2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用高考大题研究课二利用导数证明不等式课件

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掌握利用导数证明不等式问题，重点掌握导数与函数的性质、函数的零点、数列等相结合的问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
题后师说(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．(2)待证不等式的两边一边含有变量而另一边含参数时，可以转化为求含变量函数的最值，再构造含参数的函数，利用导数研究其单调性和最值即可得证．
巩固训练1 [2024·河南新乡模拟]已知函数f(x)＝x2ln x.(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)≥x－1.
题后师说若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含有ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分别构造函数，计算它们的最值，借助最值进行证明
巩固训练2已知函数f(x)＝x ln x＋1.(1)若函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)证明：f(x)≥x2e1－x.
题型三适当放缩证明不等式例3 已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
题型四利用导数证明与数列有关的不等式例4 [2024·山东济南模拟]已知函数f(x)＝a ln x＋1－x.(1)若f(x)≤0，求a的值；
题后师说证明与数列有关的不等式的策略在证明与数列有关的不等式时，往往是从题目中已经证得的结论(参数取值范围、不等式等)出发，通过特殊化处理，即将其中的变量替换为特殊的变量，尤其是可替换为与自然数n有关的式子，然后再结合数列中的裂项求和以及不等式的放缩等方法证得结论．