高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式当堂检测题

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1．诱导公式
(1)诱导公式

(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 利用诱导公式求值】
【方法点拨】
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.
【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知csπ6-α=45，则sinα+π3=（ ）
A．±35B．35C．-35D．45
【解题思路】结合π6-α+α+π3=π2，根据诱导公式求解即可.
【解答过程】解：因为π6-α+α+π3=π2，csπ6-α=45，
所以sinα+π3=sinπ2-π6-α=csπ6-α=45
故选：D.
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知sin(α+π12)=13,则cs(α+712π)的值为（ ）
A．13B．223C．-13D．-232
【解题思路】由三角函数的诱导公式，化简得cs(α+7π12)=-sin(α+π12)，代入即可求解，得到答案.
【解答过程】由三角函数的诱导公式，
可得cs(α+7π12)=cs[(α+π12)+π2]=-sin(α+π12)，
又sin(α+π12)=13，所以cs(α+7π12)=-13.
故选：C.
【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若tan(π−x)=12，则cs(π2+x)=（ ）
A．±15B．±25C．−15D．25
【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【解答过程】因tan(π−x)=12，则tanx=−12，即csx=−2sinx，而sin2x+cs2x=1，于是得sin2x=15，
所以cs(π2+x)=−sinx=±55.
故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知csπ3−α=35，则sinα+π6=（ ）
A．±45B．45C．−45D．35
【解题思路】根据α+π6=π2−α+π6及诱导公式即可求解.
【解答过程】∵csπ3−α=35，
∴sinα+π6=csπ2−α+π6=csπ3−α=35.
故选:D．
【题型2 利用诱导公式化简】
【方法点拨】
在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将
角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简sinπ2−αcs−α=（ ）
A．tanαB．−tanαC．1D．−1
【解题思路】利用诱导公式化简可得结果.
【解答过程】sinπ2−αcs(−α)=csαcsα=1.
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）cs(π−x)+sinx+3π2=（ ）
A．−2csxB．0C．−2sinxD．csx−sinx
【解题思路】由诱导公式直接化简可得.
【解答过程】cs(π−x)+sinx+3π2=−csx−csx=−2csx
故选：A.
【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简cs(2π−α)sin(−α)sin(π2+α)的结果为（ ）
A．tanαB．csαC．sinαD．−sinα
【解题思路】应用诱导公式化简即可得结果.
【解答过程】cs(2π−α)sin(−α)sin(π2+α)=csα⋅(−sinα)csα=−sinα.
故选：D.
【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若f(α)=sin(π2−α)cs(10π−α)tan(−α+3π)tan(π+α)sin(5π2+α)，则化简f(α)=（ ）
A．csαB．sinαC．−sinαD．−csα
【解题思路】根据诱导公式化简即可得答案.
【解答过程】解：f(α)=sinπ2−αcs(10π−α)tan(−α+3π)tan(π+α)sin5π2+α=csαcs−αtan−αtanαsinπ2+α
=−csαcsαtanαtanαcsα=−csα.
故选：D.
【题型3 利用互余（互补）关系求值】
【方法点拨】
诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般
解题步骤如下：
(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.
(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.
【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知 cs(α−π6)=223，α∈（π6,π），则cs(α+π3)=（ ）
A．−13 B．13 C．−233 D．233
【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.
【解答过程】∵cs(α−π6)=223，α∈（π6,π），
∴0