高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时练习

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1．两角差的余弦公式
对于任意角，有.
此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；.
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【方法点拨】
公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.
【例1】（2022·四川省模拟预测（理））已知α，β都为锐角，csα=17，csα+β=−1114，则csβ等于（ ）
A．12B．−7198C．−12D．7198
【解题思路】由同角三角函数的基本关系可得sinα和sin(α+β)，代入csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα，计算可得．
【解答过程】解：∵α，β都是锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114，
∴sinα=1−cs2α=437，sin(α+β)=1−sin2(α+β)=5314，
∴csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=−1114×17+5314×437=12，
故选：A．
【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知α,β均为锐角，且sinα+β=2sinα−β，则tanαtanβ=（ ）
A．13B．12C．2D．3
【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.
【解答过程】解：因为sinα+β=2sinα−β，
所以sinαcsβ+csαsinβ=2sinαcsβ−2csαsinβ，
即3csαsinβ=sinαcsβ，
又α,β均为锐角，
所以sinαcsβcsαsinβ=3，即tanαtanβ=3.
故选：D.
【变式1-2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知csα+π12=35，α∈0,π2，则sinα+π3=（ ）
A．3−4310B．45C．−210D．7210
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出sinα+π12，再根据sinα+π3=sinα+π12+π4利用两角和的正弦公式计算可得.
【解答过程】解：因为α∈0,π2，所以α+π12∈π12,7π12，又csα+π12=35，
所以sinα+π12=1−cs2α+π12=45，
所以sinα+π3=sinα+π12+π4
=sinα+π12csπ4+csα+π12sinπ4
=35×22+45×22=7210，
故选：D.
【变式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若0