人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时练习

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•翠屏区校级月考）下列的对应关系f是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0|}，f：x→1|x|B．A＝N，B＝N*，f：x→|x﹣1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→x
【解题思路】根据函数的概念和对应关系进行判断即可．
【解答过程】解：对于A，当x＝0时，10无意义，∴不是函数关系，
对于B，当x＝1时，|x﹣1|＝0∉N*，∴不是函数关系，
对于C，当x＞0时，x2∈R，∴是函数关系，
对于D，当x＝﹣1时，x无意义，∴不是函数关系，
故选：C．
2．（3分）（2021秋•南开区期末）在下列函数中，函数y＝|x|表示同一函数的（ ）
A．y=(x)2B．y=3x3
C．y=x，x≥0，−x，x＜0D．y=x2|x|
【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答过程】解：对于A，函数y=(x)2=x，x≥0，与函数y＝|x|=x，x≥0−x，x＜0的定义域不同，不是同一函数；
对于B，函数y=3x3=x，x∈R，与函数y＝|x|=x，x≥0−x，x＜0的对应关系不同，不是同一函数；
对于C，函数y=x，x≥0−x，x＜0，与函数y＝|x|=x，x≥0−x，x＜0的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，函数y=x2|x|=x，x＞0−x，x＜0，与函数y＝|x|=x，x≥0−x，x＜0的定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
3．（3分）（2021秋•河南期末）下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数的定义域及值域的对应关系判断选项即可．
【解答过程】解：选项A中的值域不满足条件；选项B中的定义域不满足条件；选项D不是函数图象．
故选：C．
4．（3分）（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)3x−1的定义域为（ ）
A．(13，4)B．(13，2)C．(13，6)D．(13，1)
【解题思路】由已知求得f（x）的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g（x）的定义域．
【解答过程】解：∵函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，
∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定义域为（﹣1，6）．
又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函数g（x）的定义域为(13，6)．
故选：C．
5．（3分）（2022•潮南区模拟）已知函数f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，x＞0，则f（f（5））＝（ ）
A．0B．﹣2C．﹣1D．1
【解题思路】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x＞0}，而f（5）＝﹣2∈{x|x≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果
【解答过程】解：因为5＞0，代入函数解析式f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，x＞0得f（5）＝3﹣5＝﹣2，
所以f（f（5））＝f（﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，x＞0得f（﹣2）＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1
故选：C．
6．（3分）（2021秋•翠屏区校级月考）设f（x）=(x+1)2(x＜1)4−x−1(x≥1)则使得f（m）＝1成立的m值是（ ）
A．10B．0，10C．0，﹣2，10D．1，﹣1，11
【解题思路】因为是分段函数，所以分：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1和当m≥1时，f（m）＝4−m−1=1两种情况取并集．
【解答过程】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1
∴m＝﹣2或m＝0
当m≥1时，f（m）＝4−m−1=1
∴m＝10
综上：m的取值为：﹣2，0，10
故选：C．
7．（3分）（2022春•阎良区期末）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当a≥b时，a*b＝a；当a＜b时，a*b＝b2．设函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，则函数f（x）的值域为（ ）
A．[﹣6，﹣2]B．[﹣2，2）C．（﹣2，2]D．[﹣2，2]
【解题思路】首先理解新定义，将f（x）转化为我们熟悉的函数，再求其值域即可．
【解答过程】解：定义新运算“*”为：当a≥b时，a*b＝a；当a＜b时，a*b＝b2．
设函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，
当﹣2＜x≤2时，函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x）＝x2﹣2∈[﹣2，2]，
则函数f（x）的值域为[﹣2，2]，
故选：D．
8．（3分）（2021•云南模拟）一次函数g（x）满足g[g（x）]＝9x+8，则g（x）是（ ）
A．g（x）＝9x+8
B．g（x）＝3x+8
C．g（x）＝﹣3x﹣4
D．g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4
【解题思路】设一次函数g（x）＝kx+b，利用满足g[g（x）]＝9x+8，得到解决关于k，b的方程组，解方程组即可．
【解答过程】解：∵一次函数g（x），
∴设g（x）＝kx+b，
∴g[g（x）]＝k（kx+b）+b，
又∵g[g（x）]＝9x+8，
∴k2=9kb+b=8，
解之得：k=3b=2或k=−3b=−4，
∴g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A．f(x)=x−1，g(x)=(x−1)2
B．f(x)=x−1，g(x)=(x−1)2
C．f(x)=x2−4x−2，g(x)=x+2
D．f(x)=|x|，g(x)=x2
【解题思路】结合函数的三要素别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：A：g（x）|与f（x）的定义域不同，不符合题意；
B：g（x）与f（x）的对应关系 不同，不符合题意；
C：（x）与g（x）的定义域不同，不符合题意；
D：f（x）与g（x）的定义域都为R，对应关系也相同，故是同一函数．
故选：ABC．
10．（4分）（2021秋•荔城区校级期中）已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，则x可取（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】由已知表格，分别判断x＝1，2，3，4，5时是否满足方程即可．
【解答过程】解：结合表格可知，当x＝1时，f（1）＝2，则f（f（1））＝f（2）＝3≠1﹣1＝0，
当x＝2时，f（2）＝3，f（f（2）＝f（3）＝4≠2﹣1；
当x＝3时，f（3）＝4，f（f（3））＝f（4）＝2＝3﹣1，此时满足题意；
当x＝4时，f（4）＝2，f（f（4））＝f（2）＝3＝4﹣1，此时满足题意；
当x＝5时，f（5）＝3，f（f（5））＝f（3）＝4＝5﹣1，此时满足题意．
故选：BCD．
11．（4分）（2021秋•铜鼓县校级月考）下列四个函数：①y＝3﹣x；②y=1x2+1；③y＝x2+2x﹣10；④y=−x(x≤0)−1x(x＞0)．其中值域为R的函数有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】根据一次函数性质可判断①；根据不等式基本性质可判断②④；根据二次函数性质可判断③．
【解答过程】解：①y＝3﹣x，其为一次函数，值域为R，所以A对；
②y=1x2+1，因为x2+1≥1，所以0＜1x2+1≤1，值域为（0，1]不为R，所以B错；
③y＝x2+2x﹣10，其图像为开口向上的抛物线，y最小值为4×1×(−10)−224×1=−11，
值域为[﹣11，+∞）不为R，所以C错；
④y=−x(x≤0)−1x(x＞0)，当x≤0时，y≥0，当x＞0时y＜0，所以其值域为R，所以D对．
故选：AD．
12．（4分）（2021秋•淄博月考）函数D(x)=1，x∈Q0，x∉Q被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数D（x）的值域为[0，1]
B．若D（x0）＝1，则D（x0+1）＝1
C．若D（x1）﹣D（x2）＝0，则x1﹣x2∈Q
D．∃x∈R，D（x+2）＝1
【解题思路】根据狄利克雷函数的表达式讨论x是有理数和无理数时是否成立即可．
【解答过程】解：函数的值域为{0，1}，故A错误，
若D（x0）＝1，则x0∈Q，则1+x0∈Q，即D（x0+1）＝1成立，故B正确，
若D（x1）﹣D（x2）＝0，即D（x1）＝D（x2），
当D（x1）＝D（x2）＝1时，x1∈Q，x2∈Q，则x1﹣x2∈Q，
当D（x1）＝D（x2）＝0时，x1∉Q，x2∉Q，则x1﹣x2∈Q不一定成立，故C错误，
当x＝1−2时，满足x∈R，此时x+2=1，则D（x+2）＝1成立，故D正确，
故选：BD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022•成都开学）函数f（x）=x−1+1x−3的定义域为 [1，3）∪（3，+∞） ．
【解题思路】根据定义域的求法，求解即可．
【解答过程】解：根据题意可知，x−1≥0x−3≠0，解得x∈[1，3）∪（3，+∞）．
故函数f（x）=x−1+1x−3的定义域为[1，3）∪（3，+∞）．
故答案为：[1，3）∪（3，+∞）．
14．（4分）（2021秋•巫山县校级月考）下列函数y＝（x）2；y=x2x；y=3x3；y=x2与函数y＝x是同一函数的是 y=3x3 ．
【解题思路】根据函数三要素分析即可．
【解答过程】解：y＝（x）2中x≥0，而y＝x中x为任意实数，故y＝（x）2与y＝x不是同一函数；
y=x2x中x≠0，而y＝x中x为任意实数，故y=x2x与y＝x不是同一函数；
y=3x3=x中x为任意实数，∴y=3x3与y＝x是同一函数；
y=x2值域为（0，+∞），而y＝x值域为R，∴y=x2与y＝x不是同一函数．
故答案为：y=3x3．
15．（4分）（2022•桂林开学）已知f(x)=x2−1，x≥0x+2，x＜0，求f（f（﹣1））＝ 0 ．
【解题思路】直接把变量代入对应的解析式即可求解．
【解答过程】解：∵f(x)=x2−1，x≥0x+2，x＜0，
∴f（﹣1）＝﹣1+2＝1，
∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12﹣1＝0，
故答案为：0．
16．（4分）（2022春•南平期末）若函数f(x)=(a−1)x+1，x≤1，x2−2ax+6，x＞1的值域为R，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ．
【解题思路】由题意，分类讨论a的范围，利用一次函数、二次函数的性质，可得结论．
【解答过程】解：∵函数f(x)=(a−1)x+1，x≤1，x2−2ax+6，x＞1的值域为R，
当a＝1时，f（x）=1，x≤1x2−2x+6，x＞1，不满足值域为R．
当a＞1时，应有a﹣1+1≥a2﹣2a•a+6，解得a≥2．
当a＜1时，由于（a﹣1）x+1（x≤1）和x2﹣2ax+6（x＞1）都有最小值，
故函数的值域不可能为R，故不满足题意．
综上，a≥2，
故答案为：[2，+∞）．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春•濮阳期末）某种笔记本的单价是5元，买x本（x∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．
【解题思路】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．
【解答过程】解：（1）列表法：
（2）图象法
（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
18．（6分）（2021秋•龙门县校级月考）求下列函数的定义域．
（1）y=x−2⋅3−x；
（2）y=4−x22x2−3x−2．
【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答过程】解：（1）由题意可知x−2≥03−x≥0，解得x≥2x≤3，
∴2≤x≤3，
即函数的定义域为[2，3]．
（2）由题意可知4−x2≥02x2−3x−2≠0，解得﹣2≤x≤2且x≠2且x≠−12，
∴x∈[−2，−12)∪(−12，2)，
即函数的定义域为[﹣2，−12）∪（−12，2）．
19．（8分）（2021秋•泰安期中）判断下列各组函数是否为相等函数：
（1）f（x）＝f（x）=(x+3)(x−5)x+3，g（x）＝x﹣5；
（2）f（x）＝2x+1（x∈Z），g（x）＝2x+1（x∈R）；
（3）f（x）＝|x+1|，g（x）=x+1，x≥−1−x−1，x＜−1．
【解题思路】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论．
【解答过程】解：（1）（2）不是，（3）是．
对于（1），f （x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为R；
对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，
所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；
对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．
20．（8分）（2021秋•上高县校级月考）已知函数f（x）＝2x﹣1，g（x）=x2(x≥0)−1(x＜0)求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．
【解题思路】充分利用分段函数的特点：在不同的自变量范围下对应的函数表达式不同．不管是f（x）还是g（x）为内涵数都要针对于x≥0 或x＜0分情况讨论，只有这样才能在不同的范围上有确定的表达式代入进行运算．
【解答过程】解：当x≥0时，g（x）＝x2，f[g（x）]＝2x2﹣1，
当x＜0时，g（x）＝﹣1，f[g（x）]＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴f[g（x）]=2x2−1(x≥0)−3(x＜0).
∵当2x﹣1≥0，即x≥12时，g[f（x）]＝（2x﹣1）2，
当2x﹣1＜0，即x＜12时，g[f（x）]＝﹣1，
∴g[f（x）]=(2x−1)2(x≥12)−1(x＜12).
21．（8分）（2021秋•汉滨区校级月考）已知函数f(x)=2x，x＜0，−x，0≤x≤2，12x−3，x≥2．．
（1）求f（0），f（f（2））；
（2）若f（m）＝﹣1，求m的值；
（3）在给定的坐标系中，作出函数f（x）的图象．
【解题思路】（1）根据分段函数f（x）的解析式求解即可；
（2）对m的取值分三种情况讨论，分别求出对应的m的值即可；
（3）根据分段函数f（x）的解析式，分别画出每一段的图象即可．
【解答过程】解：（1）∵函数f(x)=2x，x＜0，−x，0≤x≤2，12x−3，x≥2．，
∴f（0）＝0，f（2）=12×2﹣3＝﹣2，则f（f（2））＝f（﹣2）=2−2=−1；
（2）当m＜0时，f（m）=2m=−1，解得m＝﹣2；
当0≤m≤2时，f（m）＝﹣m＝﹣1，解得m＝1；
当m≥2时，f（m）=12m﹣3＝﹣1，解得m＝4，
综上所述，m的值为﹣2或1或4；
（3）函数f（x）的图象，如图所示：
22．（8分）（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝a|x﹣2|，F（x）＝f（x）+g（x）．
（1）a＝2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域；
（2）a＞2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域．
【解题思路】（1）求出F（x）的解析式，再结合图象可求出值域．
（2）求出F（x）的解析式，分0≤x≤2和2＜x≤3讨论．
【解答过程】解：（1）当a＝2时，
F（x）＝x2﹣2x+2|x﹣2|=x2−4x+4，(0≤x≤2)x2−4，(2＜x≤3)，
当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，则值域为[0，4]；
当2＜x≤3时，F（x）＝x2﹣4，则值域为（0，5]；
∴F（x）的值域为[0，5]．
（2）当a＞2时，F（x）=x2−(a+2)x+2a，(0≤x≤2)x2+(a−2)x−2a，(2＜x≤3)，
当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣（a+2）x+2a，对称轴为x=a+22≥2，所以值域为[0，2a]；
当2＜x≤3时，F（x）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，对称轴为x=2−a2＜0，所以值域为[0，a+3]；
∴当2＜a＜3时，F（x）的值域为[0，a+3]；当a≥3时，F（x）的值域为[0，2a]．
x
1
2
3
4
5
f（x）
2
3
4
2
3
x
1
2
3
4
5
y
5
10
15
20
25