2025版高考数学全程一轮复习练习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算，共15页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
2．通过函数图象，理解导数的几何意义．
3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
问题思考·夯实技能
【问题1】 请你写出：
(1)′＝________(f(x)≠0)．
(2)[exf(x)]′＝________．
(3)′＝________．
【问题2】 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别？
关键能力·题型剖析
题型一导数的运算
例1 (1)(多选)[2024·河南南阳模拟]下列求导数的运算正确的是( )
A．(x3－)′＝3x2＋
B．(ln 2)′＝
C．(xex)′＝(x＋1)ex
D．(sin )′＝cs
(2)[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x)的导函数，则f(2)＝( )
A．12 B．20
C．10 D．24
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是( )
A．(e2x)′＝2e2x
B．(lg x)′＝
C．()′＝
D．(sin cs x)′＝cs cs x－sin sin x
(2)[2024·山东北镇中学模拟]已知函数f(x)＝ex sin 2x，则f′()＝________．
题型二导数的几何意义
角度一 导数与函数图象的关系
例2 [2024·北京四中模拟]已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．f′(1)C．f′(2)角度二 求切线方程
例3 (1)[2024·河南郑州模拟]已知函数f(x)＝ex－2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为__________．
(2)曲线y＝(x－4)ex过坐标原点的切线方程为__________．
角度三 求切点坐标或参数
例4 (1)[2024·重庆模拟]已知直线y＝ax－a与曲线y＝x＋相切，则实数a＝( )
A．0 B．
C． D．
(2)[2024·山东日照模拟]若曲线y＝－在点(0，－1)处的切线与曲线y＝ln x在点P处的切线垂直，则点P的坐标为( )
A．(e，1) B．(1，0)
C．(2，ln 2) D．(，－ln 2)
题后师说
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
②切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
巩固训练2
(1)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0(2)曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为______________．
(3)[2024·福建泉州模拟]已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为__________．
题型三导数几何意义的应用
例5 (1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]过点P(1，0)可以作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则m2＋n2的值为( )
A．1 B．2
C． D．3
(2)[2021·新高考Ⅰ卷]若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A．ebC．0题后师说
(1)设切点列方程．
(2)切线条数的判断，实质是切点横坐标为变量(方程)零点个数的判断．
巩固训练3
[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
1．已知函数f(x)＝x2·f′(0)＋x·f(1)－2，则f(2)＝( )
A．12 B．10
C．8 D．6
2．[2024·江西宜春模拟]已知函数f(x)＝a ln x＋x2在x＝1处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
3．若直线y＝kx＋n与曲线y＝ln x＋相切，则k的取值范围是( )
A．(－∞，] B．[4，＋∞)
C．[－4，＋∞) D．[，＋∞)
4．[2022·新高考Ⅱ卷]曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
两曲线的公切线问题
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
2．公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题．
一、共切点的公切线问题
【典例1】 若曲线y＝x－ln x与曲线y＝ax3＋x＋1在公共点处有相同的切线，则实数a＝( )
A． B．－ C．－ D．
[解析] 由题设，y＝x－ln x的导函数为y′＝1－；y＝ax3＋x＋1的导函数为y′＝3ax2＋1，
设公共点为(m，n)且m > 0，则y′|x＝m＝1－，y′|x＝m＝3am2＋1，
则公共点处y＝x－ln x的切线为y－n＝(1－)(x－m)，即y＝(1－)x－m＋1＋n；
公共点处y＝ax3＋x＋1的切线为y－n＝(3am2＋1)(x－m)，即y＝(3am2＋1)x－3am3－m＋n；
因为公共点处切线相同，
则
可得m＝，则a＝－.故选B.
[答案] B
二、不同切点的公切线问题
【典例2】 [2024·江苏南京模拟]若直线y＝x＋m与曲线y＝ax2和y＝ln x均相切，则a＝__________．
[解析] 设直线y＝x＋m与y＝ln x相切于点x0，ln x0，y′＝，
因为直线y＝x＋m与y＝ln x相切，所以＝1，且＝x0＋m；
解得x0＝1，m＝－1；
因为直线y＝x－1与曲线y＝ax2相切，
联立得ax2－x＋1＝0，a≠0且Δ＝1－4a＝0，即a＝.
[答案]
【典例3】 [2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝ln (e2x)，若直线y＝kx＋b为f(x)和g(x)的公切线，则b＝( )
A． B．1－ln 2
C．2－ln 2 D．－ln 2
[解析] 设直线l：y＝kx＋b与f(x)＝ln (x＋1)相切于点A(x1，y1)，
与g(x)＝ln (e2x)相切于点B(x2，y2)，
由f(x)＝ln (x＋1)，所以f′(x)＝，
由f′(x1)＝＝k⇒x1＝，
则y1＝ln (x1＋1)＝ln (＋1)＝ln ＝－ln k，
即点A(，－ln k)，代入直线l中有：
－ln k＝k·＋b⇒b＝k－ln k－1， ①
由g(x)＝ln (e2x)＝ln e2＋ln x＝2＋ln x，
所以g′(x)＝，
由g′(x2)＝＝k⇒x2＝，
y2＝g(x2)＝2＋ln x2＝2＋ln ＝2－ln k，
即点B(，2－ln k)，代入直线l中有：
2－ln k＝k·＋b⇒b＝1－ln k， ②
联立①②解得k＝2，
所以b＝1－ln 2，故选B.
[答案] B

第一节 导数的概念及其几何意义、导数的运算
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：(1)－ (2)ex[f(x)＋f′(x)] (3)
【问题2】 提示：“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的．“曲线在点P处的切线”即点P是曲线上的点，且点P就是切点；而“曲线过点P的切线”，点P不一定在曲线上，点P不一定是切点．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)根据基本初等函数及导数的求导法则知，(x3－)′＝3x2＋，选项A正确；因为ln 2是常数，所以(ln 2)′＝0，选项B错误；根据基本初等函数及导数的求导法则知，(xex)′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，选项C正确；根据复合函数的求导法则知，(sin )′＝cs ，选项D错误．故选AC.
(2)由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，
则f(x)＝x3－2x＋20，故f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
答案：(1)AC (2)D
巩固训练1 解析：(1)(e2x)′＝2e2x，故A正确；
(lg x)′＝，故B错误；
()′＝，故C错误；
(sin cs x)′＝－sin sin x，故D错误．故选BCD.
(2)由于f′(x)＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′
＝ex(sin 2x＋2cs 2x)，
所以f′()＝(sin π＋2cs π)＝.
答案：(1)BCD
例2 解析：由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，
故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，
因为＝a，所以f′(1)答案：B
例3 解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋1得f′(x)＝ex－2，
故f′(0)＝e0－2＝－1，而f(0)＝e0＋1＝2，
故曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝－x，
即x＋y－2＝0.
(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝，
y′＝ex＋(x－4)ex＝(x－3)ex，切线的斜率为，
所以切线方程为＝(x－x0)，
又切线过原点，所以＝(0－x0)，即－4x0＋4＝0，
解得x0＝2，所以切线方程为y＝－e2x.
答案：(1)x＋y－2＝0 (2)y＝－e2x
例4 解析：(1)由y＝x＋且x不为0，得y′＝1－，
设切点为(x0，y0)，则，即，
所以＝，可得x0＝－2，a＝.
故选C.
(2)y＝－的导数为y′＝－，所以曲线y＝－在点(0，－1)处的切线的斜率为k1＝－.
因为曲线y＝－在点(0，－1)处的切线与曲线y＝ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y＝ln x在点P处的切线的斜率k2＝2.
而y＝ln x的导数y′＝，所以切点的横坐标为，所以切点P(，－ln 2)．故选D.
答案：(1)C (2)D
巩固训练2 解析：(1)由函数图象可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(3)－f(2)>0，
在x＝3处切线的倾斜角和在x＝2处的倾斜角均为锐角，
且在x＝3处切线的倾斜角比在x＝2处的倾斜角要小，
如图，
所以0由于为两点连线的斜率，
从图中可得f′(3)<即0故选B.
(2)f(x)＝ex－ln x，则f′(x)＝e－，则f′(1)＝e－1，
由点斜式可得切线方程为：y－e＝(e－1)(x－1)，整理可得：(e－1)x－y＋1＝0.
(3)设切点为(x0，x0－1)，
因为y′＝ex＋a，所以切线的斜率k＝ex0＋a＝1，即x0＋a＝0，
又切点(x0，x0－1)在曲线y＝ex＋a上，所以x0－1＝ex0＋a＝1，则x0＝2，a＝－2.
答案：(1)B (2)(e－1)x－y＋1＝0 (3)－2
例5 解析：(1)f′(x)＝(x＋1)ex，设切点为坐标(x，y)，
则(x＋1)ex＝＝，
即(x2－x－1)ex＝0，则x1＋x2＝1，x1·x2＝－1，
由题意知x2－x－1＝0有两解，分别为m，n，
故m2＋n2＝＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝1－2×(－1)＝3.
故选D.
(2)在曲线y＝ex上任取一点P，对函数y＝ex求导得y′＝ex，
所以曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et，即y＝etx＋et，
由题意可知，点在直线y＝etx＋et上，可得b＝aet＋et＝et，
令f＝et，则f′＝et.
当t0，此时函数f单调递增，
当t>a时，f′<0，此时函数f单调递减，
所以fmax＝f＝ea，
由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f的图象有两个交点，则b当t0，当t>a＋1时，f<0，作出函数f的图象如图所示，
由图可知，当0解法二 画出函数曲线y＝ex的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0答案：(1)D (2)D
巩固训练3 解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即＝.整理得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
答案：(－∞，－4)
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1．解析：由题意知f′(x)＝2x·f′(0)＋f(1)，所以，解得f′(0)＝f(1)＝2，则f(x)＝2x2＋2x－2，故f(2)＝10.故选B.
答案：B
2．解析：函数f(x)＝a ln x＋x2，求导得：f′(x)＝2x＋，因为f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，所以f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝2＋a＝1，解得a＝－1.故选D.
答案：D
3．解析：y′＝＝－()2＋，
由导数的几何意义可知，k≤.故选A.
答案：A
4．解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－.
答案：y＝ y＝－