高中数学人教A版（2019）必修一培优练习1-11集合与常用逻辑用语全章综合测试卷-基础篇（Word版附解析）

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第1章 集合与常用逻辑用语 全章综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020秋•沧州期中）下列命题是全称量词命题的是（　　）A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360°【解题思路】直接利用全称命题和特称命题的定义判断即可．【解答过程】解：A，有一个，存在性量词，特称命题，B，至少存在一个，存在性量词，特称命题，C，有些，存在性量词，特称命题，D，每个，全称量词，全称命题，故选：D．2．（5分）（2022•金东区校级模拟）设集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝（　　）A．{x|x≥2} B．{x|x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1≤x＜2}【解题思路】直接利用交集运算得答案．【解答过程】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|x≥2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝{x|2≤x＜3}．故选：C．3．（5分）（2022•和平区校级一模）设a，b∈R，则“a＞b”是“ab＞1”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】取a＝2，b＝﹣1，得到充分性不成立；取a＝﹣2．b＝﹣1，得到必要性不成立．【解答过程】解：取a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但是ab＜1，充分性不成立；取a＝﹣2．b＝﹣1，满足ab＞1，但是a＜b，必要性不成立．∴设a，b∈R，则“a＞b”是“ab＞1”的即不充分也不必要条件．故选：D．4．（5分）（2022•河南模拟）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）A．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．【解答过程】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，当x＝3时，y＝1，2，满足集合B．当x＝2时，y＝1，3；满足集合B．当x＝1时，y＝2，3；满足集合B．共有6个元素．故选：C．5．（5分）（2020秋•永昌县校级期末）若命题“∀x∈[1，4]时，x2﹣4x﹣m≠0”是假命题，则m的取值范围（　　）A．[﹣4，﹣3] B．（﹣∞，﹣4） C．[﹣4，+∞） D．[﹣4，0]【解题思路】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可．【解答过程】解：若命题“∀x∈[1，4]时，x2﹣4x﹣m≠0”是假命题，则命题“∃x∈[1，4]时，x2﹣4x﹣m＝0”是真命题则m＝x2﹣4x，设f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，当1≤x≤4时，﹣4≤f（x）≤0则﹣4≤m≤0，故选：D．6．（5分）（2021秋•罗庄区校级月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【解题思路】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P⊇Q，再建立a的不等式组可求解．【解答过程】解：∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，∴P⊇Q，∴a−4≤1a+4≥3，∴﹣1≤a≤5，故选：A．7．（5分）（2022春•广陵区校级月考）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）A．{3，4，5，6} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5，6}【解题思路】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），再利用集合的基本运算即可求解．【解答过程】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，∴∁RB＝{x|≥3}，∴A∩（∁RB）＝{3，4，5，6}，故选：A．8．（5分）（2021秋•阳江期末）给出下列关系式：①0∈∅；②﹣3∈Z；③{0}⊆{x|x2＝x}；④{0}⊆N*；⑤{1}⊆{（x，y）|2x−y=1x+4y=5}，其中正确的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由元素与集合，集合与集合的关系依次判断即可．【解答过程】解：①0∉∅，故①错误，②﹣3∈Z，故②正确，③{0}⊆{x|x2＝x}＝{0，1}，即③正确，④{0}⊈N*，故④错误，⑤{1}⊈{（x，y）|2x−y=1x+4y=5}＝{（1，1）}，故⑤错误，故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022•武汉模拟）已知集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}，若A∪B＝{1，2，3，4}，则a的取值可以是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用并集的定义能求出a的取值．【解答过程】解：集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}，A∪B＝{1，2，3，4}，∴a的取值可以是2或3．故选：AB．10．（5分）（2021秋•罗庄区校级月考）如图所示，阴影部分表示的集合是（　　）A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．A∩∁U（A∩B）【解题思路】由图可得，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，从而得解．【解答过程】解：由图可知，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，且包含于∁U（A∩B），∴阴影部分表示的集合为：（∁UB）∩A或A∩∁U（A∩B），故选：AD．11．（5分）（2021秋•绥化期末）下列存在量词命题中，是真命题的是（　　）A．∃x∈Z，2x+x−1=0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|＜0 D．有些自然数是偶数【解题思路】解一元二次方程判断A，举实例判断BC，根据绝对值的性质判断D．【解答过程】解：对于A，2x+x−1=0⇔2(x)2+x−1＝0，∴x=−1（舍去）或x=12，∴x=14∉Z，∴A是假命题，对于B，当x＝6时，x能同时被2和3整除，∴B是真命题，对于C，对∀x∈R，|x|≥0，∴C是假命题，对于D，2为自然数也为偶数，∴D是真命题，故选：BD．12．（5分）（2022•沈河区校级二模）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是（　　）A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件【解题思路】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项条件间的关系，能求出结果．【解答过程】解：对于A，a＝b⇒ac＝bc，当c＝0，ac＝bc时，a与b不一定相等，故A是假命题；对于B，若a＝1＞b＝﹣2时，充分性不成立，故B是假命题；对于C，a＜5不一定a＜3，但a＜3必有a＜5，∴“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故C是真命题；对于D，a+5是无理数，则a是无理数，若a是无理数，则a+5是无理数，∴“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是假命题．故选：ABD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022•徐汇区校级模拟）若a∈{﹣1，3，a3}，则实数a的取值集合为 　{0，1，3}　．【解题思路】根据元素与集合的关系进行判断【解答过程】解：∵a∈{﹣1，3，a3}，∴a＝﹣1或a＝3或a＝a3，故a＝﹣1或a＝3或a＝0或a＝1，经检验，当a＝﹣1时，a3＝﹣1，故不成立，故实数a的取值集合为{0，1，3}，故答案为：{0，1，3}．14．（5分）（2021秋•浦北县校级月考）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝　{6，7}　．【解题思路】进行交集和补集的运算即可．【解答过程】解：∵∁UA＝{1，6，7}，∴B∩∁UA＝{6，7}．故答案为：{6，7}．15．（5分）（2021秋•松山区校级期末）已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，2]　．【解题思路】由p是q的必要不充分条件，得到（2，3）⫋（a，+∞），即可求解．【解答过程】解：∵p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，∴（2，3）⫋（a，+∞），∴a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]．16．（5分）（2021春•香坊区校级期中）已知命题P：∃x≤3，2x﹣1≥a是真命题，则a的最大值为　5　．【解题思路】利用特称命题为真命题，建立不等式关系进行求解即可．【解答过程】解：∵当x≤3时，则2x﹣1≤5．∴若命题“命题P：∃x≤3，2x﹣1≥a是真命题，则a≤2×3﹣1＝5，即实数a的最大值为5，故答案为：5．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）写出下列命题的否定，并判断真假．（1）正方形都是菱形；（2）∃x∈R，使4x﹣3＞x；（3）∀x∈R，有x+1＝2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解题思路】逐一写出并判断【解答过程】解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x﹣3≤x．因为当x＝2时，4×2﹣3＝5＞2，所以“∀x∈R，有4x﹣3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x＝2时，x+1＝2+1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．18．（12分）（2021秋•黄浦区校级月考）设关于x的不等式ax﹣3＞2x+a的解集为M．（1）求M；（2）若﹣1∈M且0∉M，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）分a＝2和a≠2两种情况讨论．（2）利用﹣1∈M且0∉M求解．【解答过程】解：（1）∵ax﹣3＞2x+a⇔（a﹣2）x＞a+3，当a＝2时，M＝∅，当a＞2时，M=(a+3a−2，+∞)，当a＜2时，M=(−∞，a+3a−2)．（2）∵﹣1∈M且0∉M，∴−(a−2)＞a+3a+3≥0，解得：a∈[−3，−12)．19．（12分）（2021秋•酒泉期末）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a﹣4≤x≤a﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解题思路】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，即可求得答案．【解答过程】解：由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，∴a−4≤1a−1≥3，∴4≤a≤5，∴实数a的取值范围为[4，5]．20．（12分）（2021秋•兖州区期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}．（1）若a＝3，求图中阴影部分M；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由韦恩图确定集合M＝（∁UA）∩B，从而可求得结果；（2）由B⊆A，可得不等式，注意B＝∅．【解答过程】解：（1）a＝3时，B＝{x|4≤x≤8}，由韦恩图可知，M＝（∁UA）∩B，因为A＝{x|﹣1＜x≤5}所以∁UA＝{x|x≤﹣1或x＞5}，所以M＝{x|5＜x≤8}；（2）当B＝∅时，3a﹣1＜a+1，解得a＜1，此时B⊆A成立；当B≠∅时，3a﹣1≥a+1，解得a≥1，因为B⊆A，所以a+1＞−13a−1≤5，解得1≤a≤2，综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（12分）已知集合A＝{x|1≤x﹣1≤4}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，C＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}．（1）若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；（2）若（A∩B）⊆C，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）求出集合A，利用x∈C是“x∈A”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围；（2）利用交集定义求出A∩B，利用（A∩B）⊆C，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．【解答过程】解：（1）集合A＝{x|1≤x﹣1≤4}＝{x|2≤x≤5}，C＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，∵x∈C是“x∈A”的充分条件，∴2a+1≤52a−1≥2，解得32≤a≤2，∴实数a的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A＝{x|1≤x﹣1≤4}＝{x|2≤x≤5}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，C＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，（A∩B）⊆C，∴2a−1＜22a+1＞3，解得1＜a＜32，∴实数a的取值范围是（1，32）．22．（12分）（2021秋•番禺区校级期中）已知命题P：∃x∈R，使x2﹣4x+m＝0为假命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出B即可；（2）根据充分必要条件的定义得到关于a的不等式组，解出即可．【解答过程】解：（1）由题意，得关于x的方程x2﹣4x+m＝0无实数根，所以Δ＝16﹣4m＜0，解得m＞4，即B＝（4，+∞）；（2）因为A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，所以3a＜a+4，即a＜2，因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A是B的真子集，则a＜2且3a≥4，即43≤a＜2，综上所述，实数a的取值范围为[43，2）．