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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6.2 函数y=Asin(ωx +φ)的图像与性质当堂检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6.2 函数y=Asin(ωx +φ)的图像与性质当堂检测题，文件包含高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题511函数yAsinωx+φ重难点题型精讲Word版含解析docx、高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题511函数yAsinωx+φ重难点题型精讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2．, A对函数的图象的影响
(1)对的图象的影响
函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)
或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或
伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
(3)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0(4)由函数的图象得到函数的图象
以上两种方法的图示如下：
3．函数的图象
类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.
(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到
在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.
(2)“变换作图法”的途径有两种.
一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.
【题型1 “五点法”作函数的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
【例1】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数y=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的图象时，得到如下表格：
则A，ω，φ的值分别为（ ）
A．4，2，−π3B．4，12，π3C．4，2，π6D．4，12，−π6
【解题思路】由表中数据求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根据图象过(π6，0)，即可求得φ的值．
【解答过程】解：由表中的最大值为4，最小值为−4，可得A=4，
由2π3−π6=12T，则T=π，∴ω=2ππ=2，
∵y=4sin(2x+φ)，图象过(π6，0)，
∴0=4sin(π6×2+φ)，∴ π6×2+φ=2kπ，(k∈Z)，解得φ=2kπ−π3，
∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π3．
故选：A．
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作y=2csx−1在[0,2π]的图象时，应取的五点为（ ）
A．(0,1),π2,0,(π,−1),3π2,0,(2π,1)B．(0,1),π2,−1,(π,−3),3π2,−1,(2π,1)
C．(0,1),(π,−3),(2π,1),(3π,−3),(4π,1)D．(0,1),π6,3−1,π3,0,π2,−1,2π3,−2
【解题思路】取[0,2π]内五个关键点，即分别令x＝0，π2，3π2，π，2π即可．
【解答过程】∵y=2csx−1，
∴周期T＝2π．
由“五点法”作图可知:
应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，π2，π，3π2，2π．代入解析式可得点的坐标分别为(0,1),(π2,−1),(π,−3),(3π2,−1),(2π,1)，∴B正确．
故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时，列表如下：
则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=2sin(x−π12)B．f(x)=2sin(3x+π12)
C．f(x)=sin(2x−π12)D．f(x)=2sin(3x−π4)
【解题思路】由表格中f(x)的五点，由正弦型函数的性质可得A=2、T2=π3、π4ω+φ=π2求参数，即可写出f(x)的解析式.
【解答过程】由表中数据知：A=2且T2=7π12−π4=π3，则T=2π3，
∴2πω=2π3，即ω=3，又3×π4+φ=π2，可得φ=−π4.
∴f(x)=2sin(3x−π4).
故选：D.
【变式1-3】（2021·浙江台州·高一期中）小明用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
请你根据已有信息推算A，ω,φ的值依次为（ ）
A．2，2，−π3B．2，2，π6C．2，π，−π6D．2，2，π3
【解题思路】根据“五点法”中五点对应的值计算．
【解答过程】由已知A=2，ωπ12+φ=π27ωπ12+φ=3π2，
解得ω=2φ=π3．
故选：D.
【题型2 三角函数间图象的变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
【例2】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））为了得到函数y=csx的图象，只需将函数y=sin2x+π6的图象（ ）
A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位
B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位
C．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π6个单位
D．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π3个单位
【解题思路】根据三角函数的函数变换规则，结合诱导公式，可得答案.
【解答过程】由函数y=sin2x+π6，将横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得函数y=sinx+π6，
由sinx+π2=csx，则将函数y=sinx+π6，向左平移π3个单位，可得y=sinx+π3+π6=sinx+π2=csx，
故选：B.
【变式2-1】（2022·天津·高三阶段练习）将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，则gπ2的值为（ ）
A．12B．−32C．−12D．32
【解题思路】根据三角函数图象的变换求得g(x)，再求结果即可.
【解答过程】将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，得到y=sin2(x−π3)=sin(2x−2π3)的图象；
再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到gx=sin(x−2π3)的图象；
故gπ2=sin(−π6)=−12.
故选：C.
【变式2-2】（2022·山东青岛·高三期中）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个长度单位，得到函数y=sin2x−π6的图象，则（ ）
A．f(x)=sin4x+π6B．f(x)=sin4x−π6
C．f(x)=sinx2−π12D．f(x)=sinx2+π12
【解题思路】根据图象变换求解析式即可.
【解答过程】y=sin2x−π6向左平移π6得到y=sin2x+π6，然后横坐标缩短为原来的12倍得到y=sin4x+π6，所以fx=sin4x+π6.
故选：A.
【变式2-3】（2022·安徽·高二开学考试）已知函数fx=cs2x−3π4，先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到gx的图象，则gx的解析式为（ ）
A．gx=sinxB．gx=−sinx
C．gx=−csxD．gx=cs4x+π4
【解题思路】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.
【解答过程】解：先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=csx−3π4的图象，
再向左平移π4个单位长度，则gx=csx−3π4+π4=sinx，
故选：A．
【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】
【方法点拨】
根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.
【例3】（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数fx=sin2ωx-cs2ωx+1(0<ω<1)，将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数gx的图像，若gx图像关于π2,0对称，则ω为（ ）
A．14B．12C．23D．34
【解题思路】根据辅助角公式将fx化简，利用图像变换得到的gx解析式，再由对称和ω的范围求得ω的值.
【解答过程】由已知fx=sin2ωx−cs2ωx+1=2sin2ωx−π4+1.
将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到gx=2sin2ωx-ωπ2−π4.若gx图像关于π2,0对称，
则sinωπ-ωπ2−π4=0，所以ωπ2−π4=kπ,k∈Z.
故ω=2k+12，又因为0<ω<1，所以ω=12.
故选：B.
【变式3-1】（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=sin2x+π6−2sinx+π4csx+π4(x∈R)，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在−π4,π4上单调递增
C．将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x
D．将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x
【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【解答过程】解：
f(x)=sin2x+π6−2sinx+π4csx+π4=32sin2x+12cs2x−sin2x+π2=32sin2x+12cs2x−cs2x=32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，
函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π,故A不正确；
x∈−π4,π4，则2x−π6∈−2π3,π3，当2x−π6∈−2π3,−π2时函数单调递减，即x∈−π4,−π6时函数单调递减，x∈−π6,π4时函数单调递增，故B不正确；
将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x+π6−π6=sin2x+π6，故C不正确；
将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x+π12−π6=sin2x+π6−π6=sin2x，故D正确；
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数f(x)=3sinxcsx+cs2x−1的图象向右平移π6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间是（ ）
A．−π12+kπ2,π6+kπ2(k∈Z)B．−π24+kπ2,5π24+kπ2(k∈Z)
C．−π3+2kπ,2π3+2kπ(k∈Z)D．−π6+2kπ,5π6+2kπ(k∈Z)
【解题思路】先利用三角恒等变换化简，得到f(x)=sin2x+π6−12，再根据平移和伸缩变换得到g(x)的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.
【解答过程】f(x)=32sin2x+1+cs2x2−1=32sin2x+cs2x2−12=sin2x+π6−12，
则g(x)=sin4x−π3+π6−12=sin4x−π6−12，
令4x−π6∈−π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z，
解得：x∈−π12+kπ2,π6+kπ2(k∈Z)，
故选：A.
【变式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函数fx=cs2x−π3−2sinx+π4csx+π4x∈R，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期为2π
B．函数fx的最大值为2
C．函数fx在−π6,π6上单调递增
D．将函数fx的图象向右平移π12个单位长度；所得图象对应的解析式为gx=sin2x
【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【解答过程】对于A和B，fx=cs2x−π3−2sinx+π4csx+π4 =cs2x−π3−sin2x+π2=12cs2x+32sin2x−cs2x =32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，
所以fx的最小正周期为2π2=π，fx的最大值为1，故A错误，B错误，
对于C，当x∈−π6,π6时，2x−π6∈−π2,π6，
因为y=sinx在−π2,π6上单调递增，所以函数fx在−π6,π6上单调递增，故C正确；
对于D，将函数f(x)的图像向右平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x−π12−π6=sin2x−π3，故D不正确，
故选：C.
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解.
【例4】（2022·黑龙江·高三阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=2sinx−π3B．f(x)=2sin2x+π3
C．f(x)=2sinx−π6D．f(x)=2sin2x+π6
【解题思路】由函数图象得到A、T4，即可求出ω，再根据函数过点7π12,−2及φ的取值范围，求出φ，即可得解.
【解答过程】解：由函数图象可得A=2，T4=7π12−π3=π4，所以T=π，又T=2πω，解得ω=2，
所以f(x)=2sin2x+φ，由函数过7π12,−2，所以f7π12=2sin7π6+φ=−2，
所以7π6+φ=3π2+2kπ，k∈Z，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π3，
所以f(x)=2sin2x+π3.
故选：B.
【变式4-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知函数fx=Asinωx+φ的图象如图所示，则fx的表达式可以为（ ）
A．fx=2cs2x−π6B．fx=2cs2x−7π6
C．fx=sin2x−5π3D．fx=2sinx−7π12
【解题思路】根据振幅可确定A，根据周期可确定ω，进而根据最高点13π12，2确定φ=−13π6+π2+2kπ,k∈Z，代入fx中化简即可求解.
【解答过程】由图可知：A=2, 34T=13π12−π3⇒T=π⇒ω=2πT=2,
fx经过最高点13π12，2，故2×13π12+φ=π2+2kπ,k∈Z,故φ=−13π6+π2+2kπ,k∈Z，
所以fx=2sin2x−13π6+π2+2kπ=2sin2x−π6+π2=2cs2x−π6．
故选：A．
【变式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π是函数fx的图象的一条对称轴
B．函数fx的图象的对称中心为−π12+kπ2,0，k∈Z
C．函数fx在3π2,11π6上单调递增
D．将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【解题思路】先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解.
【解答过程】由函数图象可知，A=2，最小正周期为T=4×(5π12−π6)=π，所以ω=2ππ=2.将点(π6,2)代入函数解析式中，得2=2sin(π3+φ).又因为φ<π2，所以φ=π6，故fx=2sin(2x+π6).
对于A，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π6+kπ2，k∈Z，令π6+kπ2=π，则k∉Z，故A错误；
对于B，令fx=2sin(2x+π6)=0，则2x+π6=kπ，k∈Z，所以x=−π12+kπ2，k∈Z，即函数fx的图象的对称中心为(−π12+kπ2,0)，k∈Z，故B正确；
对于C，令2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
因为x∈3π2,11π6，所以函数fx在3π2,5π3上单调递减，
在5π3,11π6上单调递增，故C错误；
对于D，将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到gx=2sin2(x+π12)+π6=2sin(2x+π3)的图象，该函数不是偶函数，故D错误.
故选：B.
【变式4-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））函数fx=Asinωx+φ+Bω>0,φ<π的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数fx的解析式为fx=2sin2x+π3+1
B．函数fx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z
C．为了得到函数fx的图象，只需将函数gx=2cs2x+π3的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数fx的图象关于点kπ2,1k∈Z对称
【解题思路】由题意求出fx的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.
【解答过程】对于A选项，不妨设A>0，则A=3−−12=2，B=3+−12=1，
由sinω×−π4+φ=−12sinω×5π12+φ=−12，则−ωπ4+φ=−π6+2k1π,k1∈Z5π12ω+φ=7π6+2k2π,k2∈Z，
两式相减得2π3ω=4π3+2k1−k2π，所以ω=2+3k1−k2①，
设函数fx的最小正周期为T，因为T2≤5π12+π4T≥5π12+π4⇒πω≤2π32πω≥2π3⇒ω≥32ω≤3，
所以32≤ω≤3，结合①，ω=2，
因为−π4+5π122=π12，所以2×π12+φ=π2+2mπm∈Z，可得φ=π3+2mπm∈Z，
因为φ<π，所以，φ=π3，所以fx=2sin2x+π3+1，故A正确；
对于B，由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，
解得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，故B正确；
对于C，将函数2cs2x+π3向右平移π4个单位得到y=2cs2x−π4+π3=2sin2x+π3，
向上平移一个单位长度可得y=2sin2x+π3+1，故C正确；
对于D，令2x+π3=π+kπk∈Z，解得：x=π3+kπ2k∈Z，
函数fx的图象关于点π3+kπ2,1k∈Z对称，所以D不正确；
故选：D.
【题型5 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
【解题思路】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为π15rad/min，计算得到答案.
（2）将数据代入解析式计算得到答案.
（3）计算H1=55sinπ15t−π2+65，H2=55sinπ15t−13π24+65，相减得到
ℎ=110sinπ48sinπ15t−π48，计算最值得到答案.
【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，
设t=0min时，游客甲位于点P(0,−55)，以OP为终边的角为−π2；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为π15rad/min，
由题意可得H=55sinπ15t−π2+65，0≤t≤30.
（2）当t=5时，H=55sinπ15×5−π2+65=37.5.
所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB=2π48=π24.
经过tmin后甲距离地面的高度为H1=55sinπ15t−π2+65，
点B相对于点A始终落后π24rad，
此时乙距离地面的高度为H2=55sinπ15t−13π24+65.
则甲、乙距离地面的高度差h=H1−H2=55sinπ15t−π2−sinπ15t−13π24
=55sinπ15t−π2+sin13π24−π15t，
利用sinθ+sinφ=2sinθ+φ2csθ−φ2，
可得ℎ=110sinπ48sinπ15t−π48，0≤t≤30.
当π15t−π48=π23π2，即t≈7.8（或228）时，h的最大值为110sinπ48≈7.2.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
【变式5-1】（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为y=Asinωt+φ+bA>0,ω>0,φ<π2．
(1)求A，m，φ，b的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【解题思路】（1）由题可得A+b=92−A+b=−32，结合条件可得ω，φ，即得；
（2）由函数最大值为92，可得πt−π6=π2+2kπ，即t=23+2k,k∈N，取k=0得答案；
【解答过程】（1）
由题易知A+b=92−A+b=−32，解得A=3，b=32．
由题知T=2=2πω，得ω=π，
∴y=3sinπt+φ+32，
∴0=3sinφ+32，φ<π2，
∴φ=−π6．
∴A=3，ω=π，b=32，φ=−π6．
（2）
由y=3sinπt−π6+32=92，得sinπt−π6=1，
∴πt−π6=π2+2kπ，k∈N，即t=23+2k，k∈N．
∴当k=0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时t=23min,
即盛水简出水后至少经过23min就可以到达最高点.
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞).
(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;
(2)分别求t=0,1600,1150,7600,160时的电流.
【解题思路】（1）由三角函数的A，ω和φ的意义进行求解即可．
（2）代入函数解析式求值即可.
【解答过程】解：（1）∵i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞)
∴A=5，φ=π3，ω=100π
所以函数的周期T=2πω=2π100π=150，频率f=1T=50，振幅A=5，初期φ=π3.
（2）当t=0时,i=5sinπ3=532;
当t=1600时,i=5sinπ6+π3=5sinπ2=5;
当t=1150时,i=5sin23π+π3=5sinπ=0;
当t=7600时,i=5sin76π+π3=5sin32π=−5;
当t=160时,i=5sin53π+π3=5sin2π=0.
【变式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数）.
(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：s）.
【解题思路】（1）根据题意，建立函数关系式；
（2）直接解方程即可求解.
【解答过程】（1）
盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t，则以Ox为始边，OP为终边的角为2π15t−π6，故P点的纵坐标为4sin(2π15t−π6)，
则点P离水面的高度ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，（t≥0).
（2）
令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，
得t=15k+5，k∈Z，
因为点P第一次到达最高点，所以0所以k=0,t=5s.
【题型6 函数与三角恒等变换的综合应用】
【方法点拨】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、
变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
【例6】（2022·福建·高三期中）已知函数fx=sinxcsx−3cs2x+32．
(1)求函数fx的单调递减区间；
(2)将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，当x∈π2,π时，求函数gx的取值范围．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到fx=sin2x−π3，整体法求解函数的单调递减区间；
（2）根据伸缩变换和平移变换得到gx=sinx−π6，根据x∈π2,π，得到x−π6∈π3,5π6，结合正弦函数图象求解出值域.
【解答过程】（1）fx=12sin2x−3⋅1+cs2x2+32=12sin2x−32cs2x=sin2x−π3，
令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπk∈Z，则5π12+kπ≤x≤11π12+kπk∈Z，
所以函数fx的单调递减区间为：5π12+kπ,11π12+kπk∈Z．
（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数y=sinx−π3的图象，再将图象向左平移π6个单位，
得到gx=sinx+π6−π3=sinx−π6的图象，
因为x∈π2,π，所以x−π6∈π3,5π6，
所以gx的值域为12,1．
【变式6-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=4sinxcsx+π3+3.
(1)求函数fx在区间−π4,π6上的单调减区间；
(2)将函数fx图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0【解题思路】（1）先化简f(x)，再利用正弦函数的性质即可得到答案；
（2）先利用题意的图象变换得到gx=2sin2ax，再根据gx的性质得到不等式即可求解
【解答过程】（1）依题意可得f(x)=4sinx12csx−32sinx+3=2sinxcsx+31−2sin2x
=sin2x+3cs2x=2sin2x+π3，
当−π4≤x≤π6时，−π6≤2x+π3≤2π3，则由π2≤2x+π3≤2π3得π12≤x≤π6，
即fx在π12,π6上单调递减，
所以函数fx在区间−π4,π6上的单调递减区间是π12,π6；
（2）由（1）知，f(x)=2sin2x+π3，将函数fx图像向右移动π6个单位所得函数为y=2sin2x−π6+π3=2sin2x，
于是得gx=2sin2ax，
因为x∈−1,1，2ax∈−2a,2a，又y=sinx在y轴右侧的第50个最大值点为π2+49×2π=197π2，在y轴左侧的第50个最大值点为−3π2−49×2π=−199π2，
故2a≥197π2−2a≤−199π2，解得a≤4199π，所以0所以a的取值范围0,4199π.
【变式6-2】（2022·宁夏高三阶段练习（文））已知函数f(x)=23sinxcsx+2sin2x．
(1)若f(x)=0,x∈−π2,0，求x的值；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在π12,2π3上的值域．
【解题思路】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦展开式进行化简可得fx=2sin2x−π6+1，再计算f(x)=0可得答案；
（2）利用平移可得函数g(x)的解析式，根据x的范围可得答案.
【解答过程】（1）fx=23sinxcsx+2sin2x=3sin2x+1−cs2x=2sin2x−π6+1，
由f(x)=0，得2sin2x−π6+1=0，即sin2x−π6=−12，
故2x−π6=−π6+2kπ或2x−π6=−5π6+2kπ，k∈Z，
即x=kπ或x=−π3+kπ，k∈Z，又∵x∈−π2,0∴x=−π3；
（2）将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，可得函数图象的解析式为y=2sin2x+π3−π6+1=2cs2x+1，∴g(x)=2cs2x+1，
∵π12≤x≤2π3,∴π6≤2x≤4π3∴−1≤cs2x≤32，
所以函数g(x)在π12,2π3上的值域为−1,3+1．
【变式6-3】（2022·江苏常州·高三期中）记函数f(x)=sin2ωx+3sinωxcsωx(ω>0)的最小正周期为T．若π3(1)求ω的值；
(2)将函数y=fx的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，求gx在−π2,0上的值域．
【解题思路】整理函数f(x)为正弦型函数，再根据对称性得ω取值情况，结合最小正周期T的范围，转化为ω的取值范围，结合可得ω的值；
根据三角函数的图象变换得函数y=gx的解析式，再根据自变量的取值范围得函数y=gx的值域.
【解答过程】（1）解：f(x)=1−cs2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx−12cs2ωx+12，
所以f(x)=sin2ωx−π6+12．
因为函数图象关于直线x=π6对称，所以π3ω−π6=kπ+π2，k∈Z，
所以ω=2+3k，k∈Z，因为函数的最小正周期T满足π3所以π3<2π2ω<2π3，解得32<ω<3，所以ω=2．
（2）解：由（1）得，f(x)=sin4x−π6+12，所以fx+π4=sin4x+π4−π6+12=sin4x+5π6+12
则g(x)=sin2x+5π6+12．
因为x∈−π2,0，所以2x+5π6∈−π6,5π6，
sin2x+5π6∈−12,1，g(x)=sin2x+5π6+12∈0,32，
gx在−π2,0上的值域为0,32． x
π6
2π3
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y
0
4
0
-4
0
ωx+φ
0
π2
π
3π12
2π
x
π12
π4
5π12
7π12
3π4
y
0
2
0
−2
0
ωx+φ
0
π2
π
2π
x
π12
7π12
y=Asin(ωx+φ)
0
2
0
−2
0
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2．, A对函数的图象的影响
(1)对的图象的影响
函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)
或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或
伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
(3)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0
以上两种方法的图示如下：
3．函数的图象
类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.
(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到
在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.
(2)“变换作图法”的途径有两种.
一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.
【题型1 “五点法”作函数的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
【例1】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数y=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的图象时，得到如下表格：
则A，ω，φ的值分别为（ ）
A．4，2，−π3B．4，12，π3C．4，2，π6D．4，12，−π6
【解题思路】由表中数据求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根据图象过(π6，0)，即可求得φ的值．
【解答过程】解：由表中的最大值为4，最小值为−4，可得A=4，
由2π3−π6=12T，则T=π，∴ω=2ππ=2，
∵y=4sin(2x+φ)，图象过(π6，0)，
∴0=4sin(π6×2+φ)，∴ π6×2+φ=2kπ，(k∈Z)，解得φ=2kπ−π3，
∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π3．
故选：A．
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作y=2csx−1在[0,2π]的图象时，应取的五点为（ ）
A．(0,1),π2,0,(π,−1),3π2,0,(2π,1)B．(0,1),π2,−1,(π,−3),3π2,−1,(2π,1)
C．(0,1),(π,−3),(2π,1),(3π,−3),(4π,1)D．(0,1),π6,3−1,π3,0,π2,−1,2π3,−2
【解题思路】取[0,2π]内五个关键点，即分别令x＝0，π2，3π2，π，2π即可．
【解答过程】∵y=2csx−1，
∴周期T＝2π．
由“五点法”作图可知:
应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，π2，π，3π2，2π．代入解析式可得点的坐标分别为(0,1),(π2,−1),(π,−3),(3π2,−1),(2π,1)，∴B正确．
故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时，列表如下：
则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=2sin(x−π12)B．f(x)=2sin(3x+π12)
C．f(x)=sin(2x−π12)D．f(x)=2sin(3x−π4)
【解题思路】由表格中f(x)的五点，由正弦型函数的性质可得A=2、T2=π3、π4ω+φ=π2求参数，即可写出f(x)的解析式.
【解答过程】由表中数据知：A=2且T2=7π12−π4=π3，则T=2π3，
∴2πω=2π3，即ω=3，又3×π4+φ=π2，可得φ=−π4.
∴f(x)=2sin(3x−π4).
故选：D.
【变式1-3】（2021·浙江台州·高一期中）小明用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
请你根据已有信息推算A，ω,φ的值依次为（ ）
A．2，2，−π3B．2，2，π6C．2，π，−π6D．2，2，π3
【解题思路】根据“五点法”中五点对应的值计算．
【解答过程】由已知A=2，ωπ12+φ=π27ωπ12+φ=3π2，
解得ω=2φ=π3．
故选：D.
【题型2 三角函数间图象的变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
【例2】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））为了得到函数y=csx的图象，只需将函数y=sin2x+π6的图象（ ）
A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位
B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位
C．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π6个单位
D．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π3个单位
【解题思路】根据三角函数的函数变换规则，结合诱导公式，可得答案.
【解答过程】由函数y=sin2x+π6，将横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得函数y=sinx+π6，
由sinx+π2=csx，则将函数y=sinx+π6，向左平移π3个单位，可得y=sinx+π3+π6=sinx+π2=csx，
故选：B.
【变式2-1】（2022·天津·高三阶段练习）将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，则gπ2的值为（ ）
A．12B．−32C．−12D．32
【解题思路】根据三角函数图象的变换求得g(x)，再求结果即可.
【解答过程】将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，得到y=sin2(x−π3)=sin(2x−2π3)的图象；
再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到gx=sin(x−2π3)的图象；
故gπ2=sin(−π6)=−12.
故选：C.
【变式2-2】（2022·山东青岛·高三期中）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个长度单位，得到函数y=sin2x−π6的图象，则（ ）
A．f(x)=sin4x+π6B．f(x)=sin4x−π6
C．f(x)=sinx2−π12D．f(x)=sinx2+π12
【解题思路】根据图象变换求解析式即可.
【解答过程】y=sin2x−π6向左平移π6得到y=sin2x+π6，然后横坐标缩短为原来的12倍得到y=sin4x+π6，所以fx=sin4x+π6.
故选：A.
【变式2-3】（2022·安徽·高二开学考试）已知函数fx=cs2x−3π4，先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到gx的图象，则gx的解析式为（ ）
A．gx=sinxB．gx=−sinx
C．gx=−csxD．gx=cs4x+π4
【解题思路】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.
【解答过程】解：先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=csx−3π4的图象，
再向左平移π4个单位长度，则gx=csx−3π4+π4=sinx，
故选：A．
【题型3 与三角恒等变换有关的图象变换问题】
【方法点拨】
根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.
【例3】（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数fx=sin2ωx-cs2ωx+1(0<ω<1)，将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数gx的图像，若gx图像关于π2,0对称，则ω为（ ）
A．14B．12C．23D．34
【解题思路】根据辅助角公式将fx化简，利用图像变换得到的gx解析式，再由对称和ω的范围求得ω的值.
【解答过程】由已知fx=sin2ωx−cs2ωx+1=2sin2ωx−π4+1.
将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到gx=2sin2ωx-ωπ2−π4.若gx图像关于π2,0对称，
则sinωπ-ωπ2−π4=0，所以ωπ2−π4=kπ,k∈Z.
故ω=2k+12，又因为0<ω<1，所以ω=12.
故选：B.
【变式3-1】（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=sin2x+π6−2sinx+π4csx+π4(x∈R)，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在−π4,π4上单调递增
C．将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x
D．将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x
【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【解答过程】解：
f(x)=sin2x+π6−2sinx+π4csx+π4=32sin2x+12cs2x−sin2x+π2=32sin2x+12cs2x−cs2x=32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，
函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π,故A不正确；
x∈−π4,π4，则2x−π6∈−2π3,π3，当2x−π6∈−2π3,−π2时函数单调递减，即x∈−π4,−π6时函数单调递减，x∈−π6,π4时函数单调递增，故B不正确；
将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x+π6−π6=sin2x+π6，故C不正确；
将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x+π12−π6=sin2x+π6−π6=sin2x，故D正确；
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数f(x)=3sinxcsx+cs2x−1的图象向右平移π6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间是（ ）
A．−π12+kπ2,π6+kπ2(k∈Z)B．−π24+kπ2,5π24+kπ2(k∈Z)
C．−π3+2kπ,2π3+2kπ(k∈Z)D．−π6+2kπ,5π6+2kπ(k∈Z)
【解题思路】先利用三角恒等变换化简，得到f(x)=sin2x+π6−12，再根据平移和伸缩变换得到g(x)的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.
【解答过程】f(x)=32sin2x+1+cs2x2−1=32sin2x+cs2x2−12=sin2x+π6−12，
则g(x)=sin4x−π3+π6−12=sin4x−π6−12，
令4x−π6∈−π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z，
解得：x∈−π12+kπ2,π6+kπ2(k∈Z)，
故选：A.
【变式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函数fx=cs2x−π3−2sinx+π4csx+π4x∈R，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期为2π
B．函数fx的最大值为2
C．函数fx在−π6,π6上单调递增
D．将函数fx的图象向右平移π12个单位长度；所得图象对应的解析式为gx=sin2x
【解题思路】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【解答过程】对于A和B，fx=cs2x−π3−2sinx+π4csx+π4 =cs2x−π3−sin2x+π2=12cs2x+32sin2x−cs2x =32sin2x−12cs2x=sin2x−π6，
所以fx的最小正周期为2π2=π，fx的最大值为1，故A错误，B错误，
对于C，当x∈−π6,π6时，2x−π6∈−π2,π6，
因为y=sinx在−π2,π6上单调递增，所以函数fx在−π6,π6上单调递增，故C正确；
对于D，将函数f(x)的图像向右平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为g(x)=sin2x−π12−π6=sin2x−π3，故D不正确，
故选：C.
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解.
【例4】（2022·黑龙江·高三阶段练习）函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=2sinx−π3B．f(x)=2sin2x+π3
C．f(x)=2sinx−π6D．f(x)=2sin2x+π6
【解题思路】由函数图象得到A、T4，即可求出ω，再根据函数过点7π12,−2及φ的取值范围，求出φ，即可得解.
【解答过程】解：由函数图象可得A=2，T4=7π12−π3=π4，所以T=π，又T=2πω，解得ω=2，
所以f(x)=2sin2x+φ，由函数过7π12,−2，所以f7π12=2sin7π6+φ=−2，
所以7π6+φ=3π2+2kπ，k∈Z，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π3，
所以f(x)=2sin2x+π3.
故选：B.
【变式4-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知函数fx=Asinωx+φ的图象如图所示，则fx的表达式可以为（ ）
A．fx=2cs2x−π6B．fx=2cs2x−7π6
C．fx=sin2x−5π3D．fx=2sinx−7π12
【解题思路】根据振幅可确定A，根据周期可确定ω，进而根据最高点13π12，2确定φ=−13π6+π2+2kπ,k∈Z，代入fx中化简即可求解.
【解答过程】由图可知：A=2, 34T=13π12−π3⇒T=π⇒ω=2πT=2,
fx经过最高点13π12，2，故2×13π12+φ=π2+2kπ,k∈Z,故φ=−13π6+π2+2kπ,k∈Z，
所以fx=2sin2x−13π6+π2+2kπ=2sin2x−π6+π2=2cs2x−π6．
故选：A．
【变式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π是函数fx的图象的一条对称轴
B．函数fx的图象的对称中心为−π12+kπ2,0，k∈Z
C．函数fx在3π2,11π6上单调递增
D．将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【解题思路】先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解.
【解答过程】由函数图象可知，A=2，最小正周期为T=4×(5π12−π6)=π，所以ω=2ππ=2.将点(π6,2)代入函数解析式中，得2=2sin(π3+φ).又因为φ<π2，所以φ=π6，故fx=2sin(2x+π6).
对于A，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π6+kπ2，k∈Z，令π6+kπ2=π，则k∉Z，故A错误；
对于B，令fx=2sin(2x+π6)=0，则2x+π6=kπ，k∈Z，所以x=−π12+kπ2，k∈Z，即函数fx的图象的对称中心为(−π12+kπ2,0)，k∈Z，故B正确；
对于C，令2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
因为x∈3π2,11π6，所以函数fx在3π2,5π3上单调递减，
在5π3,11π6上单调递增，故C错误；
对于D，将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到gx=2sin2(x+π12)+π6=2sin(2x+π3)的图象，该函数不是偶函数，故D错误.
故选：B.
【变式4-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））函数fx=Asinωx+φ+Bω>0,φ<π的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数fx的解析式为fx=2sin2x+π3+1
B．函数fx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z
C．为了得到函数fx的图象，只需将函数gx=2cs2x+π3的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数fx的图象关于点kπ2,1k∈Z对称
【解题思路】由题意求出fx的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.
【解答过程】对于A选项，不妨设A>0，则A=3−−12=2，B=3+−12=1，
由sinω×−π4+φ=−12sinω×5π12+φ=−12，则−ωπ4+φ=−π6+2k1π,k1∈Z5π12ω+φ=7π6+2k2π,k2∈Z，
两式相减得2π3ω=4π3+2k1−k2π，所以ω=2+3k1−k2①，
设函数fx的最小正周期为T，因为T2≤5π12+π4T≥5π12+π4⇒πω≤2π32πω≥2π3⇒ω≥32ω≤3，
所以32≤ω≤3，结合①，ω=2，
因为−π4+5π122=π12，所以2×π12+φ=π2+2mπm∈Z，可得φ=π3+2mπm∈Z，
因为φ<π，所以，φ=π3，所以fx=2sin2x+π3+1，故A正确；
对于B，由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπk∈Z，
解得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，故B正确；
对于C，将函数2cs2x+π3向右平移π4个单位得到y=2cs2x−π4+π3=2sin2x+π3，
向上平移一个单位长度可得y=2sin2x+π3+1，故C正确；
对于D，令2x+π3=π+kπk∈Z，解得：x=π3+kπ2k∈Z，
函数fx的图象关于点π3+kπ2,1k∈Z对称，所以D不正确；
故选：D.
【题型5 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
【解题思路】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为π15rad/min，计算得到答案.
（2）将数据代入解析式计算得到答案.
（3）计算H1=55sinπ15t−π2+65，H2=55sinπ15t−13π24+65，相减得到
ℎ=110sinπ48sinπ15t−π48，计算最值得到答案.
【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，
设t=0min时，游客甲位于点P(0,−55)，以OP为终边的角为−π2；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为π15rad/min，
由题意可得H=55sinπ15t−π2+65，0≤t≤30.
（2）当t=5时，H=55sinπ15×5−π2+65=37.5.
所以游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB=2π48=π24.
经过tmin后甲距离地面的高度为H1=55sinπ15t−π2+65，
点B相对于点A始终落后π24rad，
此时乙距离地面的高度为H2=55sinπ15t−13π24+65.
则甲、乙距离地面的高度差h=H1−H2=55sinπ15t−π2−sinπ15t−13π24
=55sinπ15t−π2+sin13π24−π15t，
利用sinθ+sinφ=2sinθ+φ2csθ−φ2，
可得ℎ=110sinπ48sinπ15t−π48，0≤t≤30.
当π15t−π48=π23π2，即t≈7.8（或228）时，h的最大值为110sinπ48≈7.2.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
【变式5-1】（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为y=Asinωt+φ+bA>0,ω>0,φ<π2．
(1)求A，m，φ，b的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
【解题思路】（1）由题可得A+b=92−A+b=−32，结合条件可得ω，φ，即得；
（2）由函数最大值为92，可得πt−π6=π2+2kπ，即t=23+2k,k∈N，取k=0得答案；
【解答过程】（1）
由题易知A+b=92−A+b=−32，解得A=3，b=32．
由题知T=2=2πω，得ω=π，
∴y=3sinπt+φ+32，
∴0=3sinφ+32，φ<π2，
∴φ=−π6．
∴A=3，ω=π，b=32，φ=−π6．
（2）
由y=3sinπt−π6+32=92，得sinπt−π6=1，
∴πt−π6=π2+2kπ，k∈N，即t=23+2k，k∈N．
∴当k=0时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时t=23min,
即盛水简出水后至少经过23min就可以到达最高点.
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞).
(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;
(2)分别求t=0,1600,1150,7600,160时的电流.
【解题思路】（1）由三角函数的A，ω和φ的意义进行求解即可．
（2）代入函数解析式求值即可.
【解答过程】解：（1）∵i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞)
∴A=5，φ=π3，ω=100π
所以函数的周期T=2πω=2π100π=150，频率f=1T=50，振幅A=5，初期φ=π3.
（2）当t=0时,i=5sinπ3=532;
当t=1600时,i=5sinπ6+π3=5sinπ2=5;
当t=1150时,i=5sin23π+π3=5sinπ=0;
当t=7600时,i=5sin76π+π3=5sin32π=−5;
当t=160时,i=5sin53π+π3=5sin2π=0.
【变式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数）.
(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：s）.
【解题思路】（1）根据题意，建立函数关系式；
（2）直接解方程即可求解.
【解答过程】（1）
盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t，则以Ox为始边，OP为终边的角为2π15t−π6，故P点的纵坐标为4sin(2π15t−π6)，
则点P离水面的高度ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，（t≥0).
（2）
令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，
得t=15k+5，k∈Z，
因为点P第一次到达最高点，所以0
【题型6 函数与三角恒等变换的综合应用】
【方法点拨】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、
变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
【例6】（2022·福建·高三期中）已知函数fx=sinxcsx−3cs2x+32．
(1)求函数fx的单调递减区间；
(2)将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，当x∈π2,π时，求函数gx的取值范围．
【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到fx=sin2x−π3，整体法求解函数的单调递减区间；
（2）根据伸缩变换和平移变换得到gx=sinx−π6，根据x∈π2,π，得到x−π6∈π3,5π6，结合正弦函数图象求解出值域.
【解答过程】（1）fx=12sin2x−3⋅1+cs2x2+32=12sin2x−32cs2x=sin2x−π3，
令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπk∈Z，则5π12+kπ≤x≤11π12+kπk∈Z，
所以函数fx的单调递减区间为：5π12+kπ,11π12+kπk∈Z．
（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数y=sinx−π3的图象，再将图象向左平移π6个单位，
得到gx=sinx+π6−π3=sinx−π6的图象，
因为x∈π2,π，所以x−π6∈π3,5π6，
所以gx的值域为12,1．
【变式6-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=4sinxcsx+π3+3.
(1)求函数fx在区间−π4,π6上的单调减区间；
(2)将函数fx图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0
（2）先利用题意的图象变换得到gx=2sin2ax，再根据gx的性质得到不等式即可求解
【解答过程】（1）依题意可得f(x)=4sinx12csx−32sinx+3=2sinxcsx+31−2sin2x
=sin2x+3cs2x=2sin2x+π3，
当−π4≤x≤π6时，−π6≤2x+π3≤2π3，则由π2≤2x+π3≤2π3得π12≤x≤π6，
即fx在π12,π6上单调递减，
所以函数fx在区间−π4,π6上的单调递减区间是π12,π6；
（2）由（1）知，f(x)=2sin2x+π3，将函数fx图像向右移动π6个单位所得函数为y=2sin2x−π6+π3=2sin2x，
于是得gx=2sin2ax，
因为x∈−1,1，2ax∈−2a,2a，又y=sinx在y轴右侧的第50个最大值点为π2+49×2π=197π2，在y轴左侧的第50个最大值点为−3π2−49×2π=−199π2，
故2a≥197π2−2a≤−199π2，解得a≤4199π，所以0
【变式6-2】（2022·宁夏高三阶段练习（文））已知函数f(x)=23sinxcsx+2sin2x．
(1)若f(x)=0,x∈−π2,0，求x的值；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在π12,2π3上的值域．
【解题思路】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦展开式进行化简可得fx=2sin2x−π6+1，再计算f(x)=0可得答案；
（2）利用平移可得函数g(x)的解析式，根据x的范围可得答案.
【解答过程】（1）fx=23sinxcsx+2sin2x=3sin2x+1−cs2x=2sin2x−π6+1，
由f(x)=0，得2sin2x−π6+1=0，即sin2x−π6=−12，
故2x−π6=−π6+2kπ或2x−π6=−5π6+2kπ，k∈Z，
即x=kπ或x=−π3+kπ，k∈Z，又∵x∈−π2,0∴x=−π3；
（2）将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，可得函数图象的解析式为y=2sin2x+π3−π6+1=2cs2x+1，∴g(x)=2cs2x+1，
∵π12≤x≤2π3,∴π6≤2x≤4π3∴−1≤cs2x≤32，
所以函数g(x)在π12,2π3上的值域为−1,3+1．
【变式6-3】（2022·江苏常州·高三期中）记函数f(x)=sin2ωx+3sinωxcsωx(ω>0)的最小正周期为T．若π3
(2)将函数y=fx的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，求gx在−π2,0上的值域．
【解题思路】整理函数f(x)为正弦型函数，再根据对称性得ω取值情况，结合最小正周期T的范围，转化为ω的取值范围，结合可得ω的值；
根据三角函数的图象变换得函数y=gx的解析式，再根据自变量的取值范围得函数y=gx的值域.
【解答过程】（1）解：f(x)=1−cs2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx−12cs2ωx+12，
所以f(x)=sin2ωx−π6+12．
因为函数图象关于直线x=π6对称，所以π3ω−π6=kπ+π2，k∈Z，
所以ω=2+3k，k∈Z，因为函数的最小正周期T满足π3
（2）解：由（1）得，f(x)=sin4x−π6+12，所以fx+π4=sin4x+π4−π6+12=sin4x+5π6+12
则g(x)=sin2x+5π6+12．
因为x∈−π2,0，所以2x+5π6∈−π6,5π6，
sin2x+5π6∈−12,1，g(x)=sin2x+5π6+12∈0,32，
gx在−π2,0上的值域为0,32． x
π6
2π3
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y
0
4
0
-4
0
ωx+φ
0
π2
π
3π12
2π
x
π12
π4
5π12
7π12
3π4
y
0
2
0
−2
0
ωx+φ
0
π2
π
2π
x
π12
7π12
y=Asin(ωx+φ)
0
2
0
−2
0
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