高中数学人教A版（2019）必修一培优练习2-7一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）（Word版附解析）

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专题2.7 一元二次不等式恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第一册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2021秋•封丘县期中）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范围．【解题思路】通过m是否为0，利用二次函数的性质以及判别式转化求解即可．【解答过程】解：（1）当m＝0时，原不等式化为﹣8≥0，解集为空集，故不满足题意；（2）当m＞0时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意；（3）当m＜0时，由题意，得：△≥0，即（2m）2﹣4m×（﹣8）≥0，又4m2+32m≥0，因为m＜0，所以m≤﹣8；综上，当m≤﹣8或m＞0时，不等式mx2+2mx﹣8≥0有解.2．若关于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，求a的取值范围．【解题思路】根据题意不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，化为Δ＞0，求出解集即可．【解答过程】解：关于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有实数解，即不等式x2+ax﹣3a＜0有实数解，所以Δ＝a2﹣4×（﹣3a）＞0，解得a＜﹣12或a＞0，所以a的取值范围是{a|a＜﹣12或a＞0}．3．（2021秋•金山区校级期中）已知关于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，求关于x的不等式ax+4＞7﹣2x的解．【解题思路】依题意知，Δ＝a2﹣4≥0，又由ax+4＞7﹣2x⇔（a+2）x＞3，分a+2＞0或a+2＝0或a+2＜0三种情况，解出不等式的解即可．【解答过程】解：由于关于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，则Δ＝a2﹣4≥0，即a≥2或a≤﹣2又由ax+4＞7﹣2x等价于（a+2）x＞3，则当a≥2时，a+2＞0，所以不等式ax+4＞7﹣2x的解为x＞3a+2当a＝﹣2时，不等式无解当a＜﹣2时，a+2＞0，所以不等式ax+4＞7﹣2x的解为x＜3a+2．4．（2021秋•东莞市校级期中）（1）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，求a+b的值．（2）关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，求a的取值范围．【解题思路】（1）由题意可得2，3为方程x2﹣ax﹣b＝0的两根，运用韦达定理，可得a，b，进而得到所求和；（2）由题意可得a＜x2﹣4x﹣2在区间（1，4）内有解，由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），求得f（x）的值域，即可得到所求范围．【解答过程】解：（1）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，即为2，3为方程x2﹣ax﹣b＝0的两根，可得a＝2+3，﹣b＝2×3，解得a＝5，b＝﹣6，则a+b＝﹣1；（2）关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间（1，4）内有解，可得a＜x2﹣4x﹣2在区间（1，4）内有解，由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），可得f（2）取得最小值﹣6，f（1）＝﹣5，f（4）＝﹣2，则f（x）的值域为[﹣6，﹣2），则a＜﹣2．5．（2022春•金台区期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【解题思路】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解出．（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出．【解答过程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．易知 （﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1．6．（2021秋•历城区校级月考）已知关于x的不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立．（1）求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0．【解题思路】（1）讨论a是否为0，可解．（2）根据x2﹣x﹣a2+a＜0，可得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又根据0≤a≤1，讨论a与1﹣a的大小，从而可解，【解答过程】解：（1）当a＝0时，不等式ax2+2ax+1＝1＞0恒成立，当a≠0时，若不等式ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R恒成立．则a＞04a2−4a≤0，得0＜a≤1，综上，a的取值范围为[0，1]．（2）∵x2﹣x﹣a2+a＜0，且0≤a≤1，∴（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又0≤a≤1，①当1﹣a＞a，即0≤a＜12时，则a＜x＜1﹣a，②当1﹣a＝a，即a=12时，(a−12)2＜0，无解，③当1﹣a＜a，即12＜a≤1 时，则1﹣a＜x＜a，综上所述，当0≤a＜12时，解集为{x|a＜x＜1﹣a}，当a=12时，解集为∅，当12＜a≤1 时，解集为{x|1﹣a＜x＜a}．7．（2021秋•张掖期末）设函数f（x）＝x2+ax﹣b．（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1≤0的解集；（2）当a+b＝3时，f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）利用不等式的解与对应方程之间的关系，即可解出a，b的关系，即可求解；（2）由已知可得a≥−x2+3x+1在[0，1]上恒成立，只需a≥(−x2+3x+1)max，然后利用函数的单调性以及换元法求出函数的最大值即可求解．【解答过程】解：（1）因为不等式x2+ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，所以x＝2，x＝3是方程x2+ax﹣b＝0的解，由韦达定理得：a＝﹣5，b＝﹣6，故不等式bx2﹣ax+1≤0为﹣6x2+5x+1≤0，即6x2﹣5x﹣1≥0，解得x≤−16或x≥1；所以不等式的解集为（−∞，−16]∪[1，+∞）；（2）当a+b＝3时b＝3﹣a，f（x）＝x2+ax+a﹣3≥0在x∈[0，1]上恒成立，即a≥−x2+3x+1在[0，1]上恒成立，只需a≥(−x2+3x+1)max，令g（x）=−x2+3x+1，令t＝x+1，t∈[1，2]，则x＝t﹣1，所以y=−(t−1)2+3t=−t2+2t+2t=−t+2t+2，因为函数y＝﹣t+2t+2在[1，2]上单调递减，所以当t＝1时，ymax＝﹣1+2+2＝3，所以a≥3所以实数a的取值范围为[3，+∞）．8．（2021秋•香洲区校级期中）已知f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4）．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）+t≤2在[﹣1，2]上有解，求t的取值范围．【解题思路】（1）由题意可得0和4是方程x2+bx+c＝0的两根，由韦达定理可得b，c的值，即可得到f（x）的解析式．（2）由题意可得t≤2﹣f（x）在[﹣1，2]的最大值，利用二次函数求出f（x）的最大值即可得到所求范围．【解答过程】解：（1）∵f（x）＜0的解集是（0，4）∴f（x）＝0的二根是0和4，∴0+4=−b0×4=c，∴b=−4c=0，∴f（x）＝x2﹣4x，（2）不等式f（x）+t＝x2﹣4x+t≤2在[﹣1，2]上有解，等价于t≤﹣x2+4x+2在[﹣1，2]上有解，∴t≤（﹣x2+4x+2）max，x∈[﹣1，2]，∵f（x）在[﹣1，2]上的最大值是6，∴t≤6，∴t的取值范围（﹣∞，6]．9．（2022春•山西月考）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b的值；（2）当x＞0，y＞0，求满足ay+bx﹣xy＝0时，有2x+y≥k2﹣1恒成立，求k的取值范围．【解题思路】（1）由1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，利用韦达定理列式计算即可；（2）由（1）得y+2x﹣xy＝0，利用基本不等式能求出2x+y的最小值，由此能求出结果．【解答过程】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且a＞0，所以1+b=3ab=2a，解得a＝1，b＝2．（2）由（1）知y+2x﹣xy＝0，∵x＞0，y＞0，∴y+2x＝xy=12×2xy≤12×(y+2x2)2，记2x+y＝t，则t2﹣8t≥0，解得t≥8，当且仅当2x=y2x+y=xy，即x=2y=4时，取等号，∴2x+y的最小值为8，∴满足ay+bx﹣xy＝0时，有2x+y≥k2﹣1恒成立，则k2﹣1≤8，解得﹣3≤k≤3，∴k的取值范围是{k|﹣3≤x≤3}．10．（2021秋•香坊区校级期中）已知关于x的函数f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．（1）当a＝2时，求f（x）≥0的解集；（2）若不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0对满足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立，求x的取值范围．【解题思路】（1）a＝2时不等式为4x2+4x﹣3≥0，求出解集即可；（2）设g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1，a∈[﹣2，2]，问题化为g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，讨论x的取值范围，求出g（a）min，判断g（a）min是否大于或等于0，从而求出x的取值范围．【解答过程】解：（1）a＝2时，函数f（x）＝4x2+4x﹣3，不等式f（x）≥0为4x2+4x﹣3≥0，即（2x+3）（2x﹣1）≤0，解得x≤−32或x≥12，所以不等式的解集为（﹣∞，−32]∪[12，+∞）；（2）设g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1＝（x2﹣1）a2+2xa+1，a∈[﹣2，2]，根据题意知，g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，①当x2﹣1＝0时，解得x＝±1，若x＝1，则g（a）＝2a+1在[﹣2，2]上单调递增，且g（a）min＝g（﹣2）＝﹣3＜0，不合题意．若x＝﹣1，则g（a）＝﹣2a+1在[﹣2，2]上单调递减，且g（a）min＝g（2）＝﹣3＜0，不合题意．②当x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1时，g（a）的图象为开口向下的抛物线，要使g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，需g(−2)≥0g(2)≥0，即4x2−4x−3≥04x2+4x−3≥0，解得x≤−12或x≥32x≤−32或x≥12，即x≤−32或x≥32，又因为﹣1＜x＜1，所以此时无解．③当x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1时，g（a）为开口向上的抛物线，其对称轴方程为a=x1−x2，（i）当x1−x2≤−2，即1＜x≤1+174时，g（a）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）min＝g（﹣2）＝4x2﹣4x﹣3≥0，解得x≤−12或x≥32，因为32＞1+174，−12＜1，所以此时无解．（ii）当﹣2＜x1−x2＜2，即x＜−1−174或x＞1+174时，g（a）在[﹣2，x1−x2]上单调递减，在[x1−x2，2]上单调递增，所以g（a）min＝g（x1−x2）=−1x2−1≥0，此时无解．（iii）当x1−x2≥2，即−1−174≤x＜﹣1时，g（a）在[﹣2，2]上单调递减，所以g（a）min＝g（2）＝4x2+4x﹣3≥0，解得x≤−32或x≥12，因为−32＜−1−174，12＞−1，此时无解．综上，x的取值范围是∅．11．（2021秋•徐汇区校级期中）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）当a＞0时，解关于x的不等式；（2）当2≤x≤3时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，再分类讨论两根的大小，求出对应不等式的解集即可．（2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a≤1x+1恒成立，求出f（x）=1x+1在x∈[2，3]时的最小值即可．【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x−1−aa）≤0，①当1−aa＞1，即0＜a＜12时，解不等式得1≤x≤1−aa，②当1−aa=1，即a=12时，解不等式得x＝1，③当1−aa＜1，即a＞12时，解不等式得1−aa≤x≤1．综上，当0＜a＜12时，不等式的解集为{x|1≤x≤1−aa}，当a=12时，不等式的解集为{x|x＝1}，当a＞12时，不等式的解集为{x|1−aa≤x≤1}．（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1，当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，所以原不等式可化为a≤1x+1恒成立，设f（x）=1x+1，x∈[2，3]，则f（x）的最小值为f（3）=14，所以a的取值范围是（﹣∞，14]．12．（2021秋•上蔡县校级月考）已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．（1）当m＝3时，求不等式解集；（2）是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，从而即可求出该不等式的解集；（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，等价于函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象恒在x轴下方，从而分类讨论m＝0和m≠0两种情况即可判断是否存在满足题意的实数m．【解答过程】（1）当m＝3时，不等式为3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，则解集为（﹣1，13），（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，即函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象在x轴下方．当m＝0时，2+2x＜0，则x＜﹣1，不满足题意；当m≠0时，函数y＝mx2+2x﹣m+2为二次函数，其图象需满足开口向下且与x轴没有公共点，则m＜0Δ=4−4m(2−m)＜0，不等式组的解集为空集，即m不存在．综上，不存在这样的实数m使不等式恒成立．13．（2021秋•天宁区校级月考）设函数f（x）＝x2﹣ax+b．（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；（2）若f（﹣2）＝8，m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）由题意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的两根，再由韦达定理求得a和b的值，再代入解不等式，即可；（2）由f（﹣2）＝8，可得2a+b＝4，再结合基本不等式推出ab≤2，然后由m2﹣3m﹣8≥（ab）max，解不等式即可．【解答过程】解：（1）由题意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的两根，所以1+4=a1×4=b，解得a＝5，b＝4，所以不等式bx2﹣ax+1＞0为4x2﹣5x+1＞0，即（4x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x＜14或x＞1，故不等式的解集为{x|x＜14或x＞1}．（2）f（﹣2）＝4+2a+b＝8，即2a+b＝4，所以ab=12•2a•b≤12•(2a+b2)2=12•(42)2=2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立，所以ab的最大值为2，要使m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，则m2﹣3m﹣8≥（ab）max＝2，所以m2﹣3m﹣10≥0，即（m﹣5）（m+2）≥0，解得m≤﹣2或m≥5，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．14．（2021秋•河南月考）（1）不等式3x2﹣（a+1）x≤0对任意的1≤x≤2恒成立，求实数a的取值范围；（2）解不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．【解题思路】（1）设f（x）＝3x2﹣（a+1）x，x∈[0，2]，由题意可得f(1)≤0f(2)≤0，从而即可求解出a的取值范围；（2）由a＞0，得该不等式等价于（x﹣1）（x−1a）＜0，从而分类讨论a＞1，a＝1，0＜a＜1三种情况对应不等式的解集即可．【解答过程】解：（1）设f（x）＝3x2﹣（a+1）x，x∈[0，2]，由题意可得f(1)≤0f(2)≤0，即3−(a+1)≤012−2(a+1)≤0，解得a≥5，因此，实数a的取值范围是[5，+∞）；（2）由a＞0，得该不等式等价于（x﹣1）（x−1a）＜0，当a＝1时，1a=1，不等式为（x﹣1）2＜0，此时解集为∅；当a＞1时，1a＜1，此时解不等式（x﹣1）（x−1a）＜0得1a＜x＜1，当0＜a＜1时，1a＞1，此时解不等式（x﹣1）（x−1a）＜0得1＜x＜1a，综上，当0＜a＜1时，该不等式的解集为（1，1a）；当a＝1时，该不等式的解集为∅；当a＞1时，该不等式的解集为（1a，1）．15．（2021春•兴庆区校级期末）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为{x|−12＜x＜13}，求p+q；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的取值范围．【解题思路】（1）根据一元二次不等式x2+px+q＜0的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出p、q的值；（2）根据不等式在实数集R上恒成立知Δ＜0，由此列不等式求出m的取值范围．【解答过程】解：（1）因为一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为{x|−12＜x＜13}，所以−12和13是方程x2+px+q＝0的实数根，由−12+13=−p−12×13=q，解得p=16，q=−16，所以p+q＝0；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，所以Δ＝（﹣m）2﹣4（m+7）＜0，即m2﹣4m﹣28＜0，解得2﹣42＜m＜2+42，所以m的取值范围是（2﹣42，2+42）．16．（2022春•昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为{x|−12＜x＜13}，求不等式qx2+px+1＞0的解集；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的范围．【解题思路】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出p，q的值，然后代入解不等式即可；（2）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解即可．【解答过程】解：（1）因为不等式x2+px+q＜0的解集为{x|−12＜x＜13}，所以−12与13是方程x2+px+q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得−12+13=−p−12×13=q，解得p=16q=−16；所以不等式qx2+px+1＞0，可化为−16x2+16x+1＞0，整理得x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，即不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}．（2）一元二次不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，则Δ＜0，即m2﹣4×1×（m+7）＜0，整理得m2﹣4m﹣28＜0，解得2−42＜m＜2+42，所以m的取值范围是（2﹣42，2+42）．17．（2022春•邵东市校级期末）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）当a∈R时，解关于x的不等式；（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围．【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，讨论a＝0和a＜0、a＞0时，求出对应不等式的解集即可．（2）不等式化为a（x2﹣1）≤x﹣1，即a≤1x+1恒成立，求出f（x）=1x+1在x∈[2，3]时的最小值即可．【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1，当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x−1−aa）≥0，解得x≤1−aa，或x≥1；当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x−1−aa）≤0；①0＜a＜12时，1−aa＞1，解不等式得1≤x≤1−aa，②a=12时，1−aa=1，解不等式得x＝1，③a＞12时，1−aa＜1，解不等式得1−aa≤x≤1．综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，当a＜0时，不等式的解集为{x|x≤1−aa或x≥1}，0＜a＜12时，不等式的解集为{x|1≤x≤1−aa}，a=12时，不等式的解集为{x|x＝1}，a＞12时，不等式的解集为{x|1−aa≤x≤1}．（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1，当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，所以原不等式可化为a≤1x+1恒成立，设f（x）=1x+1，x∈[2，3]，则f（x）的最小值为f（3）=14，所以a的取值范围是（﹣∞，14]．18．（2021秋•娄星区校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax﹣3．（1）若不等式f（x）＞﹣4的解集为R，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据不等式f（x）＞﹣4的解集为R，即x2+ax+1＞0恒成立，即Δ＜0，a2﹣4＜0，解出a的取值范围即可．（2）由不等式f（x）≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，即x2+ax﹣3≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，通过分离参数，转化为求最值问题，求得a的取值范围即可．【解答过程】解：（1）由不等式f（x）＞﹣4的解集为R，∴x2+ax﹣3＞﹣4解集为R，即x2+ax+1＞0解集为R，可得Δ＜0，即a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，故a的取值范围是（﹣2，2）．（2）由不等式f（x）≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，∴f（x）≥2ax﹣6，即x2+ax﹣3≥2ax﹣6对任意x∈[1，3]恒成立，即x2﹣ax+3≥0对任意x∈[1，3]恒成立，∴a≤（x+3x）min，x∈[1，3]；∵x+3x≥2x×3x=23；当且仅当x=3x，即x=3时取等号．∴a≤23故a的取值范围是（﹣∞，23]．19．（2021秋•南阳期中）已知f（x）＝x2﹣ax﹣2a2，（a∈R）．（1）若f（x）＞﹣9恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．【解题思路】（1）根据不等式恒成立可得Δ＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得即可；（2）原不等式可化为（x﹣2a）（x+a）＞0，分类解得即可．【解答过程】解：（1）f（x）＞﹣9恒成立，即x2﹣ax﹣2a2+9＞0恒成立，要Δ＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得﹣2＜a＜2，故a的取值范围为（﹣2，2）；（2）原不等式可化为（x﹣2a）（x+a）＞0，当a＞0时，解得x＜﹣a或x＞2a，当a＝0时，解得x≠0，当a＜0时，解得x＜2a或x＞﹣a，综上所述：当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣a）∪（2a，+∞），当a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），当a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，2a）∪（﹣a，+∞）．20．（2021秋•沭阳县期中）若关于x的不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；（2）若对于任意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，求b的取值范围．【解题思路】（1）根据不等式的解集求出a的值，代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0求出解集；（2）不等式化为b≥﹣3x−3x恒成立，求出右边函数的最小值，即可得出b的取值范围．【解答过程】解：（1）不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}，所以﹣3和1是方程（a﹣5）x2﹣4x+6＝0的解，所以﹣3+1=4a−5，解得a＝3；所以不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0化为2x2﹣x﹣3＞0，即（x+1）（2x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞32；不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞32}．（2）对于任意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，即3x2+bx+3≥0，所以b≥﹣3x−3x=−3（x+1x）；设f（x）＝﹣3（x+1x），x∈[2，5]，则f（x）在x∈[2，5]内是单调减函数，所以f（x）≥f（2）=−152；所以b的取值范围是b≥−152．21．（2022春•鄞州区校级期中）（1）解关于x不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．（2）若对于m∈[﹣2，2]，不等式mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．【解题思路】（1）不等式化为（x+1）（ax﹣3）＞0，讨论a＝0和a＞0、a＜0时，分别求出对应不等式的解集；（2）利用函数的恒成立，转化成函数f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6＜0，m∈[﹣2，2]，计算f（2）＝（x2﹣x+1）2﹣6＜0即可．【解答过程】解：（1）不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax可化为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（x+1）（ax﹣3）＞0，①当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；②当a≠0时，方程的两根为﹣1和3a；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3a}；当a＜0时，（i）若3a＞−1，即a＜﹣3，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3a}；（ii）若3a＜−1，即﹣3＜a＜0，原不等式的解集为{x|3a＜x＜﹣1}；（iii）若3a=−1，即a＝﹣3，原不等式的解集为∅，综上所得：当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3a}；当a＜﹣3时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3a}；当﹣3＜a＜0时，原不等式的解集为{x|3a＜x＜﹣1}；当a＝﹣3时，原不等式的解集为∅．（2）若对于m∈[﹣2，2]，不等式mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立，即：mx2﹣mx+m﹣6＜0恒成立，所以（x2﹣x+1）m﹣6＜0恒成立，令函数f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6，m∈[﹣2，2]，因为（x2﹣x+1）＝（x−12）2+34＞0恒成立，所以函数f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6，在m∈[﹣2，2]上单调递增，所以只需要函数的最大值小于0即可，所以：f（2）＝（x2﹣x+1）×2﹣6＜0，即：x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，即x的取值范围是（﹣1，2）．22．（2022春•龙岩期末）（1）若关于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）若2kx＜x2+4对于一切的x＞0恒成立，求k的取值范围．【解题思路】（1）原不等式等价于mx2﹣2x+6m＜0，根据不等式的解集由根与系数的关系可得关于m的方程，解出m再求出5mx2+x+3＞0的解集；（2）2kx＜x2+4对于一切的x＞0恒成立，可得2k＜x+4x，求出x+4x的最小值可得k的取值范围．【解答过程】解：（1）原不等式等价于mx2﹣2x+6m＜0，∴mx2﹣2x+6m＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}则2m=−3+(−2)，m=−25，∴5mx2+x+3＞0等价于﹣2x2+x+3＞0，即2x2﹣x﹣3＜0，∴−1＜x＜32，∴不等式的解集为 {x|﹣1＜x＜32}；（2）∵x＞0，由2kx＜x2+4，得2k＜x+4x，∵x+4x≥22⋅4x=4，当且仅当x＝2时取等号．∴2k＜4，∴k＜2，∴k的取值范围为（﹣∞，2）．23．（2022春•温江区期末）（1）若关于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．（2）解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．【解题思路】（1）利用Δ＜0列不等式求出实数m的取值范围；（2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集．【解答过程】解：（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化简得﹣4m﹣3＜0，解得m＞−34，所以实数m的取值范围是m＞−34；（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x−1a）＞0，且1a＞1，解得x＜1或x＞1a，所以不等式的解集为{x|x＜1或x＞1a}；a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x−1a）＜0，且1a＜1，解得1a＜x＜1，所以不等式的解集为{x|1a＜x＜1}．综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞1a}；a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}．24．（2022春•汇川区校级月考）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a、b的值；（2）若不等式x2﹣b（a+3）x﹣c＞0恒成立，则求出c的取值范围．【解题思路】（1）由题意知1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，把x＝1代入方程求得a的值，再由根与系数的关系求得b的值；（2）由一元二次不等式恒成立知Δ＜0，列不等式求出c的取值范围．【解答过程】解：（1）由题意知a＞0且1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的根，把x＝1代入方程得a﹣3+2＝0，所以a＝1；由根与系数的关系得1×b=2a=2，所以b＝2；（2）由（1）知不等式x2﹣2（1+3）x﹣c＞0恒成立，可知Δ＝82+4c＜0，解得c＜﹣16，所以c的取值范围是（﹣∞，﹣16）．25．（2022春•重庆期末）已知关于x的不等式：x2﹣mx+1＞0，其中m为参数．（1）若该不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）当x＞0时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【解题思路】（1）利用判别式Δ＜0求得m的取值范围；（2）由题意求出m＜x2+1x，计算f（x）=x2+1x的最小值，即可得出m的取值范围．【解答过程】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集为R，则Δ＜0，即m2﹣4＜0； 解得﹣2＜m＜2，∴m的取值范围是﹣2＜m＜2； （2）当x＞0时，关于x的不等式x2﹣mx+1＞0恒成立，等价于m＜x2+1x恒成立， 设f（x）=x2+1x，x＞0；则f（x）＝x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x＝1时取“＝”； ∴m的取值范围是m＜2． 26．已知不等式x2+px＞4x+p﹣4．（1）若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；（2）若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．【解题思路】（1）不等式x2+px＞4x+p﹣4化为x2+（p﹣4）x+4﹣p＞0①，设f（x）＝x2+（p﹣4）x+4﹣p，不等式①在2≤x≤4时有解时，f（2）＞0，或f（4）＞0，由此求出p的取值范围；（2）不等式x2+px＞（4x+p﹣4）化为p（x﹣1）+（x2﹣4x+4）＞0②，设g（p）＝p（x﹣1）+（x2﹣4x+4），0≤p≤6时不等式②恒成立，得g(0)＞0g(6)＞0，求出x的取值范围即可．【解答过程】解：（1）不等式x2+px＞4x+p﹣4可化为x2+（p﹣4）x+4﹣p＞0①，设f（x）＝x2+（p﹣4）x+4﹣p，当不等式①在2≤x≤4时有解时，即存在x∈[2，4]，使f（x）＞0，所以f（2）＞0，或f（4）＞0成立，即4+2（p﹣4）+4﹣p＞0，或16+4（p﹣4）+4﹣p＞0，解得p＞−34；（2）不等式x2+px＞（4x+p﹣4）化为p（x﹣1）+（x2﹣4x+4）＞0②，设g（p）＝p（x﹣1）+（x2﹣4x+4），因为0≤p≤6时不等式②恒成立，即g(0)＞0g(6)＞0，所以x2−4x+4＞06(x−1)+(x2−4x+4)＞0，解得x＜﹣1−3，或x＞﹣1+3，且x≠﹣2．27．（2021秋•大东区校级月考）已知关于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．（1）求a，b的值；（2）当x＞0，y＞0，且满足ax+by=1时，不等式k2+k+2≥2x+y有解，求k的取值范围．【解题思路】（1）根据题意可得1+2=3a1×2=ba，从而求出a与b的值即可；（2）由（1）可知a＝1，b＝2，则1x+2y=1，从而2x+y＝（1x+2y）（2x+y）＝4+yx+4xy≥4+2yx⋅4xy=8，所以根据不等式k2+k+2≥2x+y有解等价于k2+k+2≥（2x+y）min进行求解即可．【解答过程】解：（1）∵关于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}，∴1，2是方程ax2﹣3x+b＝0的两个实数根，且a＞0，∴1+2=3a1×2=ba，解得a=1b=2，故a，b的值分别为1，2；（2）由（1）可知a＝1，b＝2，则1x+2y=1，所以2x+y＝（1x+2y）（2x+y）＝4+yx+4xy≥4+2yx⋅4xy=8，当且仅当yx=4xy，即x=2y=4时等号成立，由不等式k2+k+2≥2x+y有解，得k2+k+2≥8，即k2+k﹣6≥0，解得k≤﹣3或k≥2，所以实数k的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．28．（2021•徐汇区一模）已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）求上述不等式的解；（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）设原不等式的解集为A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四种情况考虑，当k等于0时，代入不等式得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当k大于0且k不等于2时，不等式两边除以k把不等式变形后，根据基本不等式判断k+2k与4的大小即可得到原不等式的解集；当k等于2时，代入不等式，根据完全平方式大于0，得到x不等于4，进而得到原不等式的解集；当k小于0时，不等式两边都除以k把不等式变形后，根据k+2k小于4，得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；（2）根据（1）中求出的不等式的解集A，得到当k小于0时，A中的整数解个数有限个，利用基本不等式求出k+2k的最大值，进而求出此时k的值．【解答过程】解：（1）设原不等式的解集为A，当k＝0时，A＝（﹣∞，4）；当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（k+4k）]（x+4）＞0，∵k+4k＞4，∴A=(−∞，4)∪(k+4k，+∞)； 当k＝2时，A＝（﹣∞，4）∪（4，+∞）；当k＜0时，原不等式化为[x﹣（k+4k）]（x﹣4）＜0，∴A=(k+4k，4)； （2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个； 当k＜0时，A中整数的个数为有限个， 因为k+4k≤−4，当且仅当k=4k时，即k＝﹣2（k＝2舍去）时取等号， 所以当k＝﹣2时，A中整数的个数最少． 29．（2021秋•包河区校级月考）若关于x的不等式x2+ax﹣3＜0的解集为（t，3）．（1）求实数a，t的值；（2）是否存在实数c，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅，若存在，求出实数c的值；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）由不等式与相应方程的关系得：3，t是方程x2+ax﹣3＝0的两个根，再依据根与系数的关系即可求得a，t的值；（2）假设存在实数c，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅，则方程x2+cx﹣2a＝0对应判别式△1≤0且方程4x2+16tx+c2＝0对应判别式△2≤0，解不等式组，求得c即可．【解答过程】解：（1）∵不等式x2+ax﹣3＜0的解集为（t，3）∴得3，t是方程x2+ax﹣3＝0的两个根，∴3+t＝﹣a，3t＝﹣3；∴a＝﹣2，t＝﹣1．（2）假设存在实数c，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅，则方程x2+cx﹣2a＝0对应判别式△1＝c2+8a＝c2﹣16≤0①且方程4x2+16tx+c2＝0对应判别式△2＝（16t）2﹣16c2＝（﹣16）2﹣16c2≤0②，联立①，②得c2＝16，∴c＝±4．∴存在实数c＝±4，使得关于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集为R，同时关于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集为∅．30．（2022春•淮安期末）已知函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；（2）由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0，讨论a的取值，求出对应实数a的取值范围；（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）＝x2+（3﹣a）x+2a﹣10，求出h（x）＜0解集中恰有3个整数时a的取值范围即可．【解答过程】解：（1）因为函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，又f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，所以﹣4，2方程x2+（3﹣a）x+2+2a+b＝0的两根，由−4+2=−(3−a)−4×2=2+2a+b，解得a＝1，b＝﹣12；（2）因为函数f（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）＝x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0；①−3−a2≤1g(x)min=g(1)≤0，即a≤5a≤−6得a≤﹣6； ②1＜−3−a2＜3g(x)min=g(−3−a2)≤0，即5＜a＜9a2−14a+1≥0；有5＜a＜9a≤7−43或a≥7+43，解得a∈∅； ③−3−a2≥3g(x)min=g(3)≤0，即a≥9a≥20，解得a≥20； 综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤﹣6或a≥20． （3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）＝x2+（3﹣a）x+2a﹣10，则h（x）＝（x﹣2）[x﹣（a﹣5）]，知h（2）＝0，故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或﹣1，0，1； ①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a﹣5≤6，得10＜a≤11； ②解集中的3个整数是﹣1，0，1；则﹣2≤a﹣5＜﹣1，得3≤a＜4； 综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．