人教A版 (2019)5.7 三角函数的应用课后测评

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1．函数，中各量的物理意义
在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数
中的常数有关.

2．三角函数的简单应用
(1)三角函数应用的步骤
(2) 三角函数的常见应用类型
①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.
物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.
物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.
③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.
大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解
决这些问题.
【题型1 三角函数在物体简谐运动问题中的应用】
【方法点拨】
物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
【例1】（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（ ）
A．该弹簧振子的振幅为2cm
B．该弹簧振子的振动周期为1.6s
C．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大
D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零
【解题思路】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB选项的正误，再根据简谐振动的几何意义可判断CD选项的正误.
【解答过程】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为2cm，振动周期为2×1−0.2=1.6s，
当t=0.2s或1.0s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：C.
【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（ ）
A． x=32sin2π3t−π2B．x=3sin2π3t
C．x=32sin3t+π2D．x=3sin2π3t+π2
【解题思路】设x=ft=Asinωt+φω>0，根据振幅确定A，根据周期确定ω，根据f0=3确定φ，即可得出结果.
【解答过程】设位移x关于时间t的函数为x=ft=Asinωt+φω>0，
根据题中条件，可得A=3，周期T=2πω=3，故ω=2πT=2π3，
由题意可知当x=0时，ft取得最大值3，故3sinφ=3，则φ=π2+2kπk∈Z，
所以x=3sin2π3t+π2+2kπ=3sin2π3t+π2.
故选：D．
【变式1-2】（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为−5cm
C．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为0
【解题思路】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.
【解答过程】对于A、B选项，由图可得知振幅为5cm，周期为2×0.7−0.3=0.8s，A、B选项错误；
对于C选项，质点在0.1s和0.5s时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；
对于D选项，质点在0.3s和0.7s时刻，质点的位移为0，则质点受到的回复力为0，所以加速度为0，D选项正确.
故选D.
【变式1-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为Lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s=2csgLt，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．3.6B．3.8C．4.0D．4.5
【解题思路】由图象观察得出函数s=2csglt的最小正周期为0.4s，再利用余弦型函数的周期公式可求得l的值.
【解答过程】解：由题意，函数关系式为s=2csglt，
由图象可知，函数s=2csglt的最小正周期为T=0.4s，
T=2πgl=25，所以，l=g25π2=98025×3.142≈4.0cm，
故选：C.
【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】
【方法点拨】
这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如或
的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具
体的数值代入计算即可.
【例2】（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（ ）
A．ℎ=2sinπ30t−π6+1B．ℎ=2sinπ30t−π3+1
C．ℎ=2sinπ30t+π6+1D．ℎ=2sinπ60t−π6+1
【解题思路】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.
【解答过程】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为
ℎ=Asinωt+φ+B(A>0，ω>0，φ