高中数学5.4 三角函数的图象与性质课后测评

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1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：
【题型1 正、余弦函数图象的应用】
【方法点拨】
正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（ ）
A．3B．6C．7D．9
【解题思路】作出函数y=10sinx和y=x的图象，由图象可得交点个数，
【解答过程】y=10sinx的最小正周期是2π，y=10sinx∈[−10,10]，
y=x∈[−10,10]时，x∈[−10,10]，作出函数y=10sinx和y=x的图象，只要观察x∈[−10,10]的图象，由图象知它们有7个交点，
故选：C．
【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y=|sinx|B．y=sin|x|
C．y=−|sinx|D．y=−sin|x|
【解题思路】判断各选项中函数在区间0,π或π,2π上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【解答过程】对于A选项，当0