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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数精练
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1.根式
(1)n次方根的定义与性质
(2)根式的定义与性质
2.分数指数幂
注:分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂是根式的一种新的写法,不可理解为个a相乘.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.
3.有理数指数幂的运算
(1)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质:
①(a>0,r,s∈Q);
②(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指数幂的几个常用结论:
①当a>0时,>0;
②当a≠0时,=1,而当a=0时,无意义;
③若(a>0,且a≠1),则r=s;
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
4.无理数指数幂及实数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地,无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂(a>0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,区别只有指数的取值范围不同.
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【方法点拨】
根据根式与分数指数幂的互化运算法则,进行计算即可.
【例1】(2022•扬中市校级开学)下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( )
A.−x=(−x)−12(x≠0)
B.x−13=3x
C.(xy)−34=4(yx)3(xy≠0)
D.4y2=1y2(y<0)
【变式1-1】(2022•茂名模拟)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.−x=(−x)12B.x−34=4(1x)3(x>0)
C.6y2=y13D.[3(−x)2]34=x12(x<0)
【变式1-2】(2021秋•电白区期中)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是( )
A.−x=(−x)12(x>0)B.6y2=y13(y<0)
C.x−34=4(1x)3(x>0)D.x−13=−3x(x≠0)
【变式1-3】(2021秋•水磨沟区校级月考)下列根式与分数指数幂的互化,正确的是( )
A.−x=(−x)12(x≥0)B.6x2=x13(x≤0)
C.x−34=4(1x)3(x>0)D.x−13=−3x(x≠0)
【题型2 指数式的化简】
【方法点拨】
利用指数幂的运算性质,进行化简计算即可.
【例2】(2021秋•惠阳区校级月考)(112)0﹣(1﹣0.5﹣2)÷3(278)2的值为( )
A.−13B.13C.43D.73
【变式2-1】(2021秋•杭州期中)20+15−2−(5+2)0=( )
A.25B.35−1C.35+1D.35+2
【变式2-2】(2021秋•龙湖区校级期末)设a>0,b>0,化简(a23b13)⋅(−a12b12)÷(13a16b56)的结果是( )
A.−13a23B.−3a23C.−13aD.﹣3a
【变式2-3】(2021秋•秦淮区校级月考)计算12−1−(−9.6)0+4(2−e)4−(827)23+(32)−2的值为( )
A.1eB.eC.e2D.2
【题型3 根据指数式求参】
【方法点拨】
根据所给的指数关系式,利用指数幂的运算性质,化简求解参数的值.
【例3】(2021秋•海陵区校级月考)已知x7=5,则x的值为( )
A.5B.75C.−75D.±75
【变式3-1】(2021•广东学业考试)已知x−23=4,则x等于( )
A.±18B.±8C.344D.±232
【变式3-2】(2022秋•诸暨市校级月考)若4a2−4a+1=3(1−2a)3,则实数a的取值范围是( )
A.a≥12B.a≤12C.−12≤a≤12D.R
【变式3-3】(2021秋•聊城期中)若69a2−6a+1=31−3a,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,3)B.(﹣∞,13]C.[13,+∞)D.(13,+∞)
【题型4 指数式的给条件求值问题】
【方法点拨】
利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题,一般有三种思路:
(1)将条件中的式子用待求式表示出来,进而代入化简得出结论.
(2)当直接代入不易求解时,可以从总体上把握已知,式和所求式的特点,从而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简,再用整体代入法来求值.
(3)适当应用换元法,能使公式的使用更清晰,过程更简洁.
【例4】(2021秋•昌吉州期末)已知a+1a=4,则a12−a−12等于( )
A.2B.2C.−2D.±2
【变式4-1】(2022•长沙县校级开学)若0<a<1,b>0,且ab﹣a﹣b=﹣2,则ab+a﹣b的值为( )
A.22B.±22C.−22D.6
【变式4-2】(2021秋•泉山区校级月考)已知10m=2,10n=3,则103m−2n2=( )
A.49B.89C.23D.223
【变式4-3】(2021秋•瓯海区校级月考)已知实数a,b满足(a+a2+1)(b+b2+1)=1,则a+b=( )
A.﹣1B.1C.±1D.0
【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】
【方法点拨】
指数方程常见的类型有:(1) f(x)=g(x);(2)=0.
其中类型(1)利用同底法解,类型(2)利用换元法解.
【例5】(2021秋•兴庆区校级期末)方程3x−1=19的解是( )
A.﹣2B.﹣1C.2D.1
【变式5-1】(2021•阎良区校级自主招生)方程5x﹣1•103x=8x的解集是( )
A.{1,4}B.{14}C.{1,14}D.{4,14}
【变式5-2】(2022春•汪清县校级月考)方程4x﹣1=116的解为( )
A.2B.﹣2C.﹣1D.1
【变式5-3】(2021秋•青浦区期末)方程4x﹣10•2x+16=0的解集是 .
【题型6 指数幂等式的证明】
【方法点拨】
指数幂等式的证明中,设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现,是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.
【例6】已知a>0且a≠1,(2a)m=a,(3a)m=2a,求证:(32)mn=2n.
【变式6-1】已知6|m|3k2+2−m22+3k2=62,求证:3k2+2=2m2.
【变式6-2】已知:a>0,b>0,且ab=ba,求证:(ab)ab=aa−bb.
【变式6-3】已知ax3=by3=cz3,且1x+1y+1z=1,求证:(ax2+by2+cz2)13=a13+b13+c13.
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