
则g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex＝ex[f′(x)＋f(x)]>0，
所以函数g(x)在R上单调递增．
不等式f(x)>即exf(x)>1，即g(x)>1.
因为f(ln 3)＝，所以g(ln 3)＝eln 3f(ln 3)＝3×＝1.
故由g(x)>g(ln 3)，得x>ln 3.
所以不等式g(x)>1的解集为(ln 3，＋∞)．
答案：(ln 3，＋∞)
巩固训练2 解析：令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以g(x)＝为R上的单调递减函数，所以g(1)>g(2)，即>，化简可得ef(1)>f(2)．故选C.
答案：C
例3 解析：∵偶函数y＝f(x)对于任意的x∈[0，)满足f′(x)·cs x＋f(x)·sin x>0，
且f′(x)·cs x＋f(x)·sin x＝f′(x)·cs x－f(x)·(cs x)′，
∴可构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝>0，
∴g(x)为偶函数且在[0，)上单调递增，
∴g(－)＝g()＝＝2f()，
g(－)＝g()＝＝f()，
g()＝＝f()，
由函数单调性可知g()对于C，g(－)＝g()＝f(－)>g(0)＝f(0)，∴C正确．故选BCD.
答案：BCD
巩固训练3 解析：令函数g(x)＝f(x)－sin x，则g′(x)＝f′(x)－cs x，因为f′(x)≥cs x，所以g′(x)≥0，g(x)是增函数，因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，g(0)＝f(0)－sin 0＝0，所以g(x)≥0的解集为[0，＋∞)，即f(x)≥sin x的解集为[0，＋∞)．故选D.
答案：D
例4 解析：设f(x)＝(1－x)ex－1，x＞0，则当x＞0时，f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(0.1)＜f(0)＝0，即0.9 e0.1－1＜0，所以0.1e0.1＜，即a＜b.令g(x)＝x－ln (1＋x)，x＞0，则当x＞0时，g′(x)＝1－＝＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g()＞g(0)＝0，即－ln (1＋)＞0，所以＞－ln ，即b＞c.令h(x)＝xex＋ln (1－x)，0＜x≤0.1，则h′(x)＝(1＋x)·ex＋＝.设t(x)＝(x2－1)ex＋1，则当0＜x≤0.1时，t′(x)＝(x2＋2x－1)ex＜0，所以t(x)在(0，0.1]上单调递减，所以t(x)＜t(0)＝0，所以当0＜x≤0.1时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，0.1]上单调递增，所以h(0.1)＞h(0)＝0，即0.1e0.1＋ln 0.9＞0，所以0.1e0.1＞－ln 0.9，即a＞c，所以b＞a＞c.故选C.
答案：C
巩固训练4 解析：a＝，b＝－1，c＝ln ＝ln (1＋)，
设f(x)＝ex－x－1(0所以f′(x)＝ex－1>0，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，即ex－1>x(0所以－1>，即a设g(x)＝ln (1＋x)－x(0则g′(x)＝－1＝<0，
所以g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)所以ln (1＋)<，即c所以c答案：C
例5 解析：由已知，aea＋10，则ea>1.又b(ln b－1)>0，b>0，则ln b>1，即b>e，从而>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<，即b>ea＋1.故选B.
答案：B
巩固训练5 解析：由题可得，x＋ln x>y＋ln y，设f(x)＝x＋ln x，x>0，所以f′(x)＝1＋>0，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以由f(x)>f(y)可得：x>y>0.
对于A，由函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以当x>y>0时，<，A错误；
对于B，易知函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>y>0时，x－>y－，即x－y>，B正确；
对于C，当x>y>0时，若x－y<1，则ln (x－y)<0，C错误；
对于D，因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>y>0时，x3>y3，D正确．故选BD.
答案：BD
随堂检测
1．解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0恒成立，故g(x)在R上单调递增．∵a>b，∴g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b).故选A.
答案：A
2．解析：构造函数g(x)＝，其中x∈R，则g′(x)＝>0，
所以函数g(x)为R上的增函数，
所以g()因此e3f()答案：A
3．解析：构造函数g(x)＝，其中x∈(－)，则g′(x)＝<0，
所以函数g(x)在(－)上单调递减，
因为x∈(－)，则csx>0，由f(x)<2f()cs x可得<，
即g(x)因此，不等式f(x)<2f()cs x的解集为()．
故选A.
答案：A
4．解析：因为)所以(x1)，
构造g(x)＝f(x)－mx2，
因为(x1)，
所以g(x2)因为0因为g(x)＝x2ln x－mx2，所以g′(x)＝2x ln x＋x－2mx，
所以2x ln x＋x－2mx≤0在x∈(0，e)上恒成立，
所以2mx≥2x ln x＋x在x∈(0，e)上恒成立，即2m≥2ln x＋1在x∈(0，e)上恒成立，
构造h(x)＝2ln x＋1，显然h(x)在x∈(0，e)上单调递增，
所以2m≥h(e)＝3，即m≥.
答案： [，＋∞)