高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第8章 排列组合8.3 二项式定理当堂检测题

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基础巩固
一、单选题
1．若x-16=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a2+a4+a6=（ ）
A．64B．33C．32D．31
【答案】D
【分析】给x分别赋值0，1，-1，即可得到一系列方程组，通过对方程组的解决，问题即可得到解决.
【详解】因为x-16=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，
所以令x=0可得a0=1①，
令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0②，
令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=26③，
②+③可得a0+a2+a4+a6=25①，
将①代入④可得a2+a4+a6=25-1=31.
故选：D
2．若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a9x9，则a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9=（ ）
A．1B．513C．512D．511
【答案】D
【分析】
利用赋值法，先令x=0，求出a0，再令x=1，求出a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9，从而可求得结果.
【详解】
令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9=29=512，
所以a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9=512-a0=512-1=511，
故选：D
3．若x-32x+18=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则lg2a0+a1+a2+⋯+a10=（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】C
【分析】令x=1得出a0+a1+a2+⋯+a10的值，进而求出lg2a0+a1+a2+⋯+a10的值.
【详解】由题意，
x-32x+18=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
令x=1, 可得a0+a1+a2+⋯+a9+a10=210，
∴lg2a0+a1+a2+⋯+a10=lg2210=10，
故选：C.
4．已如1+xn的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A．29B．210C．211D．212
【答案】B
【分析】根据二项式系数的单调性可得n=10，即可由二项式系数和公式求解.
【详解】1+xn的展开式中第6项的二项式系数为Cn5，由于只有Cn5最大，所以n=10，故二项式系数之和为210，
故选：B
5．2x-xn展开式中的各二项式系数之和为1024，则n的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】A
【分析】
利用二项式的系数和可得出关于n的等式，解之即可.
【详解】2x-xn展开式中的各二项式系数之和为2n=1024，解得n=10.
故选：A.
6．(1+x)12展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项B．第6，7项C．第6项D．第7项
【答案】D
【分析】利用二项式定理以及二项式系数的性质进行求解判断.
【详解】因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=C12kxk，k=0,1,2,⋯,12，
所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数，
根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.
故选：D.
7．已知二项式2x-1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】
分析可知，二项式2x-1n的展开式共7项，即可求出n的值.
【详解】因为二项式2x-1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
则二项式2x-1n的展开式共7项，即n+1=7，解得n=6.
故选：A.
8．(a+b)8的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由二项式(a+b)8，可得其展开式共有9项，
根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.
故选：C.
9．(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为（ ）
A．190B．380
C．-190D．0
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】展开式通项公式为Tr+1=C20r(-x)r=C20r(-1)rxr2，
分别令r=2,18，可得T3=C202(-1)2x=190x,T19=C2018(-1)2x9=190x9,
所以x的系数与x9的系数之差为0，
故选：D
10．在2x+1x3的展开式中，x的系数为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】D
【分析】
写出每一项的表达式，即可得出x的系数.
【详解】由题意，
在2x+1x3中，每一项为C3k2x3-k1xk=C3k23-kx3-2k，
当3-2k=1即k=1时，C3k23-k=C3122=3×4=12，
故选：D.
二、填空题
11．若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0= ，a0+a2+a4= ．
【答案】 1； 41.
【分析】利用赋值法可求得a0，a0+a2+a4的值．
【详解】令x=0，则a0=1
令x=1，则a4+a3+a2+a1+a0=1，
令x=-1，则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81，
故a4+a2+a0=1+812=41，
故答案为：1；41
12．若2x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4= ．
【答案】1
【分析】令x=1代入即可求解.
【详解】因为2x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4=2×1-14=1，
故答案为：1
13．x-3n展开式的二项式系数之和是256，则n= .
【答案】8
【分析】
根据二项式(a+b)n展开式的二项式系数之和等于2n列方程求解即得.
【详解】因x-3n展开式的二项式系数之和为Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n=256，解得：n=8.
故答案为：8.
14．（1）已知3x-1n的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n= .
（2）Cn19-n+C21-nn= .
【答案】 5 21
【分析】（1）根据二项展开式系数的公式代入计算即可；
（2）根据组合数的性质与运算公式进行计算即可.
【详解】（1）根据二项式定理可知，Cn1=Cn4，所以n=5；
（2）根据组合数性质可知，19-n≤nn≤21-n，
解得9.5≤n≤10.5，又因为n∈N*，所以n=10，
所以Cn19-n+C21-nn=C109+C1110=C101+C111=21.
故答案为：5；21
15．3x-1x4展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】54
【分析】根据3x-124的展开式的通项公式可求出结果.
【详解】3x-124展开式的通项为Tk+1=C4k3x4-k-1xk=C4k-1k34-kx4-2k，
令4-2k=0，得k=2，所以3x-124展开始得常数项为C42-1232=54.
故答案为：54.
三、解答题
16．设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
【答案】64
【分析】利用赋值法，令x=1，代入等式中可求得结果.
【详解】因为(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
所以令x=1，则a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(3×1-1)6=26=64.
17．已知(1-x)6(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12．
（1）求a12+a32+⋅⋅⋅+a112的值；
（2）求a2+a4+…+a12的值；
（3）求a4+a6的值．
【答案】（1）0；（2）-1；（3）-5．
【分析】（1）由于(1-x)6(1+x)6=(1-x2)6，所以其展开式中没有x的奇次项，从而可得答案；
（2）令x=1，可得a0+a1+a2+…+a12=0，再令x=0求出a0，结合（1）可求得答案；
（3）由于(1-x2)6=a0+a2x2+⋅⋅⋅+a12x12，从而由二项式的通项公式可求出结果
【详解】解：(1)因为(1-x)6(1+x)6=(1-x2)6，
所以a1=a3=⋅⋅⋅=a11=0，
所以a12+a32+…+a112=0
(2)令x=1，得a0+a1+a2+…+a12=0；
令x=0，得a0=1
又a1=a3=⋅⋅⋅=a11=0，
所以a2+a4+…+a12=-1．
(3)由题可知，(1-x2)6=a0+a2x2+⋅⋅⋅+a12x12
a4=C62=15,a6=-C63=-20，
所以a4+a6=-5．
18．（1）求方程中x的值（其中x∈N*）：3C2x3=5Ax3；
（2）已知1-2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，求a1+a2+a3+⋯+a7的值.
【答案】（1）x=8；（2）-2
【分析】（1）由排列组合数公式列方程求解即可；
（2）赋值法求得a0=1、a0+a1+a2+⋯+a7=-1，即可求部分系数和.
【详解】（1）因为3C2x3=5Ax3且x∈N*，所以3×2x2x-12x-23×2×1=5xx-1x-2，解得x=8.
（2）令x=0，则a0=1；令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a7=-1；
所以a1+a2+⋯+a7=-2.
19．求(x-12x)6的二项展开式中的常数项.
【答案】-52
【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后根据常数项x次数为零求出待定系数r，再代回到通项公式中求出常数项.
【详解】设二项展开式中的常数项为第r+1项，即Tr+1=C6rx6-r-12xr=-1rC6r⋅12r⋅x6-2r.
根据题意，得6-2r=0，r=3.
因此，二项展开式中的常数项为T4=-C638=-52.
【点睛】方法点睛：（1）求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
（2）求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
能力进阶
20．在二项式2x-3y9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
【答案】(1)512
(2)-1
【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；
（2）令x=y=1可求得展开式各项系数之和.
【详解】（1）解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为29=512.
（2）解：由题意可知，展开式的各项系数之和为2-39=-1.
21．在2x+1xnn∈N*的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含1x2的项．
【答案】(1)7
(2)14x2
【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可；
（2）写出展开式后代入r=6求解即可.
【详解】（1）在2x+1xnn∈N*的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为Cn1,Cn2,Cn3，
因为2x+1xnn∈N*的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，
所以2Cn2=Cn1+Cn3，即2×nn-12×1=n+nn-1n-23×2×1，
化简得：n3-9n2+14n=0，因为n∈N*，所以n2-9n+14=0，
解得n=7或n=2.
n=2时，展开式只有3项，不符合题意；
所以n=7.
（2）由（1）知，2x+1x7n∈N*通项公式为Tr+1=C7r2x7-rx-12r=27-rC7rx7-32r，
令7-32r=-2，得r=6，则T7=2C76x-2=14x2.
所以展开式中含1x2的项为14x2.