初中数学浙教版八年级上册2.2 等腰三角形优秀精练

这是一份初中数学浙教版八年级上册2.2 等腰三角形优秀精练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.等腰三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则其周长为( )
A. 13 cmB. 17 cmC. 13 cm或17 cmD. 11 cm或17 cm
2.如图，A、B在格点位置上，若要在所给网格中再找一个格点，使它与点A、B连成的三角形是轴对称图形，图中满足这样条件的格点共有( )．
A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个
3.已知实数x、y满足|x−4|+ y−8=0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是( )
A. 20或16B. 16C. 20D. 18
4.等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为( )
A. 13cmB. 17cmC. 13cm或17cmD. 11cm或17cm
5.如果一个三角形的三边a、b、c满足ab+bc=b²+ac，那么这个三角形一定是( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 直角三角形
6.点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P共有( )个。
A. 5B. 4C. 3D. 2
7.若等腰三角形的一个底角为40∘，则它的顶角是( )
A. 40∘B. 100∘C. 80∘D. 70∘
8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为( )
A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个
9.已知一等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是( )
A. 16B. 20C. 16或20D. 22
10.在如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点．若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有( )
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，AD=CD=BC，则：
(1)图中共有 个等腰三角形，其中，等腰三角形ACD的底边是 ，腰是 ；
(2) △BCD的三边分别是 ，三个内角分别是 ．
12.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+ac=ab+bc，则△ABC是______三角形．
13.已知一个三角形的三边长分别为n+6，3n，n+2(n为正整数)，若这个三角形是等腰三角形，则它的三边长分别为________．
14.已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足(b−2)2+|c−3|=0，且x=a为方程|x−4|=2的解，则△ABC的形状为 三角形．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
(教材例1变式)已知一个等腰三角形的周长是12 cm，其中一边长是2 cm，求另外两边的长．
16.(本小题8分)
在△ABC中，AB=8，BC=2a+2，AC=22．
(1)求a的取值范围；
(2)若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长．
17.(本小题8分)
已知W=(1a−1+1a+1)÷2aa2−2a+1．
(1)化简W；
(2)若a，3，6恰好是等腰△ABC的三边长，求W的值．
18.(本小题8分)
已知a，b，c为△ABC三边的长，其中b，c满足(b−2)2+|c−3|=0，且a为方程|a−4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
19.(本小题8分)
先阅读下面的内容，再解决下列问题：
例题：若m2+2mm+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，∴(m2+2mn+n2)+(n2−6n+9)=0．
∴(m+n)2+(n−3)2=0.∴m+n=0，n−3=0.∴m=−3，n=3．
(1)若x2+2y2−2xy+6y+9=0，求x2的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2−6a−4b+13+|3−c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒3cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)BP= ______cm(用t的代数式表示)；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是等边三角形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形三边关系，题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析．
【解答】
当7为腰时，周长=7+7+3=17；
当3为腰时，因为3+3<7，所以不能构成三角形；
故三角形的周长是17．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，首先找出以AB为底边时点的个数，再找出以AB为腰时点的个数．在AB的垂直平分线上有6个；以A为顶角的顶点时，有2个；以B为顶角的顶点时，有2个，共10个．
【解答】
解：如图所示：
，
图中能与点A、B连成的三角形是轴对称图形的共10个．
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．
根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
【解答】
解：由题意可知：x−4=0，y−8=0，
∴x=4，y=8，
当腰长为4，底边长为8时，
∵4+4=8，
∴不能围成三角形，
当腰长为8，底边长为4时，
∵4+8>8，
∴能围成三角形，
∴周长为：8+8+4=20，
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形三边关系，题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析．
【解答】
当7为腰时，周长=7+7+3=17；
当3为腰时，因为3+3<7，所以不能构成三角形；
故三角形的周长是17．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．把原式变形因式分解得出(b−c)(a−b)=0，得出b−c=0或a−b=0，即可得出结论．
【解答】
解：∵ab+bc=b²+ac，
∴ab+bc−b2−ac=0，
(ab−ac)−(b2−bc)=0，
a(b−c)−b(b−c)=0，
∴(b−c)(a−b)=0，
∴b−c=0或a−b=0，
∴这个三角形一定是等腰三角形；
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的定义，分类讨论思想．
分以A，O，P为等腰三角形的顶角顶点三种情况分类讨论解答即可．
【解答】
解：如图
①以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P1，P2，
此时OA=OP1=OP2，
三角形OAP1，三角形OAP2是等腰三角形，
②以A为圆心，OA为半径画弧交x轴于O，P3，
此时AP3=AO，
三角形AOP3是等腰三角形，
③作OA的中垂线交x轴于点P4，
此时P4O=P4A，
三角形AOP4是等腰三角形，
在x轴上共有4个点，使△APO是等腰三角形，
故这样的点P共有4个．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和公式以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.根据三角形的内角和是180°，用180°减去2个底角的度数，可以求出顶角的度数．
【解答】
解：∵一个等腰三角形的一个底角是40°，
∴另一个底角也是40°，
∴顶角为：180°−40°×2 =180°−80° =100°
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了等腰三角形的概念，解答本题的关键是根据题意画出符合条件的图形，再利用数形结合的思想来求解．
根据题意作出图形可得出答案．
【解答】
解：如图，符合条件的点C的格点数为8个，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的概念，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．
分两种情况讨论，由等腰三角形的概念和三角形三边关系可求解．
【解答】
解：①若4为腰，则三角形三边为：4，4，8，
∵4+4=8，
∴4，4，8不能构成三角形，
故舍去；
②若8为腰，则三角形三边为：4，8，8，
∵4+8>8
∴4，8，8能构成三角形，
∴三角形的周长为：4+8+8=20．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的概念，格点作图；解答本题关键是根据题意，画出符合条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C；当AB是腰长时，根据网格结构特征，找出AB=BC和AB=AC的格点，连接即可得到等腰三角形；然后把满足条件的格点数相加即可得解．
【解答】
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个：C1、C2、C3、C4；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个：C5、C6、C7、C8．
故选C．
11.【答案】【小题1】
2
AC
AD和CD
【小题2】
BC，CD，BD
∠B，∠BCD，∠BDC

【解析】1. 略
2. 略
12.【答案】等腰
【解析】【分析】
本题考察因式分解的方法−分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可作出判断．
【解答】
解：∵a2+ac=ab+bc，
∴a2+ac−ab−bc=0，
∴(a2−ab)+(ac−bc)=0，
∴a(a−b)+c(a−b)=0，
∴(a−b)(a+c)=0，
∴a−b=0，a+c≠0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形，
13.【答案】5，9，9
【解析】解：①如果n+2=3n，
解得n=1，
三角形三边的长为3，3，7，3+3<7，不符合三角形三边关系；
②如果n+6=3n，
解得n=3，
三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．
综上所述，它的三边的长为5，9，9．
由于n+2≠n+6，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①n+2=3n；②n+6=3n.求出n的值后，根据三角形三边关系即可求解．
本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，关键是熟练掌握三角形三边关系．
14.【答案】等腰
【解析】略
15.【答案】解：若该等腰三角形的腰长为2 cm，则另外两边的长分别为2 cm，8 cm，根据三角形三边关系知以2 cm，2 cm，8 cm为边长不能构成三角形；
若等腰三角形的底边长为2 cm，则腰长为 12×(12−2)=5(cm) ，根据三角形三边关系知以2 cm，5 cm，5 cm为边长能构成三角形．
综上可知，该等腰三角形的另外两边的长都是5 cm．
【解析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；对于没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论；此外，还应检验各种情况是否可以构成三角形，并给出最终结果。
16.【答案】【小题1】解：由题意，得22−8<2a+2<22+8， 解得6【小题2】解：①若AB=BC，则三边长分别为8，8，22，由于8+8<22，因此以8，8，22为边长不能构成三角形；
②若AC=BC，则三边长分别为8，22，22，根据三角形三边关系知能构成三角形，此时三角形的周长为8+22+22=52.
综上所述，这个三角形的周长为52．

【解析】1. 本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系可得22−8<2a+2<22+8即可解答．
2. 本题考查了三角形三边关系及等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义分AB=BC、AC=BC，两种情况，结合三角形的三边关系讨论即可．
17.【答案】【小题1】
解：W=[(a+1)+(a−1)(a+1)(a−1)]⋅(a−1)22a=2a(a+1)(a−1)⋅(a−1)22a=a−1a+1；
【小题2】
∵a，3，6恰好是等腰△ABC的三边长，∴a=6．
∴W=a−1a+1=6−16+1=57．

【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】解：∵(b−2)2+|c−3|=0，∴b−2=0，c−3=0， 解得b=2，c=3.∵a为方程|a−4|=2的解，∴a−4=±2，解得a=6或2.∵a，b，c为△ABC三边的长， b+c=5<6，∴a=6不合题意，舍去，∴a=2，∴△ABC的周长为2+2+3=7， △ABC是等腰三角形．
【解析】略
19.【答案】【小题1】
解：∵x2+2y2−2xy+6y+9=0，
∴x2−2xy+y2+y2+6y+9=0.∴(x−y)2+(y+3)2=0．
则x−y=0，y+3=0．
解得x=−3，y=−3.则x2=9；
【小题2】
∵a2+b2−6a−4b+13+|3−c|=0，
∴a2−6a+9+b2−4b+4+|3−c|=0．
∴(a−3)2+(b−2)2+|3−c|=0．
∴a−3=0，b−2=0，3−c=0．
解得a=3，b=2，c=3.∴a=c．
∴△ABC是等腰三角形．

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】解：(1)(10 3−2t)；
(2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
∵BQ=3t，BP=10 3−2t，
∴10 3−2t=3t，
解得t=2 3，
此时点Q在AC上，
当点Q在边BC上运动时，△PQB是等腰三角形时无解；
(3)当点Q在CA上运动时，CQ=3t−10，
∵△BCQ是等边三角形，
∴BC=CQ，
即10=3t−10，
解得t=203，
∴若△BCQ是等边三角形，t的值为203．
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
(1)根据含30°角的直角三角形性质和勾股定理分别求出BC，AB的长，根据题意即可用t可分别表示出BP；
(2)结合(1)，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求出答案；
(3)用t表示出CQ，利用等边三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】
解：(1)由题意可知AP=2t，BQ=3t，
∵∠B=90°，∠A=30°，AC=20cm，
∴BC=12AC=10cm，AB=10 3(cm)，
∴BP=AB−AP=(10 3−2t)cm，
故答案为：(10 3−2t)；
(2)见答案；
(3)见答案．