人教A版 (2019)4.3 对数习题

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）计算：2lg5−lg4−12=（ ）
A．10B．1C．2D．lg5
【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.
【解答过程】2lg5−lg4−12=lg(5)2+lg4=lg5+lg2=lg10=1.
故选：B.
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．lglg10=1B．lglne=0
C．若e=lnx，则x=e2D．lnlg1=0
【解题思路】根据对数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【解答过程】因为lg10=lne=1，lg1=0，所以A错误，B正确；若e=lnx，则x=ee，故C错误；lg1=0，而ln0没有意义，故D错误．
故选：B.
3．（3分）（2022·全国·高一单元测试）若xlg23=1，则3x+3−x=（ ）
A．52B．36C．103D．32
【解题思路】求出x=lg32，代入3x+3−x化简即得解.
【解答过程】解：由题得x=1lg23=lg32，
所以3x+3−x=3lg32+3lg312=2+12=52．
故选：A．
4．（3分）（2021·陕西·高一期中）方程ln(lg2x)=0的解是（ ）
A．1B．2C．eD．0
【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【解答过程】∵ln(lg2x)=0，
∴lg2x=e0=1，
∴x=2.
故选：B.
5．（3分）（2022·全国·高一课时练习）若ln2=a，ln3=b，则lg818=（ ）
A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a
【解题思路】先换底，然后由对数运算性质可得.
【解答过程】lg818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.
故选：B.
6．（3分）（2021·湖南·高一开学考试）已知b>0，lg5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（ ）
A．d=acB．a=cdC．c=abD．d=a+c
【解题思路】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项.
【解答过程】lg5b=a,lgb=c，两式相除得lg5blgb=ac,lg510=ac，又5d=10,∴lg510=d，所以d=ac⇒cd=a.
故选：B.
7．（3分）（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek k=1,2．已知星A的星等是−3.5，星B的星等是−1.5，则星A与星B的亮度的比值为（ ）
A．1045B．10−45C．1054D．10−54
【解题思路】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.
【解答过程】因为m2−m1=52lgE1E2，星A的星等是−3.5，星B的星等是−1.5，
所以−1.5−(−3.5)=52lgE1E2⇒lgE1E2=45⇒E1E2=1045，
故选：A.
8．（3分）（2022·广西桂林·二模（理））若正数a、b满足1+lg2a=2+lg3b=lg6a−b，则1a−1b的值为（ ）
A．−32B．−23C．23D．32
【解题思路】令1+lg2a=2+lg3b=lg6(a−b)=k，将对数式转化为指数式，利用指数幂的运算法则即可求解.
【解答过程】解：令1+lg2a=2+lg3b=lg6(a−b)=k，
则a=(2)k−1,b=(3)k−2,a−b=(6)k，
所以1a−1b=b−aab= −(6)k(2)k−1×(3)k−2=−(2)k×(3)k(2)k−1×(3)k−2=−32.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·江苏·高一单元测试）方程xlgx−2=1000的解为（ ）
A．10B．110C．1000D．11000
【解题思路】对xlgx−2=1000两边取以10为底的对数，根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案.
【解答过程】对xlgx−2=1000两边取以10为底的对数，得lgxlgx−2=lg1000=3，即(lgx−2)lgx=3，
解得lgx=−1或lgx=3，所以x=110或x=1000．
故选：BC．
10．（4分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A．lg38lg35=lg85B．3a2⋅a3=a136
C．若a+a−1=14，则a12+a−12=3D．12−lg27+lnlne=7
【解题思路】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【解答过程】解：对于选项A，由换底公式可得lg38lg35=lg58，故A不正确；
对于选项B，3a2⋅a3=a23⋅a32=a23+32=a136，故B正确；
对于选项C，设a12+a−12=t t>0，两边分别平方可得a+a−1+2=t2，因为a+a−1=14，所以t2=16，故a12+a−12=4，故C不正确；
对于选项D，12−lg27+lnlne=2lg27+ln1=7+0=7，故D正确．
故选：BD．
11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且4a=6b=9c，则下列结论正确的是（ ）
A．ab+bc=2acB．ab+bc=acC．4b⋅9b=4a⋅9cD．1c=2b−1a
【解题思路】设4a=6b=9c=t，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【解答过程】解：设4a=6b=9c=t>1，则a=lg4t，b=lg6t，c=lg9t，
所以bc+ba=lg6tlg9t+lg6tlg4t=lgtlg6lgtlg9+lgtlg6lgtlg4
=lg9lg6+lg4lg6=lg9+lg4lg6=lg9×4lg6=lg62lg6=2，
即bc+ba=2，所以1c+1a=2b，所以1c=2b−1a，故D正确；
由bc+ba=2，所以ab+bc=2ac，故A正确，B错误；
因为4a⋅9c=4a⋅4a=4a2，4b⋅9b=4×9b=62b=6b2，
又4a=6b=9c，所以4a2=6b2，即4b⋅9b=4a⋅9c，故C正确；
故选：ACD.
12．（4分）（2022·全国·高一课时练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n(n=1,2,⋅⋅⋅,9)，地震释放的能量为f(n)，则f(n+1)f(n)=101.5
【解题思路】根据已知条件及对数运算性质即可求解.
【解答过程】对于A，当E=1015.3时，由题意得lg1015.3=4.8+1.5M，解得M=7，即地震里氏震级为七级．故A正确；
对于B, 八级地震即M=8时，由lgE1=4.8+1.5×8=16.8，解得E1=1016.8，所以E11015.3=≠6.3．故B不正确；
对于C，六级地震即M=6时，由lgE2=4.8+1.5×6=13.8，解得E2=1013.8，所以E1E2=，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍．故C正确；
对于D，由题意得f(n)=104.8+1.5n，则f(n+1)f(n)=106.3+1.5n104.8+1.5n=101.5．故D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）计算：(827)−23+eln3+lg142−lg34⋅lg23= 3 .
【解题思路】利用指数幂及对数的运算性质化简求值即可.
【解答过程】原式=(23)3×(−23)+3−12lg2(212)−2lg32⋅lg23=94+3−14−2=3.
故答案为：3.
14．（4分）（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）光线通过某种玻璃，强度损失10%.要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过 16 块这样的玻璃.（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771.）
【解题思路】设至少要通过n块这样的玻璃，则根据题意可得(1−10%)n≤15，然后两边取对数化简可求得结果.
【解答过程】设至少要通过n块这样的玻璃，则(1−10%)n≤15，
即n≥lg0.915=lg15lg0.9=lg2−12lg3−1≈15.3，
故要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过16块这样的玻璃.
故答案为：16.
15．（4分）（2021·上海市行知中学高三开学考试）已知实数x,y满足：32x=2y=27，则1x+1y= 13 ．
【解题思路】由已知指数式化为对数式求出x,y的值，再由对数的运算性质求出1x+1y.
【解答过程】因为32x=2y=27，所以x=lg3227,y=lg227，
则1x+1y=1lg3227+1lg227=lg2732+lg272=lg273=13．
故答案为：13.
16．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知a=lg2+lg5−4lg2lg5⋅lg27+lg64−，b=lg37⋅lg4919，则lga2020−b2021+1的值为 2022 ．
【解题思路】化简计算得a,b，即得解.
【解答过程】解：a=1−4lg21−lg2⋅3lg3+6lg2−3310lg1210lg52 =1−4lg2+4lg22⋅10lg3+2lg2−1lg3+2lg2−1lg104 =101−2lg221−2lg2 =101−2lg21−2lg2=10.
b=lg37⋅lg4919=lg7lg3⋅lg19lg49=lg7lg3⋅−2lg32lg7=−1.
所以lga2020−b2021+1=lg102020−−12021+1=2020−−1+1=2022
故答案为：2022.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021·上海松江·高一期末）解方程:lg3(x+14)+lg3(x+2)=lg38(x+6);
【解题思路】利用对数的运算法则得到lg3[(x+14)(x+2)]=lg38(x+6)，由此利用对数的性质列出不等式组，能求出方程的解．
【解答过程】解：∵lg3(x+14)+lg3(x+2)=lg38(x+6)，
∴lg3[(x+14)(x+2)]=lg38(x+6)，
∴ x+14>0x+2>0x+6>0(x+14)(x+2)=8(x+6)，
解得x=2．
18．（6分）（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)lg14−2lg73+lg7−lg18；
(2)lg52+3lg2+2lg5+lg2×lg5；
(3)lg622+lg632+3lg62×lg6318−13lg62．
【解题思路】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；
（2）提公因式，逐步化简即可求解；
（3）逐步将原式化成只含lg62和lg63形式.
【解答过程】解：（1）
方法一：（直接运算）原式=lg14−lg732+lg7−lg18=lg14×7732×18=lg1=0．
方法二：（拆项后运算）原式=lg2×7−2lg7−lg3+lg7−lg32×2
=lg2+lg7−2lg7+2lg3+lg7−2lg3−lg2=0．
（2）
原式=lg5×lg5+lg2+2lg2+lg5+lg2
=lg5×lg10+2lg10+lg2=2+lg5+lg2=3．
（3）
原式=lg622+lg632+3lg62×lg631832
=lg622+lg632+3lg62×lg639
=lg622+lg632+2lg62×lg63
=lg62+lg632=1．
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知lga3=m，lga2=n（a>0，且a≠1）．
(1)求am+2n的值；
(2)若0