高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质复习练习题

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姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2021·山西·高一阶段练习）已知函数fx=sin2x−π6−12
(1)求函数最小正周期
(2)当x∈0,π2时，求函数最大值及相应的x的值
【解题思路】（1）直接根据周期公式计算即可.
（2）计算得到−π6≤2x−π6≤5π6，再根据三角形性质得到最值.
【解答过程】（1）fx=sin2x−π6−12，最小正周期T=2π2=π.
（2）x∈0,π2，故−π6≤2x−π6≤5π6，
所以当2x−π6=π2，x=π3时，函数取得最大值1−12=12.
2．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sinπ6+ωx(ω<0)的最小正周期π．
(1)求函数fx单调递增区间；
(2)若函数gx=fx−m在0,π2上有零点，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；
（2）转化为求f(x)在[0,π2]上的值域．
【解答过程】（1）因为函数fx=2sinπ6+ωx(ω<0)的最小正周期π，
所以T=2πω=π，由于ω<0，所以ω=−2．
所以fx=2sinπ6−2x=−2sin2x−π6，
所以函数fx单调递增区间，只需求函数y=2sin2x−π6的单调递减区间，
令π2+2kπ⩽2x−π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z，
所以函数fx单调递增区间为π3+kπ,5π6+kπ,k∈Z．
（2）因为函数gx=fx−m在0,π2上有零点，
所以函数y=fx的图像与直线y=m在0,π2上有交点，
因为x∈0,π2,2x−π6∈−π6,5π6，
故函数fx在区间0,π2上的值域为−2,1
所以当m∈−2,1时，函数y=fx的图像与直线y=m在0,π2上有交点，
所以当m∈−2,1时，函数gx=fx−m在0,π2上有零点．
3．（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数fx=−cs2x−π6．
(1)求函数fx的最小值及取得最小值时x的值；
(2)求函数fx的单调递减区间．
【解题思路】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数fx的最小值及取得最值时相应的x 的取值集合；
（2）令2kπ−π≤2x−π6≤2kπ,k∈Z，求得x的范围，从而可得函数fx的单调递减区间．
【解答过程】（1）当cs2x−π6=1时，fx取得最小值为−1，
此时2x−π6=2kπ,k∈Z,即x=kπ+π12,k∈Z，
所以函数fx的最小值为−1 ，x的取值集合为xx=kπ+π12,k∈Z.
（2）由2kπ−π≤2x−π6≤2kπ,k∈Z，
可得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
所以fx单调减区间kπ−5π12,kπ+π12k∈Z.
4．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数fx=-2sin2x+π4+6sinxcsx-2cs2x+1，x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx在区间0,3π4上的最大值和最小值.
【解题思路】（1）先利用两角和的正弦公式和二倍角公式转化为f(x)=2sin2x-2cs2x，再利用辅助角公式转化，然后由周期公式求解.
（2）根据2x-π4∈-π2+2kπ,3π4+2kπ,k∈Z，解出x的范围，利用fx的单调性求最值.
【解答过程】（1）
fx=-2sin2x⋅csπ4-2cs2x⋅sinπ4+3sin2x-cs2x
=2sin2x-2cs2x=22sin2x-π4.
所以fx的最小正周期T=2π2=π.
（2）
由-π2+2kπ≤2x-π4≤π2+2kπ，k∈Z，
得-π8+kπ≤x≤38π+kπ，k∈Z，
所以fx在区间0,3π8上是增函数，在区间3π8,3π4上是减函数.
又f0=-2，f3π8=22，f3π4=-2，
故函数fx在区间0,3π4上的最大值为22，最小值为-2.
5．（2022·山东·高三期中）函数fx=2cs2x-23sinxcsx+2.
(1)求fx的单调递增区间；
(2)求fx在0,π2上的值域.
【解题思路】（2）由已知，根据题意，对原函数化简，得到函数fx=2cs2x-23sinxcsx+2，f(x)=2cs2x+π3+3，然后根据余弦函数单调区间，解不等式-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ，即可完成求解；
（2）由已知，可令t=2x+π3，根据x的范围，求解出t的范围，先求解出cst，然后再求解函数fx的值域.
【解答过程】（1）fx=2cs2x-23sinxcsx+2=cs2x-3sin2x+3
=2cs2x+π3+3，
-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ，k∈Z，
-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ，k∈Z；
∴fx的单调增区间为-2π3+kπ,-π6+kπ，k∈Z；
（2）因为x∈0,π2，令t=2x+π3，所以t∈π3,4π3，
∴cst∈-1,12，所以f(x)=2cs2x+π3+3∈1,4，
∴fx∈1,4.
6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,φ≤π2的部分图象如图．
(1)求fx的解析式及单调减区间；
(2)求函数y=2fx−π4在0,π2上的最大值和最小值．
【解题思路】（1）利用已知条件求出函数fx的关系式，从而可求单调减区间；
（2）由（1）得函数y=2cs(2x-2π3)，根据x的范围，结合余弦函数性质得最值.
【解答过程】（1）
解：由图可知A=1，且T4=π3-π12=2π4ω，
所以ω=2，
所以f(x)=cs(2x+φ)，
将点(π12,1)代入解析式可得cs(π6+φ)=1，得π6+φ=2kπ,k∈Z
即φ=-π6+2kπ,k∈Z，又φ≤π2，所以φ=-π6
则f(x)=cs(2x-π6)
所以fx的单调减区间满足2kπ≤2x-π6≤π+2kπ,k∈Z
解得：π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z
则fx的单调减区间为：π12+kπ,7π12+kπ,k∈Z
（2）
解：由（1）得：y=2f(x−π4)=2cs2(x−π4)-π6=2cs(2x-2π3)
因为x∈0,π2，所以2x-2π3∈-2π3,π3
故当x=0时，ymin=-1；当x=π3时，ymax=2
所以函数y在0,π2上的最大值为2，最小值为-1.
7．（2022·湖北·高二阶段练习）设函数fx=sinωx−φω>0,−π2<φ<0的最小正周期为π，且fπ3=12．
(1)求ω和φ的值；
(2)求函数fx的单调增区间．
【解题思路】（1）由最小正周期可求得ω，根据sin2π3−φ=12，结合φ的范围可得结果；
（2）由（1）可得fx，利用整体代换法可求得单调增区间.
【解答过程】（1）
∵fx的最小正周期T=2πω=π，∴ω=2，
∴fπ3=sin2π3−φ=12，又−π2<φ<0，∴2π3<2π3−φ<7π6，
∴2π3−φ=5π6，解得：φ=−π6.
（2）
由（1）得：fx=sin2x+π6，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπk∈Z，解得：−π3+kπ≤x≤π6+kπk∈Z，
∴fx的单调增区间为−π3+kπ,π6+kπk∈Z.
8．（2022·山东·高一阶段练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1 其中x∈R，ω>0.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图象与直线y=−1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f(x)的单调增区间.
【解题思路】（1）根据正弦型函数的有界性，即可得到函数f(x)的值域；
（2）根据相邻交点间的距离确定ω的值，进而利用整体代换法求单调区间即可.
【解答过程】（1）
由−1⩽sin(ωx+π6)⩽1，得−3⩽2sin(ωx+π6)−1⩽1，
可知函数f(x)的值域为[−3，1]；
（2）
函数f(x)的图象与直线y=−1的两个相邻交点间的距离为π2，
即y=2sin(ωx+π6)的图象与直线y=0的两个相邻交点间的距离为π2，
所以y=f(x)的最小正周期为π，
又由ω>0，得2πω=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x+π6)−1，
再由2kπ−π2⩽2x+π6⩽2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ−π3⩽x⩽kπ+π6(k∈Z)，
所以y=f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z).
9．（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=4sinωx+φ（ω>0，φ<π2）图象的一条对称轴为直线x=−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8．
(1)求fx；
(2)求fx在−π24,π4上的值域．
【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；
（2）根据自变量的范围求得4x−π6∈−π3,5π6，根据正弦函数的取值求得函数的值域
【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8，
所以T=π2，故ω=2πT=4，
又f(x)的图象的一条对称轴方程为x=−π12，则4×−π12+φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=5π6+kπ，k∈Z，
又φ<π2，所以φ=−π6，
故f(x)=4sin4x−π6；
（2）因为x∈−π24,π4，所以4x−π6∈−π3,5π6，
所以sin4x−π6∈−32,1，所以4sin4x−π6∈−23,4，
故fx在−π24,π4上的值域为−23,4.
10．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx=2acs2x+π4+1a≠0．
(1)当a=1时，求fx的减区间；
(2)若x∈0,π2时，fx的最大值为3，求实数a的值．
【解题思路】（1）代入a=1，整体代入求解余弦型函数的单调递减区间即可；
（2）先计算x∈0,π2时，cs2x+π4∈−1,22，再讨论a>0和a<0时fx的最大值，令其等于3，解方程即得结果.
【解答过程】（1）
解：当a=1时，fx=2cs2x+π4+1，
令2kπ≤2x+π4≤π+2kπk∈Z，得−π8+kπ≤x≤3π8+kπk∈Z，
故fx的减区间为−π8+kπ,3π8+kπk∈Z．
（2）
解：当x∈0,π2时，2x+π4∈π4,5π4，所以cs2x+π4∈−1,22，
当a>0时，cs2x+π4=22时，fxmax=2a×22+1=3，解得a=2；
当a<0时，cs2x+π4=−1时，fxmax=−2a+1=3，解得a=−1．
综上，a=−1或a=2．
11．（2022·贵州·高二阶段练习）若函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图像，如图所示.
(1)求函数fx的解析式
(2)当x∈−π2,0时，求fx的值域.
【解题思路】（1）先利用图像得到A=2，代入(0,1)可求得φ=π6，再代入(3π4,−3)后结合T=2πω>3π4可得到ω=2，即可得到解析式；
（2）根据自变量的范围,结合正弦函数的图像与性质,即可求得fx的值域.
【解答过程】（1）
因为A>0,故由图像可知A=2,
又因为图像过点(0,1)，故2sinφ=1，即sinφ=12，
因为φ<π2，所以φ=π6，所以此时fx=2sinωx+π6，
因为图像过点(3π4,−3)，所以f3π4=2sinω×3π4+π6=−3
即sinω×3π4+π6=−32，所以结合图像可得ω×3π4+π6=−π3+2kπ,k∈Z，
解得ω=−23+8k3,k∈Z，
因为T=2πω>3π4，即0<ω<83，所以ω=2，
所以fx=2sin2x+π6
（2）
因为x∈−π2,0，所以2x+π6∈−5π6,π6，
所以sin2x+π6∈−1,12，所以fx∈−2,1，
故fx的值域为−2,1.
12．（2022·河南省模拟预测（理））已知函数f(x)=sin(x+φ)φ∈−π2,π2，对任意x∈R都有fπ3+x=f(−x)．
(1)求fx的解析式；
(2)对于任意x∈R，不等式fx−1≤m恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）根据fπ3+x=f−x得到函数fx的对称轴，再利用对称轴列方程，求φ即可；
（2）根据函数fx的解析式求出fx−1的最大值即可得到m的范围.
【解答过程】（1）
因为对任意x∈R都有fπ3+x=f−x，所以x=π6是函数fx的一条对称轴，fπ6=sinπ6+φ=±1，解得φ=π3+kπk∈Z，又φ∈−π2,π2，所以φ=π3，fx=sinx+π3.
（2）
因为对任意x∈R，不等式fx−1≤m，所以m≥fx−1max，
因为fx=sinx+π3，x∈R，所以fx=sinx+π3∈−1,1⇒fx−1∈0,2，所以m≥2.
13．（2022·浙江省高一期末）某同学用“五点法”作函数f(x)=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)根据上表数据，直接写出函数fx的解析式，并求函数的最小正周期和fx在0,2π上的单调递减区间.
(2)求fx在区间−2π3,0上的最大值和最小值.
【解题思路】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；
（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.
【解答过程】（1）
根据五点法的表格，所以fx=2sin2x+π3
所以fx的最小正周期T=2π2=π
令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z
解之得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z
又x∈0,2π，所以π12≤x≤7π12或13π12≤x≤19π12
即fx在0,2π上的单调递减区间为π12,7π12，13π12,19π12
（2）
由于 −2π3≤x≤0
所以 −π≤2x+π3≤π3
所以−1≤sin2x+π3≤32
所以−2≤2sin2x+π3≤3
当2x+π3=−π2即x=−5π12时，函数fx的最小值为−2;
当2x+π3=π3即x=0时，函数的最大值为3.
14．（2022·安徽省高二开学考试）已知函数fx=Asinωx+φφπ2,ω0图像的一部分如图所示.
(1)求函数fx的解析式；
(2)令gx=fx+4cs2ωx2，其中x∈0,π2，求函数gx的值域.
【解题思路】（1）先根据图象最高点求出A，再根据图象所过点求出φ,ω，可得函数解析式；
（2）先化简gx，再求解gx的值域.
【解答过程】（1）
由图象易求A=2.
将点0,1代入y=2sinωx+φ中，得1=2sinφ,sinφ=12.
因为φ<π2，所以φ=π6.
又因为11π12,0对应五点法作图中的第五个点，所以ω⋅11π12+π6=2π,ω=2.
故fx=2sin2x+π6.
（2）
gx=fx+4cs2ωx2=2sin2x+π6+21+cs2x
=3sin2x+3cs2x+2=23sin2x+π3+2.
因为x∈0,π2，所以2x∈0,π,2x+π3∈π3,4π3，sin2x+π3∈−32,1；
于是gx的最大值是23+2，最小值是−1.
故函数gx的值域是−1,23+2.
15．（2022·新疆·高一期末）已知函数f(x)=sin(2x+π4)，x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)x∈[0,π2],g(x)=f(x)−m 有零点，求m的范围.
【解题思路】（1）根据正弦函数的最小正周期公式，求得答案；
（2）将函数的零点问题转化为方程的解的问题，结合正弦函数的性质即可求得答案.
【解答过程】（1）
由于f(x)=sin(2x+π4)，故其最小正周期为2π2=π；
（2）
因为x∈[0,π2],g(x)=f(x)−m 有零点，
故x∈[0,π2],g(x)=sin(2x+π4)−m=0有解，
即m=sin(2x+π4),x∈[0,π2]有解，
因为x∈[0,π2],2x+π4∈[π4,5π4]，所以sin(2x+π4)∈[−22,1]，
故−22≤m≤1.
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数g(x)=cs4x+5π6+1，x∈−π8,π8．
(1)求gx的值域；
(2)若关于x的方程g2(x)+(2−m)g(x)+3− m=0有解，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由x∈−π8,π8可得4x+5π6∈π3,4π3，再利用余弦函数的性质可求得函数的值域，
（2）根据题意可得m =g2(x)+2g(x)+3g(x)+1，令s=g(x)+1，则m=s2+2s=s+2s，然后根据对勾函数的性质可求得答案.
【解答过程】（1）
当x∈−π8,π8时，4x+5π6∈π3,4π3，
所以cs4x+5π6∈−1,12，
所以g(x)=cs4x+5π6+1∈0,32，
故g(x)的值域为0,32．
（2）
由g2(x)+(2−m)g(x)+3−m=0，得g2(x)+ 2g(x)+3=m[g(x)+1]，
因为g(x)∈0,32，所以g(x)+1≠0，所以m =g2(x)+2g(x)+3g(x)+1，
令s=g(x)+1，则m=s2+2s=s+2s，s∈1,52，
由对勾函数的性质知m=s+2s在[1,2)上单调递减，在2,52上单调递增，
所以当s=2时，m取得最小值2+22=22，
因为当s=1时，m=3，当s=52时，m=52+252=3310，
所以m的最大值为3310，
所以m=s+2s∈22,3310．
因此m的取值范围为22,3310．
17．（2022·宁夏·高三开学考试（文））已知函数fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<π) 的部分图像如图所示.
(1)求fx的解析式及对称中心；
(2)先将fx的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到gx的图像，求函数y=gx在x∈π12,3π4上的单调减区间.
【解题思路】(1) 由函数的图像的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出的值,可得fx的解析式,再利用三角函数的图像的对称性,得出结论.
(2)由题意利用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，求得gx的解析式,再利用余弦函数的单调性,定义域得出结论.
【解答过程】（1）
解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像，
可得A=2，34⋅2πω=5π12+π3，∴ω=2．
再根据五点法作图，2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3，故有f(x)=2sin2x−π3．
根据图像可得，−π3,0是f(x)的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为kπ2−π3,0，k∈Z.
故答案为：f(x)=2sin2x−π3，对称中心为kπ2−π3,0，k∈Z.
（2）
解：先将f(x)的图像纵坐标缩短到原来的12，可得y=sin2x−π3的图像，再向右平移π12个单位，得到y=sin2x−π12−π3=sin(2x−π2)=−cs2x的图像，
即g(x)=−cs2x，令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ−π2≤x≤kπ，k∈Z，
可得g(x)的减区间为kπ−π2,kπ，k∈Z，结合x∈π12,3π4，
可得g(x)在π12,3π4上的单调递减区间为π2,3π4．
18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=a−bcs2x+π6(b>0)的最大值为32，最小值为−12．
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)=−4asinbx−π3的最小值，并求出取最小值时x的取值集合．
【解题思路】（1）根据余弦函数的范围易得f(x)max与f(x)max，联立方程可得;
（2）根据−1≤sinx−π3≤1易得g(x)的最小值,此时sinx−π3=1，进而求得x的取值集合.
【解答过程】（1）
由题意，易知−1≤cs2x+π6≤1,
∵b>0，∴fxmax=a+b=32fxmin=a−b=−12，∴a=12b=1;
（2）
由（1）知a=12，b=1，∴g(x)=−2sinx−π3，
∵−1≤sinx−π3≤1，∴−2≤g(x)≤2,
∴g(x)的最小值为−2，此时sinx−π3=1，则x−π3 =2kπ+π2，k∈Z，
∴x=2kπ+5π6，k∈Z，
故g(x)小值时x的取值集合为xx=2kπ+5π6,k∈Z．
19．（2022·全国·高一课时练习）设函数fx=Asin2x+φA>0,0<φ<π2，函数fx的最小值为−2，且x=π3为函数fx的一个零点．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)若对任意的x∈0,π4，不等式fx>m−3恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）利用最小值和零点可求得fx的解析式，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，解不等式即可求得单调递增区间；
（2）利用正弦型函数值域的求法可求得fx在0,π4上的最小值，由m−3【解答过程】（1）
∵fxmin=−A=−2，∴A=2；
∵x=π3为fx的一个零点，∴2π3+φ=kπk∈Z，解得：∴φ=kπ−2π3k∈Z，
又0<φ<π2，∴φ=π3，∴fx=2sin2x+π3；
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，解得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，
∴fx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z.
（2）
当x∈0,π4时，2x+π3∈π3,5π6，∴sin2x+π3∈12,1，∴fx∈1,2；
∵对任意的x∈0,π4，fx>m−3恒成立，∴m−3即实数m的取值范围为−∞,4.
20．（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ≤π2的图象关于直线x=π4对称.
(1)若fx的最小正周期为2π，求fx的解析式.
(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在7π18,5π9上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据f(x)的最小正周期为π可得ω=1，再结合图象关于直线x=π4对称，代入到对称轴的表达式求解可得φ=π4；
（2）根据x=−π4为f(x)的零点，x=π4为f(x)图象的对称轴，可分别代入对称点与对称轴的表达式，进而求得ω的表达式，可得ω为正奇数，再根据f(x)在(7π18,5π9)上单调，可得ω≤6，进而分别代入ω=5,3,1讨论是否成立即可.
【解答过程】（1）
因为f(x)的最小正周期为π，所以2π|ω|=2π.
因为ω>0，所以ω=1.
因为f(x)的图象关于直线x=π4对称，所以π4+φ=kπ+π2，k∈Z，
即φ=kπ+π4，k∈Z.因为|φ|≤π2，所以φ=π4.
故f(x)=sin(x+π4).
（2）
因为x=−π4为f(x)的零点，x=π4为f(x)图象的对称轴，
所以−π4ω+φ=k1π①，π4ω+φ=k2π+π2②，k1，k2∈Z.
②−①得π2ω=(k2−k1)π+π2，所以ω=2(k2−k1)+1.
因为k1，k2∈Z，所以ω=2n+1(n∈N)，即ω为正奇数.
因为f(x)在(7π18,5π9)上单调，所以5π9−7π18=π6≤T2，即T=2πω≥π3，解得ω≤6.
当ω=5时，−5π4+φ=kπ，k∈Z.
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时f(x)=sin(5x+π4).
令t=5x+π4∈(79π36,109π36)，g(t)=sint.
g(t)在(79π36,5π2)上单调递增，在(5π2,109π36)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上不单调，不符合题意.
当ω=3时，−3π4+φ=kπ，k∈Z.
因为|φ|≤π2，所以φ=−π4，此时f(x)=sin(3x−π4).
令t=3x−π4∈(11π12,17π12)，g(t)=sint.
g(t)在(11π12,17π12)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上单调，符合题意.
当ω=1时，−π4+φ=kπ，k∈Z.
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时f(x)=sin(x+π4).
令t=x+π4∈(23π36,29π36)，g(t)=sint.
g(t)在(23π36,29π36)上单调递减，
故f(x)在(7π18,5π9)上单调，符合题意.
综上，存在实数ω，使得f(x)在(7π18,5π9)上单调，且ω的取值集合为{1,3}.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=a−bsinxa,b∈R.
(1)若b>0，函数fx的最大值为0，最小值为−6，求a，b的值；
(2)当a=2时，函数gx=fx−sin2x的最大值为2，求b的值.
【解题思路】（1）当b>0，则当sinx=1时，ymax=a+b，当sinx=1时，ymin=a−b，代入即可求出a，b的值；
（2）将gx=−sinx+b22+b24+2，令t=sinx，则y=b24+2−t+b22，t∈−1,1，分类讨论−b2<−1，−1≤−b2≤1和−b2>1，求出函数在−1,1上的单调性，即可求出b的值.
【解答过程】（1）
因为b>0，所以当sinx=−1时，fx最大，当sinx=1时，fx最小，
可得a+b=0a−b=−6，解得a=−3b=3.
（2）
gx=fx−sin2x=2−bsinx−sin2x=−sinx+b22+b24+2.
令t=sinx，则t∈−1,1，y=b24+2−t+b22，t∈−1,1，
当−b2<−1，即b>2时，y=b24+2−t+b22在−1,1上单调递减，
ymax=b24+2−−1+b22=2−1+b=2，得b=1（舍去）；
当−1≤−b2≤1，即−2≤b≤2时，ymax=2+b24=2，得b=0；
当−b2>1，即b<−2时，y=b24+2−t+b22在−1,1上单调递增，
ymax=b24+2−1+b222=2−1−b=2，得b=−1（舍去）.
综上可得，b=0.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=sin2ωx+π6图象的一个对称中心为−π12,0，其中ω为常数，且ω∈0,2.
(1)求函数fx的解析式；
(2)已知函数gx=cs(x+π3)−m，若对任意的x1,x2∈0,π，均有fx1≥gx2，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意得到−π6ω+π6=kπ,k∈Z，求得ω=−6k+1,k∈Z，结合ω∈0,2，即可求解；
（2）根据x1∈0,π，求得−1≤fx1≤1，根据x2∈0,π，求得−1−m≤gx2≤12−m，结合题意，得到12−m≤−1，即可求解.
【解答过程】（1）
解：因为函数fx=sin2ωx+π6图象的一个对称中心为−π12,0，
可得−π6ω+π6=kπ,k∈Z，解得ω=−6k+1,k∈Z，
又因为ω∈0,2，解得ω=1，所以fx=sin2x+π6.
（2）
解：由x1∈0,π，可得π6≤2x1+π6≤13π6，
所以−1≤sin2x1+π6≤1，即−1≤fx1≤1，
由x2∈0,π，可得π3≤x2+π3≤4π3，所以−1≤csx2+π3≤12，
所以−1−m≤gx2≤12−m，
因为对任意的x1,x2∈0,π，均有fx1≥gx2，所以12−m≤−1，解得m≥32，
所以实数m的取值范围为32,+∞.
23．（2022·江西省高一期中）已知函数f(x)=sin(π6−2x)−12，g(x)=2cs(2x+π6)−2−m，
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意x1∈[−π6,π3]，存在x2∈[−π6,π3]，使得f(x1)=g(x2)，求实数m的取值范围.
【解题思路】(1)根据复合函数单调性的求法，使π6−2x∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k∈Z即可；
(2)根据余弦函使其交集不为空集
(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.
【解答过程】（1）
2kπ−π2≤π6−2x≤2kπ+π2,k∈Z，解不等式得：x∈[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z ，
所以函数的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z.
（2）
2x+π6=2kπ，即x=kπ−π12,k∈Z时， g(x)max=−m，
2x+π6=2kπ+π，即x=kπ+5π12,k∈Z 时，g(x)min=−m−4；
（3）
x1∈[−π6,π3]时，−π2≤π6−2x1≤π2，−32≤f(x1)≤12，
x2∈[−π6,π3]时，2x2+π6∈[−π6,5π6] ，g(x2)∈[−m−2−3,−m]，
要使得f(x1)=g(x2)，只需{−m≥12−m−2−3≤−32，∴m∈[−12−3,−12].
24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=2sinx+π3，且函数y=gx的图象与函数y=fx的图象关于直线x=π4对称．
(1)求函数gx的解析式；
(2)若存在x∈0,π2，使等式gx2−mgx+2=0成立，求实数m的取值范围；
(3)若当x∈−π3,2π3时，不等式12fx−ag−x>a−2恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.
（2）利用正弦函数的性质求出g(x)的范围，再分离参数求解作答.
（3）根据给定范围，按a=0，a>0，a<0分类并结合最值情况求解作答.
【解答过程】（1）
因函数y=gx的图象与函数y=fx的图象关于直线x=π4对称，则g(x)=f(π2−x)，
所以g(x)=2sin(π2−x+π3)=2sin[π−(x+π6)]=2sin(x+π6)．
（2）
由（1）知，gx=2sinx+π6，当x∈0,π2时，x+π6∈π6,2π3，则1≤gx≤2，
令gx=t，则1≤t≤2．存在x∈0,π2，使gx2−mgx+2=0成立，
即存在t∈1,2，使t2−mt+2=0成立，则存在t∈1,2，m=t+2t成立，
而函数m=t+2t在t∈[1,2]上递减，在t∈[2,2]上递增，
当t=2时，mmin=22，当t=1或2时，mmax=3
所以实数m的取值范围为22,3．
（3）
由（1）知，不等式12f(x)−ag(−x)>a−2⇔sin(x+π3)+2asin(x−π6)>a−2，
当x∈[−π3,2π3]时，0≤x+π3≤π，−π2≤x−π6≤π2，
若a=0，因0≤sin(x+π3)≤1，即sin(x+π3)>−2恒成立，则a=0，
若a>0，因sin(x−π6)在[−π3,2π3]上单调递增，则当x=−π3时，sin(x+π3)+2asin(x−π6)取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin(−π3+π3)+2asin(−π3−π6)>a−2恒成立，即−2a>a−2，因此0若a<0，当x=2π3时，sin(x+π3)+2asin(x−π6)取得最小值，
原不等式恒成立可转化为sin(2π3+π3)+2asin(2π3−π6)>a−2恒成立，即a>−2，因此−2所以a的取值范围是(−2,23)．
25．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=2sinπ2x+π4+1．
(1)求函数fx的最小正周期及其单调递减区间；
(2)若x1,x2是函数fx的零点，用列举法表示csx1+x2π2的值组成的集合．
【解题思路】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；
（2）首先求出函数的零点，得x1,x2是A=x|x=4k−56,k∈Z或B=x|x=4k+116,k∈Z中的元素，再分类讨论计算可得.
【解答过程】（1）
fx的最小正周期为T=2ππ2=4．
对于函数f(x)=2sinπ2x+π4+1，
当2kπ+π2≤π2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)时，fx单调递减，
解得4k+12≤x≤4k+52(k∈Z)，
所以函数fx的单调递减区间是4k+12,4k+52k∈Z．
（2）
因为2sinπ2x+π4+1=0，即sinπ2x+π4=−12，
所以函数fx的零点满足π2x+π4=2kπ−π6或π2x+π4=2kπ+7π6(k∈Z)，
即x=4k−56或x=4k+116(k∈Z)，
所以x1,x2是A=xx=4k−56,k∈Z或B=xx=4k+116,k∈Z中的元素，
当x1,x2∈A时，x1+x2π2=2kπ−5π6(k∈Z)，
则csx1+x2π2=cs2kπ−5π6=cs5π6=−32．
当x1∈A，x2∈B（或x1∈B，x2∈A）时，x1+x2π2=2kπ+π2(k∈Z)，
则csx1+x2π2=cs2kπ+π2=csπ2=0．
当x1,x2∈B时，x1+x2π2=2kπ−π6(k∈Z)，
则csx1+x2π2=cs2kπ−π6=csπ6=32．
所以csx1+x2π2的值组成的集合是−32,0,32．
26．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=cs(πωx−φ)(ω>0,0≤φ<2π)的图象关于y轴对称．
(1)求φ的值；
(2)若函数f(x)在(0,3)上单调递减，试求当ω取最小值时，f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)的值．
【解题思路】（1）根据f(x)对称性，及余弦函数的性质可得φ=kπ(k∈Z)，结合参数范围求φ.
（2）根据（1）的结论及f(x)区间单调性可得φ=0，进而求ω的范围，利用余弦函数的周期性求ω取最小值目标式的函数值.
【解答过程】（1）
∵f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(−x)=f(x)，即cs(−πωx−φ)=cs(πωx+φ)=cs(πωx−φ)，
∴φ=kπ(k∈Z)，而0≤φ<2π，
∴φ=0或φ=π．
（2）
若φ=π，则f(x)=−csπωx，则f(x)不满足在(0,3)上单调递减．
若φ=0，则f(x)=csπωx，
由ω>0，0∵f(x)在(0,3)上单调递减，
∴3πω≤π，则ω≥3．
当ω=3时，f(x)=csπ3x的最小正周期T=2ππ3=6，
∴f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=337[f(1)+f(2)+⋯+f(6)]
=337×(csπ3+cs2π3+csπ+cs4π3+cs5π3+cs2π)=337×0=0．
27．（2022·全国·高一单元测试）设x∈R，函数f(x)=cs(ωx+φ)ω>0,−π2<φ<0的最小正周期为π，且fπ4=32．
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数fx在0,π上的图像；
(3)若fx>22，求x的取值范围．
【解题思路】（1）利用最小正周期和fπ4=32解ω，φ即可；
（2）利用列表，描点画出f(x)图像即可；
（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.
【解答过程】（1）
∵函数fx的最小正周期T=2πω=π，∴ω=2．
∵fπ4=cs2×π4+φ=csπ2+φ=−sinφ=32，
且−π2<φ<0，∴φ=−π3．
（2）
由（1）知f(x)=cs2x−π3，列表如下：

fx在0,π上的图像如图所示：
（3）
∵f(x)>22，即cs2x−π3>22，
∴2kπ−π4<2x−π3<2kπ+π4(k∈Z)，
则2kπ+π12<2x<2kπ+7π12(k∈Z)，
即kπ+π24∴x的取值范围是{x|kπ+π2428．（2022·上海·高三期中）已知函数fx=sinωx+π3，ω>0；
(1)当ω=2时，求fx在0,π2的值域；
(2)若至少存在三个x0∈(0,π3)使得fx0=−1，求ω的取值范围；
(3)若fx在π2,π上是增函数，且存在m∈π2,π，使得f2m−π3ω>22成立，求实数ω的取值范围.
【解题思路】（1）由题意可得π3≤2x+π3≤4π3,据此即可求得函数的值域；
（2）由题意得到ωx+π3∈(π3,ωπ3+π3),列出关于ω的不等式，求解不等式即可确定ω的取值范围；
（3）由题意列出关于ω的不等式，求解不等式即可确定ω的取值范围．
【解答过程】（1）当ω=2时，f(x)=sin(2x+π3),
由x∈0,π2，可得π3≤2x+π3≤4π3,∴−32≤sin(2x+π3)≤1，
故f(x)的值域为[−32,1]．
（2）∵对于函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，至少存在三个x0∈(0,π3)，使得f(x0)=−1，
即函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象在(0,π3)至少有3个最低点，
x∈(0,π3)，所以ωx+π3∈(π3,ωπ3+π3)，
故ωπ3+π3>3π2+2π×2，即有ω>312，
即ω的取值范围是(312,+∞).
（3）由题意fx在[π2,π]是增函数，则π−π2≤12×2πω，ω>0，所以0<ω≤2，
ωx+π3∈[ωπ2+π3,ωπ+π3]，而ωπ2+π3∈(π3,4π3],ωπ+π3∈(π3,7π3]，
故ωπ+π3≤π2，即0<ω≤16，
由于存在m∈[π2,π]使得f(2m−π3ω)>22，即sinω(2m−π3ω)+π3>22成立，
即sin2ωm>22成立，而2ωm∈[ωπ,2ωπ]，又ωπ∈(0,π6],2ωπ∈(0,π3]，
故2ωπ>π4 ，即ω>18，
综上可得，18<ω≤16 ，即ω的取值范围是(18,16].
29．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个条件：①函数fx−π3为奇函数；②当x=π3时，fx=3；③2π3是函数fx的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数fx=2sinx+φ0<φ<π2，______．
(1)求函数fx的解析式；
(2)求函数fx在0,2π上的单调递增区间．
【解题思路】(1)根据所选条件，列方程解得φ即可.
(2)先求函数的单调增区间，找出满足条件的即可.
【解答过程】（1）
选择条件①．
∵fx−π3=2sinx+φ−π3为奇函数，
∴f−π3=2sinφ−π3=0，解得φ=π3+kπ，k∈Z．
∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴fx=2sinx+π3；
选条件②．
fπ3=2sinπ3+φ=3，∴sinπ3+φ=32，
∴φ=2kπ，k∈Z或φ=π3+2kπ，k∈Z，
∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴fx=2sinx+π3
选条件③．
（1）∵2π3是函数fx的一个零点，
∴f2π3=2sin2π3+φ=0，∴φ=kπ−2π3，k∈Z．
∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴fx=2sinx+π3.
（2）
由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
令k=0，得−5π6≤x≤π6，令k=1，得7π6≤x≤13π6，
∴函数fx在0,2π上的单调递增区间为0,π6，7π6,2π．
30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=sin(2x+φ)ω>0,φ<π2，______．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在−π2,π12上的值域．
请在①函数f(x)的图象关于直线对称，②函数y=fx−π12的图象关于原点对称，③函数f(x)在−5π6,−π3上单调递减，在−π3,π6上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）针对每个序号逐一分析，利用整体法代入计算φ的值；
（2）利用整体法求解函数在−π2,π12上的最大值和最小值，即可求出值域.
【解答过程】（1）
若选①，
函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，
则2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=π6+kπ，k∈Z．
又因为φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin2x+π6．
若选②，
函数y=fx−π12=sin2x−π6+φ的图象关于原点对称，
则−π6+φ=kπ，k∈Z，即φ=π6+kπ，k∈Z，
又因为φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin2x+π6．
若选③，
函数f(x)在−5π6,−π3上单调递减，在−π3,π6上单调递增，
则函数f(x)在x=−π3处取得最小值，则f−π3=sin2×−π3+φ=−1，
则2×−π3+φ=−π2+2kπ，k∈Z，即φ=π6+2kπ，k∈Z．
又因为φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin2x+π6．
（2）
由（1）可得函数f(x)=sin2x+π6，
因为x∈−π2,π12，所以2x+π6∈−5π6,π3，
所以当2x+π6=−π2时，f(x)min=sin−π2=−1；
当2x+π6=π3时，f(x)max=sinπ3=32．
所以函数f(x)在−π2,π12上的值域为−1,32．ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
7π12
Asinωx+φ
0
0
−2
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
2x−π3
−π3
0
π2
π
3π2
5π3
fx
12
1
0
－1
0
12