数学必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课时练习

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1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，ac，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型1 不等关系的建立】
【方法点拨】
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【例1】（2021秋•石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a+b+c≤MB．a+b+c＞MC．a+b+c≥MD．a+b+c＜M
【变式1-1】（2021秋•龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：
①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；
②人跑开的速度为每秒4米；
③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．
为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（ ）
A．4×x0.6＜50B．4×x0.6≥50C．4×x0.6≤50D．4×x0.6＞50
【变式1-2】（2021秋•龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A．4×x0.5≥100B．4×x0.5≤100C．4×x0.5＞100D．4×x0.5＜100
【变式1-3】（2021秋•龙江县校级月考）下列结论不正确的是（ ）
①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；
②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；
③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；
④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．
A．①B．②C．③D．④
【题型2 利用不等式的性质判断正误】
【方法点拨】
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【例2】（2022春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（ ）
A．若a＞b，则1a＜1bB．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dD．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【变式2-1】（2022•孝义市开学）已知1a＜1b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜bB．a+b＜abC．|a|＞|b|D．ab＞b2
【变式2-2】（2022春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2
B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2
C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b
D．a≠0，b≠0，若a＞b，则1a＜1b
【变式2-3】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．1a＜1bB．ab＜b2C．ab＞a2D．−1a＜−1b
【题型3 利用作差法比较大小】
【方法点拨】
(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．
【例3】（2022春•九江期末）已知a=2，b=7−3，c=6−2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【变式3-1】（2022春•安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（ ）
A．x＞yB．x＜yC．x＝yD．无法确定
【变式3-2】（2021秋•靖远县期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（ ）
A．P＞QB．P＝Q
C．P＜QD．P，Q的大小关系不确定
【变式3-3】（2021秋•滦南县校级月考）设m＞1，P＝m+4m−1，Q＝5，则P，Q的大小关系为（ ）
A．P＜QB．P＝QC．P≥QD．P≤Q
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2022春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
A．甲先到教室B．乙先到教室
C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定
【变式4-1】（2021秋•金华期末）某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（ ）
A．甲先到达终点B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点
【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【变式4-3】（2021秋•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
【题型5 利用不等式的性质证明不等式】
【方法点拨】
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【例5】（2021春•迎泽区校级月考）证明：ab+ba≥a+b．
【变式5-1】（2022春•库尔勒市校级期末）已知a＞1，求证：a+1+a−1＜2a．
【变式5-2】（2021秋•故城县校级月考）求证：
（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac
（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
【变式5-3】用比较法证明以下各题：
（1）已知a＞0，b＞0．求证：1a+1b≥2ab．
（2）已知a＞0，b＞0．求证：ba+ab≥a+b．
【题型6 利用不等式的性质求取值范围】
【方法点拨】
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【例6】（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．
【变式6-1】（2022春•鸡冠区校级期末）已知−π2＜α＜β＜π2，求α﹣2β的取值范围．
【变式6-2】（2022春•宁江区校级期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及ab的取值范围．
【变式6-3】（2021秋•普宁市校级月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．
（1）|a|；
（2）a+b；
（3）a﹣b；
（4）2a﹣3b．