2025版高考数学全程一轮复习练习第三章一元函数的导数及其应用高考大题研究课三利用导数研究函数的零点

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关键能力·题型剖析
题型一数形结合法研究函数的零点
例1 [2024·河南开封模拟]已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，求实数a的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－x＋1有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
题后师说
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
巩固训练1
[2024·江西九江模拟]已知函数f(x)＝(x－2)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝f(x)－a，讨论函数g(x)的零点个数．
题型二利用函数的性质研究函数的零点
例2 [2024·河北保定模拟]已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)当a＝－1时，证明：f(x)>1在[－π，0]上恒成立；
(2)当a＝1时，求f(x)在[π，2π]内的零点个数．
题后师说
利用函数的性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
巩固训练2 已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
题型三构造函数法研究函数的零点
例3 [2021·全国甲卷]已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数φ(x)＝f(x)－1有且仅有两个零点，求a的取值范围．
题后师说
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
巩固训练3 [2024·重庆涪陵模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝－x2－a(a∈R)．
(1)若函数F(x)＝f(x)－g(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增，求a的最小值；
(2)若函数G(x)＝f(x)＋g(x)的图象与y＝ax有且只有一个交点，求a的取值范围．
高考大题研究课三 利用导数研究函数的零点
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)设直线y＝x－1与函数f(x)的图象相切于点(x0，y0)，
因为f′(x)＝ex－2ax，
所以，由②③可得＝x0－1 ④，易知x0≠0.
由①得a＝，代入④可得＝x0－1，
即＋x0＝2x0－2，即＝x0－2，解得x0＝2.
故a＝＝.
(2)令g(x)＝f(x)－x＋1＝0，可得ex－ax2－x＋1＝0，
由题意可得ex－ax2－x＋1＝0只有一个根．
易知x＝0不是方程ex－ax2－x＋1＝0的根，所以x≠0，
所以由ex－ax2－x＋1＝0，可得a＝.
设h(x)＝，则y＝a与h(x)＝的图象只有一个交点．
h′(x)＝＝，
当x∈(－∞，0)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
当x∈(0，2)时，h′(x)0，函数h(x)单调递增．
设t(x)＝ex－x＋1，则t′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，t′(x)0，函数t(x)单调递增．
所以t(x)≥t(0)＝2.
所以h(x)＝>0.
又h(2)＝＝，x→0时，h(x)→＋∞，x→＋∞时，h(x)→＋∞，
画出函数h(x)的图象如图所示，
由图可知，若y＝a与h(x)＝的图象只有一个交点，
则0