高中数学人教A版（2019）必修一培优练习1-12集合与常用逻辑用语全章综合测试卷-提高篇（Word版附解析）

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第1章 集合与常用逻辑用语 全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022•象山区校级一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用充要条件的定义，可求得答案．【解答过程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分条件，由m≥﹣2不能够推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要条件，综上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）（2022•聊城二模）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】由集合B中元素满足的条件，分类讨论确定B中的元素，即可求解．【解答过程】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，∴当a＝0，b＝0，1，2时，ab＝0，当a＝1，b＝0，1，2时，ab＝0，1，2，当a＝2，b＝0，1，2时，ab＝0，2，4，∴集合B＝{0，1，2，4}，∴集合B中元素个数为4．故选：C．3．（5分）（2022•南开区三模）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6}，∁UA＝{2，3，5}，B＝{2，5，6}，则A∩（∁UB）＝（　　）A．{1，4} B．{2，5} C．{6} D．{1，3，4，6}【解题思路】根据已知条件，先求出A集合，再结合补集、交集的运算法则，即可求解．【解答过程】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，∁UA＝{2，3，5}，∴A＝{1，4，6}，∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，5，6}，∴∁UB＝{1，3，4}，∴A∩（∁UB）＝{1，4}．故选：A．4．（5分）（2022•兴庆区校级二模）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）A．{3，4，5} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5}【解题思路】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），再利用集合的基本运算即可求解．【解答过程】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，∴∁RB＝{x|≥3}，∴A∩（∁RB）＝{3，4，5}，故选：A．5．（5分）（2022春•湖北月考）已知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，非空集合A满足A⊆B，A⊆C，则符合条件的集合A的个数为（　　）A．3 B．4 C．7 D．8【解题思路】先求出B∩C，根据非空集合A满足A⊆B，A⊆C，即可得出A．【解答过程】解：由集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，B∩C＝{4，5}，∵非空集合A满足A⊆B，A⊆C，∴A＝{4}，{5}，{4，5}．∴符合条件的集合A的个数为3．故选：A．6．（5分）（2021秋•太原期末）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）A．（−94，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣2，+∞）【解题思路】命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题 等价于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，构造函数f（x）＝x2﹣3x求最大值代入极即可．【解答过程】解：命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题 等价于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，令f（x）＝x2﹣3x，x∈[﹣1，1]，则等价于a＞f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴a＞﹣2，故选：D．7．（5分）（2021秋•赣州期末）已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解题思路】由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件，可知[﹣1，1]⫋（﹣∞，a），以此可解决此题．【解答过程】解：由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件，可知[﹣1，1]⫋（﹣∞，a），∴a＞1．故选：C．8．（5分）（2021秋•沙依巴克区校级期末）下列结论中正确的个数是（　　）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．【解答过程】解：对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题““∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+1＞0，故③错误；对于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式两边同除以c2便得到a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④正确；即正确的有2个，故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2020秋•如皋市期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是（　　）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3【解题思路】根据充分不必要条件与集合包含关系之间的联系即可求解．【解答过程】解：设A∩B＝∅的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B＝∅时，m+1≤﹣1，解得m≤﹣2，所以C⫋（﹣∞，﹣2]因此满足条件的选项为B，D．故选：BD．10．（5分）（2021秋•辽源期末）下列存在量词命题中，为真命题的是（　　）A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|＜0 D．有些自然数是偶数【解题思路】选项A：解出方程的解即可判断；选项B：举特例如6即可判断求解；选项C：根据绝对值的应用即可判断；选项D：举特例如2，4，即可判断．【解答过程】解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选：ABD．11．（5分）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是（　　）A．（∁IA）∪B＝I B．（∁IA）∪（∁IB）＝I C．A∩（∁IB）＝∅ D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB【解题思路】先画出韦恩图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．【解答过程】解一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，根据韦恩图可判断出A、C、D都是正确的，解二：设非空集合A、B、I分别为A＝{1}，B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且满足A⊆B⊆I．根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，故选：ACD．12．（5分）（2021秋•辽宁月考）已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列说法正确的是（　　）A．不存在实数a使得A⊆B B．当a＝4时，B⊆A C．当B⊆（∁RA）时，a的取值范围是a≥2 D．当2＜a＜3时，B⊆A【解题思路】当a＝﹣10时可判断选项A错误；当a＝4时，化简B＝∅，故选项B正确；由B⊆（∁RA）知A∩B＝∅，从而分三类讨论解不等式即可；由2＜a＜3知B＝∅，故选项D正确．【解答过程】解：当a＝﹣10时，B＝{x|﹣15＜x＜21}，故A⊆B，故选项A错误；当a＝4时，B＝{x|﹣1＜x＜﹣7}＝∅，故B⊆A，故选项B正确；∵B⊆（∁RA），∴A∩B＝∅，∴a﹣5≥1﹣2a或﹣3≤a﹣5＜1﹣2a或a﹣5＜1﹣2a≤﹣7，解得，a≥2，故选项C正确；∵2＜a＜3，∴a﹣5＞1﹣2a，∴B＝∅，B⊆A，故选项D正确；故选：BCD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•芗城区校级期末）命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是　∀x∈R，x＜1　．【解题思路】根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定．【解答过程】解：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．故答案为：∀x∈R，x＜1．14．（5分）（2021秋•温州校级期中）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，则 （∁RA）∩B＝　{2＜x＜3或7≤x＜10}　．若A⊆C，则a的取值范围是　a≥7　．【解题思路】由A及全集R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；根据A为C的子集，确定出a的范围即可．【解答过程】解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，∴∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，∴（∁RA）∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}，∵A⊆C，∴a的范围是a≥7，故答案为：{2＜x＜3或7≤x＜10}；a≥7.15．（5分）（2021秋•西宁期末）已知集合A＝{y|y＝x2−32x+1，x∈[34，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为 　(−∞，−34]∪[34，+∞)　．【解题思路】直接利用充分条件和必要条件，恒成立问题，不等式的解法的应用求出参数m的值．【解答过程】解：对于集合A＝{y|y＝x2−32x+1，x∈[34，2]}，故y=(x−34)2+716，由于x∈[34，2]，所以716≤y≤2．由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以m2≥（1﹣x）max恒成立；即m2≥916，整理得m的取值范围为m∈(−∞，−34]∪[34，+∞)．故答案为：(−∞，−34]∪[34，+∞)．16．（5分）（2021•顺义区二模）已知全集为U，P⊈U，定义集合P的特征函数为fP(x)=1，x∈P0，x∈CUP，对于A⫋U，B⫋U，给出下列四个结论：①对∀x∈U，有f∁UA(x)+fA(x)=1；②对∀x∈U，若A⫋B，则fA（x）≤fB（x）；③对∀x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）；④对∀x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）．其中，正确结论的序号是　①、②、③　．【解题思路】利用特殊值法，先设出特殊的集合U，A，B，然后再验证判断四个命题的真假即可得出答案．【解答过程】解：利用特殊值法进行求解．设U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{1，2}．那么：对于①有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，f∁UA（1）＝0，f∁UA（2）＝1，f∁UA（3）＝1．可知①正确；对于②有fA（1）＝1＝fB（1），fA（2）＝0＜fB（2）＝1，fA（3）＝fB（3）＝0可知②正确；对于③有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∩B（1）＝1，fA∩B（2）＝0，fA∩B（3）＝0．可知③正确；对于④有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∪B（1）＝1，fA∪B（2）＝1，fA∪B（3）＝0可知．④不正确；故答案为：①、②、③．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•广平县校级期中）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：（1）∀x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；（3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．【解题思路】（1）全称命题，为假命题．（2）全称命题，为假命题．（3）特称命题，假命题．（4）特称命题真命题．【解答过程】解：（1）全称命题，当x＝0时，结论不成立，所以为假命题．命题的否定：∃x∈N，x3≤x2（2）全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；（3）特称命题，x02﹣x0+1=(x0−12)2+34≥34，所以结论不成立，为假命题．命题的否定：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．（4）特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．18．（12分）（2021秋•龙海市校级期中）已知p：A＝{x||2x+1|≤3 }，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解题思路】由p：|2x+1|≤3⇒﹣2≤x≤1，由￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，分类讨论即可得出．【解答过程】解：由p：|2x+1|≤3⇒﹣2≤x≤1，由q可得：1﹣m≤x≤1+m，因为￢p是￢q的充分不必要条件，所q是p的充分不必要条件，当m＜0，此时1﹣m＞1+m，m＜0．当m≥0时，1﹣m≤x≤1+m，且﹣2≤1﹣m，且1+m≤1，解得m＝0．∴m≤0．19．（12分）设A＝{a+2b||a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z}，现有以下三个条件：甲：x∈A且y∈A乙：xy∈A丙：1x∈A求证：甲分别是乙和丙的充分条件．【解题思路】根据元素之间的关系，利用充分条件的定义进行推理即可．【解答过程】解：设x＝a+2b，y＝c+2d，则|a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z，|c2﹣2d2|＝1，c，d∈Z则xy＝（a+2b）（c+2d）＝（ac+2bd）+2（bc+ad），∵（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2＝（a2﹣2b2）（c2﹣2d2），a，b，c，d∈Z，∴|（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2|＝|（a2﹣2b2）（c2﹣2d2）|＝1，a，b，c，d∈Z，即xy∈A，1x=1a+2b=a−2ba2−2b2=aa2−2b2−2⋅(ba2−2b2)，∵|a2﹣2b2|＝1，∴若a2﹣2b2＝1，则1x=a−2b∈A，若a2﹣2b2＝﹣1，则1x=−a+2b∈A，∴甲分别是乙和丙的充分条件．20．（12分）（2022•钦南区校级开学）集合A＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n+3，n∈Z}（1）若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立？（2）对于任意a∈A，b∈B，是否一定有（a+b）∈C？请证明你的结论．【解题思路】根据已知条件知：若a∈A，b∈B，则一定存在n1，n2∈z，使得a＝3n1+1，b＝3n2+1，所以a+b＝3（n1+n2）+3．而集合M的元素需满足：x＝6n+3＝3•2n+3，显然n1+n2不一定等于2n，所以不一定有a+b＝c且c∈C．【解答过程】解：（1）∵a∈A，b∈B；∴分别存在n1，n2∈z使得：a＝3n1+1，b＝3n2+2；∴a+b＝3（n1+n2）+3；而集合M中的条件是：x＝6n+3＝3•2n+3，∴n1+n2＝2n，存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立；（2）要使a+b∈C，则n1+n2＝2n，这显然不一定；∴不一定有a+b＝c且c∈C．21．（12分）（2021秋•西城区校级期中）给定数集A．若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合．（Ⅰ）判断集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明；（Ⅱ）若集合A，B为闭集合，则A∪B是否一定为闭集合？请说明理由；（Ⅲ）若集合A，B为闭集合，且A⫋R，B⫋R．证明：（A∪B）⫋R．【解题思路】（Ⅰ）根据新定义进行判断，显然4+4＝8∉A，所以A不为闭集合和利用定义证明；（Ⅱ）先依据新定义判断出结论，再根据定义说明理由；（Ⅲ）直接证明比较困难，因此运用反证法证明．【解答过程】解：（I）因为4∈A，但是4+4＝8∉A，所以，A不为闭集合；任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，则a+b＝3m+3n＝3（m+n）且m+n∈Z所以a+b∈B，同理，a﹣b∈B，故B为闭集合． （4分）（II）结论：不一定．令A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A∪B，2+3＝5∉A∪B，因此，A∪B不为闭集合． （6分）（III）证明：（反证）若A∪B＝R．则因为A⫋R，存在a∈R且a∉A，故a∈B．同理，因为B⫋R，存在b∈R且b∉B，故b∈A．因为a+b∈R＝A∪B，所以，a+b∈A或a+b∈B．若a+b∈A，则由A为闭集合，a＝（a+b）﹣b∈A，与a∉A矛盾．若a+b∈B，则由B为闭集合，b＝（a+b）﹣a∈B，与b∉B矛盾．综上，存在c∈R，使得c∉（A∪B）． （10分）22．（12分）（2021秋•临沂期中）在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．（1）当a＝2时，求A∪B；A∩（∁RB）；（2）若______，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据集合的基本运算即可求解．（2）根据题意，建立条件关系即可求出实数a的取值范围．【解答过程】解：（1）当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴∁RB＝{x|x＞3或x＜﹣1}，所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤5}；A∩（∁RB）＝{x|3＜x≤5}．（2）若选择①，A∪B＝B，则A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a+1解得a＜﹣2，当A≠∅，又A⊆B，B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以a−1≤2a+1a−1≥−12a+1≤3，解得0≤a≤1，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[0，1]．若选择②，x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⫋B，当A＝∅时，a﹣1＞2a+1解得a＜﹣2，当A≠∅，又A⫋B，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则a−1≤2a+1a−1≥−12a+1＜3或a−1≤2a+1a−1＞−12a+1≤3，解得0≤a≤1，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[0，1]．若选择③，A∩B＝∅，当A＝∅时，a﹣1＞2a+1解得a＜﹣2，当A≠∅，又A∩B＝∅，则a−1≤2a+1a−1＞3或2a+1＜−1，解得a＞4，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．