高中数学人教A版（2019）必修一培优练习综合测试卷：必修一全册（基础篇）（Word版附解析）

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全册综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·四川省高一期中）已知集合A={x|−20Δ=4m2−4(2m+3)≤0解得−1≤m≤3，综上，m的取值范围是−1,3，故选：B.3．（5分）（2022·福建莆田·高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R ，则下列命题正确的是（   ）A．若a>b，则1a<1bB．若a>b，则ac2>bc2C．若a>b，则a2>b2D．若a>b>c>0，则ba−b>ca−c【解题思路】举反例，取a=1,b=−1，可判断A,C ,取c=0可判断B；根据不等式性质可判断D.【解答过程】取a=1,b=−1 ，满足a>b，但1a>1b，A错误；当c=0 ，若a>b，则ac2=bc2，B错误；取a=1,b=−1 ，满足a>b，但a2=b2，C错误；若a>b>c>0，则01a−c>0，所以ba−b>ca−c>0，故D正确，故选:D.4．（5分）（2022·广东·深圳市高一期中）设a=log38，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c的大小关系为（    ）A．c21=2，∴b>2，∵0<0.81.1<0.80=1，∴00的x的取值范围是（    ）A．−∞,−3∪3,+∞ B．−3,0∪3,+∞C．−3,0∪0,3 D．−∞,−3∪0,3【解题思路】由题意可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上是减函数，且f(−3)=f3=0，再讨论x>0和x<0，可得不等式的解集.【解答过程】由定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，可得f(x)在(0,+∞)上是减函数；又f(−3)=−f3=0，不等式xf(x)>0，等价为x>0f(x)>0或x<0f(x)<0，所以x>0时，即有f(x)>0=f3，解得00的解集为−3,0∪0,3.故选：C.6．（5分）（2022·河北·高一期中）若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+y4<3m2−m有解，则实数m的取值范围为（    ）A．−1,43 B．−∞,−1∪43,+∞C．−43,1 D．−∞,−43∪1,+∞【解题思路】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.【解答过程】∵不等式x+y4<3m2−m有解，∴x+y4min<3m2−m,∵x>0,y>0，且1x+4y=1，∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy⋅y4x+2=4，当且仅当4xy=y4x，即x=2,y=8时取“="，∴x+y4min=4，故3m2−m>4，即m+13m−4>0，解得m<−1或m>43,∴实数m的取值范围是−∞,−1∪43,+∞.故选：B.7．（5分）（2022·江苏连云港·高三期中）已知函数fx=3sin2x−cos2x，x∈R，则（    ）A．−2≤fx≤2 B．fx在区间0，π上有1个零点C．fx的最小正周期为2π D．x=23π为fx图象的一条对称轴【解题思路】根据正弦型函数图象性质即可求解.【解答过程】由题可知fx=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，所以函数的值域为−2,2，故A正确；令fx=2sin(2x−π6)=0，即2x−π6=kπ即x=π12+kπ2,k∈Z，令0<π12+kπ2<π，−160,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．fx+π6为偶函数B．fx的图象向右平移π6个单位长度后得到y=Asin2x的图象C．fx图象的对称中心为−π12+kπ,0，k∈ZD．fx在区间0,π2上的最小值为−3【解题思路】根据函数最大值和最小正周期可得A,ω，由fπ6=2可得φ，从而得到fx解析式；由fx+π6=2cos2x可确定奇偶性，知A正确；根据三角函数平移变换原则可得B错误；利用整体代换法，令2x+π6=kπk∈Z可求得对称中心，知C错误；由2x+π6∈π6,7π6，结合正弦函数性质可确定最小值为2sin7π6=−1，知D错误.【解答过程】∵fxmax=2，A>0，∴A=2；由图象可知：fx最小正周期T=4×5π12−π6=π，∴ω=2πT=2，又fπ6=2sin2×π6+φ=2，∴π3+φ=π2+2kπk∈Z，解得：φ=π6+2kπk∈Z，又φ<π2，∴φ=π6，∴fx=2sin2x+π6；对于A，fx+π6=2sin2x+π6+π6=2sin2x+π2=2cos2x，∵2cos−2x=2cos2x，∴fx+π6为偶函数，A正确；对于B，fx−π6=2sin2x−π6+π6=2sin2x−π6≠2sin2x，B错误；对于C，令2x+π6=kπk∈Z，解得：x=−π12+kπ2k∈Z，∴fx的对称中心为−π12+kπ2,0k∈Z，C错误；对于D，当x∈0,π2时，2x+π6∈π6,7π6，∴当2x+π6=7π6，即x=π2时，fxmin=2sin7π6=−1，D错误.故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·山东·高一阶段练习）有以下四种说法，其中说法正确的是（    ）A．“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件B．“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件C．“x=3”是“x2−2x−3=0”的充分不必要条件D．“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义，依次判断每个选项即可.【解答过程】对于A，因为Q⊆R，故“m是实数”是“m是有理数”的必要不充分条件，A正确；对于B，“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，B错误；对于C，x2−2x−3=0，故x=3或x=−1，故“x=3”是“x2−2x−3=0”的充分不必要条件，C正确；对于D，A∩B=B，则B⊆A，“A∩B=B”是“A=∅”的既不充分也不必要条件，D错误.故选：AC.10．（5分）（2022·江苏省高一期中）已知a,b>0，a+2b=ab，则下列表达式正确的是（    ）A．a>2，b>1 B．a+b的最小值为3C．ab的最小值为8 D．(a−2)2+(b−1)2的最小值为4【解题思路】对A，通过用a表示b以及用b表示a，即可求出a,b范围，对B，对等式变形得2a+1b=1，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【解答过程】对A选项，∵a,b>0,a+2b=ab，即ba−2=a，则b=aa−2， 则aa−2>0，且a>0,解得a>2，∵a+2b=ab，则ab−1=2b,则a=2bb−1>0，且b>0，解得b>1，故A正确；对B选项，∵a,b>0,a+2b=ab，两边同除ab得2a+1b=1，则a+b=a+b2a+1b=3+ab+2ba≥3+2ab⋅2ba=3+22，当且仅当ab=2ba，且2a+1b=1，即a=2+2,b=2+1时等号成立，故B错误；对C选项，a+2b=ab≥22ab，∵a,b>0，解得ab≥22，故ab≥8，当且仅当a=2b，且ab=8，即a=4,b=2时等号成立，故C正确；对D选项，由A选项b=aa−2代入得(a−2)2+(b−1)2=(a−2)2+aa−2−12=(a−2)2+2a−22=(a−2)2+4a−22≥2(a−2)2⋅4a−22=4，当且仅当(a−2)2=4(a−2)2，a>2，即a=2+2时，此时b=2+1时，等号成立，故D正确.故选：ACD.11．（5分）（2022·江苏省高一期中）给出以下四个命题，其中为真命题的是（    ）A．函数y=x2−4与函数y=x+2·x−2表示同一个函数B．若函数f(2x)的定义域为[0,2]，则函数f(x)的定义域为[0,4]C．若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x)−f(−x)也是奇函数D．函数y=−1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是单调增函数【解题思路】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.【解答过程】对A选项，y=x2−4，x2−4≥0，x≥2或x≤−2，故其定义域为−∞,−2∪2,+∞，而后者y=x+2⋅x−2，x+2≥0x−2≥0，解得x≥2，其定义域为[2,+∞)，定义域不同，故函数不同，所以A错误；对B选项，∵x∈0,2,∴2x∈0,4，所以函数f(x)的定义域为0,4，故B正确；对C选项，设ℎx=f(x)−f(−x)，根据fx为奇函数，则ℎx定义域关于原点对称，且 ℎ(−x)=f(−x)−f(x)=−fx−f−x=−ℎx，故其为奇函数，C正确，对D选项，反比例函数y=−1x在−∞,0,0,+∞上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.故选：BC.12．（5分）（2022·山东青岛·高三期中）将函数f(x)=3cos2x−π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的为（    ）A．函数ℎ(x)=fx−π6为偶函数B．直线x=1924π是函数g(x)图象的一条对称轴C．−17π24,−11π24是函数g(x)的一个单调递减区间D．将g(x)的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数y=3sin4x的图象【解题思路】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性逐一判断即可.【解答过程】因为函数f(x)=3cos2x−π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=3cos4x−π6.A：ℎ(x)=fx−π6=3cos2x−π6−π6=3cos2x−π2=3sin2x，因为ℎ−x=3sin−2x=−3sin2x=−ℎx，所以函数ℎ(x)=fx−π6为奇函数，本选项说法不正确；B：g(1924π)=3cos4×1924π−π6=−3，所以当x=1924π时，函数g(x)有最小值，所以直线x=1924π是函数g(x)图象的一条对称轴，因此本选项说法正确；C：当x∈−17π24,−11π24时，4x−π6∈−3π,−2π，因为函数y=3cosx在−π,0上单调递增，所以在−3π,−2π上也单调递增，所以−17π24,−11π24是函数g(x)的一个单调递增区间，因此本选项说法不正确；D：g(x)的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g(x−π12)=3cos4x−π12−π6=3cos4x−π2=3sin4x，因此本选项说法正确，故选：BD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·湖南·高一期中）已知集合P={x∣−1≤x≤8},S={x∣2−2m≤x≤2+2m}，若x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为 [3,+∞) .【解题思路】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果.【解答过程】根据题意，集合P是集合S的真子集；故2−2m≤−1，2+2m≥8，且不能同时取得等号，解得m≥3，故m的取值范围为：[3,+∞).故答案为：[3,+∞).14．（5分）（2022·黑龙江·高三期中）若x>0，y>0，且9x2+y2+xy=4，则3x+y的最大值为 4217 ．【解题思路】利用基本不等式的性质，求解和的最小值.【解答过程】x>0，y>0，由基本不等式，3x+y≥23xy，即xy≤133x+y22，当且仅当y=3x时等号成立.3x+y2=9x2+6xy+y2=9x2+y2+xy+5xy=4+5xy≤4+533x+y22，即73x+y212≤4，解得3x+y≤4217，当y=3x，即x=22121，y=2217时，3x+y有最大值4217.故答案为：4217.15．（5分）（2022·湖南·高一期中）已知fx是定义在R上的奇函数，且对∀x1,x2∈R，当x1≠x2时，都有fx1−fx2x1−x2<0．若f2x−1+f3<0，则x的取值范围是 −1,+∞ ．【解题思路】先判断函数fx的单调性，根据奇偶性化简题目所给不等式，利用函数的单调性求得x的取值范围．【解答过程】当x1≠x2时，不妨设x10，即f(x1)>f(x2)，所以fx在R上是减函数，又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以−f(3)=f(−3)，故f2x−1+f3<0等价于f2x−1<−f3=f−3，所以2x−1>−3，解得x>−1．故答案为：−1,+∞．16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t=0时，盛水筒M位于点P0(3,−33)，经过t秒后运动到点P(x,y)，点P的纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为 −33 ．【解题思路】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出ω，由t=0时，P0(3,−33)求出R和φ，从而可求出f(t)的关系式，进而可求出点P的纵坐标【解答过程】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以T=2πω=120，得ω=π60，所以y=f(t)=Rsinπ60t+φ，因为当t=0时，盛水筒M位于点P0(3,−33)，所以R=32+(−33)2=6，所以f(t)=6sinπ60t+φ，因为f(0)=−33，所以6sinφ=−33，得sinφ=−32，因为|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(t)=6sinπ60t−π3，所以f(100)=6sinπ60×100−π3=6sin4π3=−6sinπ3=−6×32=−33，所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为−33，故答案为：−33.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·甘肃·高一期中）计算：(1)2log32−log3329+log38−52log53；(2)278−23−4990.5+0.008−23×125．【解题思路】（1）根据对数的运算性质即可求解，（2）根据指数幂的运算法则即可求解.【解答过程】（1）2log32−log3329+log38−52log53=log34−log3329+log38−5log532=log34×932×8−9 =log39−9=2−9=−7（2）278−23−4990.5+0.008−23×125=323×−23−732×0.5+0.23×−23×125=32−2−73+0.2−2×125 =49−73+5−1−2×125=49−73+25×125=49−73+1=−89.18．（12分）（2022·湖南·高一阶段练习）已知合A=x−10、a=−1、a<−1、−10Δ≤0即a>0(1−a)2−4a2≤0，解得a≥13；综上可得a≥13.（2）解：不等式f(x)0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，此时−1a<1，所以不等式的解集为{x|−1a0，①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当−11，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<−1时，−1a<1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}，当a>0时，不等式的解集为{x|−1a−1a或x<1}，当a<−1时，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.20．（12分）（2022·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝56−2x, 010．(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【解题思路】（1）由题意列式求解，（2）由二次函数性质与基本不等式求解，【解答过程】（1）由题意得F(x)=xg(x)−24x=−2x2+32x, 010，（2）当010时，由基本不等式得6.4x+1440x≥26.4x⋅1440x=192，则−6.4x−1440x+328≤136，当且仅当6.4x=1440x即x=15时等号成立，综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元.21．（2022·江苏·高一期中）已知函数f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f1=1.(1)求m，n的值：(2)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)求使fa−1+fa2−1<0成立的实数a的取值范围.【解题思路】（1）由奇函数的性质可得f(0)=0，结合f1=1，解方程可得m，n的值；（2）f(x)在−1,1上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；（3）由奇函数f(x)在[−1,1]上为增函数，可将不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求取值范围.【解答过程】（1）由题意，x∈[−1,1]在f(x)=mx+nx2+1中，函数是奇函数，且f1=1，可得f(0)=0即n=0；又12(m+n)=1，则m=2，∴m=2，n=0；经验证满足题意.（2）由题意及（1）得， f(x)=2xx2+1在[−1,1]上为增函数.证明如下：在f(x)=mx+nx2+1中，x∈[−1,1]设−1⩽x1