人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样课时练习

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1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也
可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中
的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
(2)求和符号的性质
①；
②，其中k为常数.
5．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比
较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个
子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
①=；
②=.
(4)分层随机抽样的步骤
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
6．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数.
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
7．获取数据的途径
(1)通过调查获取数据
我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.
(2)通过试验获取数据
没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.
(3)通过观察获取数据
自然现象只能通过长久的持续观察获取数据.
(4)通过查询获得数据
通过收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.
【题型1 抽样方法的选取】
【方法点拨】
根据几种抽样方法的特点和优缺点，结合具体的样本，选取合适的抽样方法.
【例1】（2023秋·四川绵阳·高二期末）现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）
A．①抽签法，②分层随机抽样B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法D．①抽签法，②随机数法
【解题思路】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.
【解答过程】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；
对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．先用分层抽样，再用随机数表法
C．分层抽样D．先用抽签法，再用分层抽样
【解题思路】利用抽样方法求解．
【解答过程】解：在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法，
按男女生比例抽取样本属于分层抽样，所以是先用抽签法，再用分层抽样．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋·上海浦东新·高二期末）现要完成下列2项抽样调查：
①从盒饼干中抽取4盒进行食品卫生检查；
②某中学共有360名教职工，其中一般教师280名，行政人员55名，后勤人员25名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为72的样本，较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样
B．①简单随机抽样，②简单随机抽样
C．①分层抽样，②分层抽样
D．①分层抽样，②简单随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法.
【解答过程】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；
②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样．
故选：A.
【变式1-3】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．系统抽样
C．分层抽样D．其他抽样
【解题思路】根据员工明显来自三个不同的部门可以选择适当的抽样方法．
【解答过程】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适．
故选：C．
【题型2 抽签法的应用】
【方法点拨】
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀.一般地，当
总体容量和样本容量都较少时可用抽签法，然后按照抽签法的步骤进行抽样即可.
【例2】（2023·全国·高一专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则 ( )
A．a＝310，b＝29B．a＝110，b＝19
C．a＝310，b＝310D．a＝110，b＝110
【解题思路】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数a,b的值.
【解答过程】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，
故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是110，
所以a=110,b=110，
故选：D.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【解题思路】根据抽签法的特征:个体数以及样本容量较小，且易均匀混合，即可结合选项求解.
【解答过程】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法；
选项B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法；
选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；
选项D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法.
故选：B.
【变式2-2】（2022·高一单元测试）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些
B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大
D．以上都不对
【解题思路】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断.
【解答过程】∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是13，
故选：B．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【解题思路】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.
【解答过程】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.
故选：B.
【题型3 随机数法的应用】
【方法点拨】
随机数法的步骤：(1)编号；(2)产生随机数；(3)选号；(4)确定样本.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（ ）
034743738636964736614698637162332616804560111410
A．36B．16C．11D．14
【解题思路】根据随机数表的规则读取编号．
【解答过程】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11．所以出来的第1个零件编号是36．
故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高一学业考试）总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ）
A．08B．02C．63D．14
【解题思路】由随机数表法抽样原理即可求出答案.
【解答过程】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）2019年9月14日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为01、02、…、25的号码中选取5个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第1行第24列的数字开始，从左往右依次选取2个数字，则第5个被选中的号码为（ ）
82 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A．09B．13C．23D．24
【解题思路】根据随机数表中的取数原则可得选项.
【解答过程】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16,06 ,09,13 ,23.所以第5个被选中的号码为23.
故选：C.
【变式3-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、⋯、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则第三袋牛奶的标号是（ ）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211
A．358B．169C．455D．206
【解题思路】利用随机数表法可得结果.
【解答过程】由随机数表法可知，前三袋牛奶的标号依次为206、301、169，故第三袋牛奶的标号是169.
故选：B.
【题型4 样本平均数估计总体平均数】
【方法点拨】
在简单随机抽样中，根据样本平均数和总体平均数之间的关系，进行求解即可.
【例4】（2022·全国·高一专题练习）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）
A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【解题思路】首先求出这3000个数据的平均数，即可得解；
【解答过程】解：这3000个数据的平均数为78.1×800+85×1300+91.9×9003000=85.23.
用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.
故选：B.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知某样本的容量为50，平均数为70.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得的样本平均数为x，则（ ）
A．x=70B．x>70C．xmC．a