高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）9.1 离散型随机变量及其分布课时训练

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基础巩固
一、单选题
1．若X~B(10,0.8)，则P(X=8)等于( )
A．C108×0.88×0.22B．C108×0.82×0.28
C．0.88×0.22D．0.82×0.28
【答案】A
【分析】根据二项分布的性质，可得结论．
【详解】∵X~B(10,0.8)，
∴P(X=8)=C108×0.88×0.22，
故选：A．
2．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ）
A．100243B．80243C．125729D．49
【答案】A
【分析】根据题意可先求出摸球一次中奖的概率，再由二项分布可得结果.
【详解】依题意设摸球一次中奖的概率为P1，则P1=2C52C102=49，
所以摸球三次仅中奖一次的概率为Pξ=1=C311-P12P1=300729=100243.
故选：A.
3．设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量ξ描述3次实验成功的次数，则Pξ=2的概率是（ ）
A．2764B．13C．964D．23
【答案】A
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】由于成功率是失败率的3倍，所以成功率是34，失败率是14，
所以Pξ=2=C32×342×14=2764.
故选：A
4．在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（ ）
A．X~B100,0.05B．X~B10,0.05
C．X~B1000,95D．X~B10,0.95
【答案】B
【分析】由二项分布的定义判断.
【详解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是5100=0.05，
相当于10次独立重复的伯努利实验，
所以服从二项分布X~B10,0.05.
故选：B
5．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（ ）
A．0.384B．13C．0.128D．0.104
【答案】A
【分析】分析知这是二项分布，3重伯努利试验.
【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为1-0.8=0.2，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为
C31×0.2×0.82=0.384.
故选：A
6．若随机变量X服从二项分布B6,12，则PX=3的值为（ ）
A．58B．716C．516D．316
【答案】C
【分析】根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】
因为随机变量X服从二项分布B6,12，
所以PX=3=C63⋅126=516.
故选：C
7．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．0.618×0.412B．C30180.618×0.412C．C30180.418×0.612D．C30180.618
【答案】B
【分析】
依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设X为射手在30次射击中击中目标的次数，则X~B30,18，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为PX=18=C30180.618×0.412.
故选：B.
8．设随机变量X∼B2,p，Y∼B4,p，若PX=0=49，则DY=（ ）
A．23B．43C．49D．89
【答案】D
【分析】根据随机变量X∼B2,p和PX=0=49，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据Y∼B4,p，由二项分布的方差公式求得结果．
【详解】因为随机变量X∼B2,p，
所以P(X=0)=C20(1-p)2=49，
解得p=13或p=53（舍） ，
所以Y∼B4,13，
所以DY=4×13×1-13=89.
故选：D．
9．已知X∼B4,13，则P(X=1)=（ ）
A．881B．3281C．427D．827
【答案】B
【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.
【详解】因为X∼B4,13，所以P(X=1)=C41×13×233=3281．
故选：B
10．已知随机变量X服从二项分布X∼B6,13，则PX=2等于（ ）
A．1316B．4243C．13243D．80243
【答案】D
【分析】由二项分布的概率公式计算．
【详解】P(X=2)=C62(13)2(1-13)4=80243．
故选：D．
二、填空题
11．设随机变量ξ∼B2,p，若Pξ≥1=59，则p的值为 .
【答案】13
【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的概率即可求解.
【详解】Pξ≥1=1-Pξ=0=1-1-p2=59⇒1-p2=49，由于1>p>0，
所以p=13，
故答案为：13
12．设随机变量X∼B3,13，则PX≥1= ．
【答案】1927
【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】∵随机变量服从X∼B3,13,∴PX≥1=1-PX=0=1-C30×130×1-133=1927．
故答案为：1927
13．若随机变量X服从二项分布B5,13，则PX=4= ．
【答案】10243
【分析】根据二项分布计算公式计算出正确答案.
【详解】依题意，PX=4=C54⋅134⋅1-13=10243.
故答案为：10243
14．已知随机变量X服从二项分布X~B4,12，则P(X=2)= .
【答案】38/0.375
【分析】由二项分布概率公式直接计算可得.
【详解】因为X服从二项分布X~B4,12，
所以P(X=2)=C42(12)4=38.
故答案为：38
15．伯努利试验的概念
只包含 的试验叫做伯努利试验．
【答案】两个可能结果
【解析】略
三、解答题
16．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】X的分布列见解析，数学期望为43人
【分析】根据已知条件转化为二项分布，结合相关知识求分布列和期望即可.
【详解】由已知得，每位参加保险人员选择A社区的概率为13，
4名人员选择A社区即4次独立重复试验，
即X∼B4,13，X的可能取值为0,1,2,3,4，
所以P(X=0)=C40×234=1681，
P(X=1)=C41×13×233=3281，
P(X=2)=C42×132×232=2481，
P(X=3)=C43×133×23=881，
P(X=2)=C44×134=181
所以X的分布列为
EX=4×13=43（人），
即X的数学期望为43人
17．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并计算这200名市民评分的平均值；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
【答案】(1)a=0.025；平均分为80.70分
(2)分布列答案见解析，期望为1
【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列X的分布列，数学期望E(X)=np计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075，
由10×(0.075+a)=1，解得a=0.025，
45×0.002×10+55×0.004×10+65×0.014×10 +75×0.02×10+85×0.035×10+95×0.025×10=80.70（分）.
（2）评分在90分以上的频率为0.25，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，X∼B(4,14),
X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
∴P(X=0)=C40140344=81256，
P(X=1)=C4114343=108256，
P(X=2)=C42142342=54256，
P(X=3)=C4314334=12256，
P(X=4)=C44144=1256，
所以X的分布列为：
E(X)=4×14=1.
18．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求EX．
【答案】(1)答案见解析
(2)EX=2
【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.
【详解】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为12，
所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数X∼B4,12，故PX=k=C4k12k124-k=C4k124，0≤k≤4,k∈Z
即PX=0=116 , PX=1=14 , PX=2=38,
PX=3=14 , PX=4=116；
X的分布列如下:
（2）∵X∼B4,12,∴EX=4×12=2
19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望.
【答案】(1)35
(2)分布列见解析，Eη=2
【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值范围是1,2,3．然后求出Pξ=2即可；
（2）设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是0,1,2,3，求出η取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可.
【详解】（1）解：由题意得：
设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值范围是1,2,3．Pξ=2=C42C21C63=35 ；
（2）设乙正确完成面试的题数为η，则η取值范围是0,1,2,3．
Pη=0=C 30×133=127，Pη=1=C 31×231×132=627，
Pη=2=C 32×232×13=1227，Pη=3=C 33×233=827．
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
∵η~B(3,23)
∴Eη=3×23=2
能力进阶
20．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为13与p，且乙投球2次均命中的概率为116．
（1）求甲投球2 次，命中 1 次的概率；
（2）若乙投球3次，设命中的次数为X，求X的分布列．
【答案】（1）49；（2）答案见解析．
【分析】（1）甲投球2 次，命中 1 次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可，
（2）由题意可求得p=14，X服从B3,14，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列
【详解】解：（1）设“甲投球一次命中”为事件A，
则P(A)=13，PA=23
故甲投球2次命中1次的概率为
P=PA⋅A+PAP(A)=13 ×23+23×13=49
（2） 设“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得P(B⋅B)=p⋅p=116， 解得p=14，
所以P(B)=14，PB=34
由题意得X服从B3,14，则
P(X=0)=C30140×343=2764
P(X=1)=C31141×342=2764
P(X=2)=C32142×341=964
P(X=3)=C33143×340=164
21．某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X,其概率分布如下表，数学期望E(X)=2.
（1）求a和b的值；
（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的概率分布与数学期望.
【答案】(1) a=13,b=16.
(2)分布列见解析，E(Y)=32.
【详解】分析：（1）根据分布列的性可知所有的概率之和为1然后再根据期望的公式得到第二个方程联立求解即可；（2）根据二项分布求解即可.
详解：(1)因为E(X)=2，所以0×12+3×a+6×b=2，
即3a+6b=2．①
又12+a+b=1，得a+b=12．②
联立①，②解得a=13，b=16．
(2)P(X>0)=12，依题意知Y∼B(3,12)，
故P(Y=0)=(12)3=18，P(Y=1)=C31(12)×(12)2=38，
P(Y=2)=C32(12)2×12=38，P(Y=3)=(12)3=18．
故Y的概率分布为
Y的数学期望为E(Y)=0×18+1×38+2×38+3×18=32．
点睛：考查分布列的性质，二项分布，认真审题，仔细计算是解题关键，属于基础题.
X
0
1
2
3
4
P
1681
3281
2481
881
181
X
0
1
2
3
4
P
81256
108256
54256
12256
1256
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
η
0
1
2
3
P
127
627
1227
827
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
X
0
3
6
P
12
a
b