数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线习题

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1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系：
(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程
.
①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px
(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：

4．抛物线的切线
过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.
抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).
5．直线与抛物线中的最值问题
求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，
解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
6．抛物线有关的应用问题
(1)解答与抛物线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要
注意抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系的灵活应用.
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.
【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】
【方法点拨】
结合具体条件，根据直线与抛物线的三种位置关系，进行判断，即可得解.
【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线y=kx−1+2与抛物线x2=4y的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点(0,−4)，且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
【变式1-3】（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
【题型2 弦长问题】
【方法点拨】
①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化
运算过程.
②涉及弦长问题，应联立直线与抛物线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方
程，由韦达定理得到 (或)，代入到弦长公式即可.
【例2】（2021·江苏·高三阶段练习）已知A，B在抛物线y2=4x上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（ ）
A．4B．5
C．15D．215
【变式2-1】（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线y=x−2与抛物线y2=4x交于A,B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则OP2−PA2=（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C:y2=4x，一条平行于x轴的光线l1从点P8,4射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，则AB=（ ）
A．7B．174C．214D．254
【变式2-3】（2022·湖南岳阳·高二期末）已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，若OA⋅OB=0，则|AB|的最小值为（ ）
A．4B．42C．8D．16
【题型3 抛物线的焦点弦问题】
【方法点拨】
根据抛物线的焦点弦公式，结合具体条件，进行求解即可.
【例3】（2022·湖南·高三期末（文））已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为45∘的直线l与抛物线分别交于A､B两点，则AB=（ ）
A．1B．3C．6D．8
【变式3-1】（2022·河南·高三开学考试（文））过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点，若AB的中点M的横坐标为2，则线段AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））直线y=x−1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=（ ）
A．6B．8C．2D．4
【变式3-3】（2022·全国·模拟预测（文））入射光线由点A5,23出发，沿x轴反方向射向抛物线C：y2=4x上一点P，反射光线PQ与抛物线C交于点Q，则PQ的值为（ ）
A．4B．163C．2D．223
【题型4 抛物线中的面积问题】
【方法点拨】
抛物线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与抛
物线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边
形面积问题可化为两个三角形面积来求解.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P6,y0到焦点F的距离|PF|=2y0．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且斜率为−33的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA⋅MB=3，求△MAB的面积．
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点Px,y到定点M0,12的距离比它到x轴的距离大12．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)在（1）的条件下，且y≥0时，过轨迹C的焦点且倾斜角为45°的直线交轨迹C于点A、B，求△AOB的面积．
【变式4-2】（2022·河南·高二期末（文））已知抛物线C:x2=2pyp>0上的点t,4到焦点F的距离等于圆x2+y2−2x+4y−31=0的半径．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线l1与l2，直线l1交C于M，N两点，直线l2交C于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的最小值．
【变式4-3】（2022·上海市高三阶段练习）如图，已知点F1,0为抛物线y2=2px p>0的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)设A点纵坐标为2t，求S1S2关于t的函数关系式；
(3)求S1S2的最小值及此时点G的坐标．
【题型5 抛物线中的定点、定值、定直线问题】
【例5】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得TA⋅TB为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【变式5-1】（2022·上海市高二期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，P(−1,0)，过F作直线l交抛物线C于Ax1,y1，Bx2,y2两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，求证：kPA+kPB是定值.
【变式5-2】（2022·四川·教科所三模（理））设抛物线E：y2=2pxp>0，以N2,1为圆心，5为半径的圆被抛物线E的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点N的两条直线分别与曲线E交于点A，B和C，D，且满足NA=λNB，NC=λND，求证：线段BD的中点在直线y=1上．
【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）如图，F是抛物线y2=2pxp>0的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．
(1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数；
(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：kFA+kFB是定值．
(3)在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点，均能使得kMA⋅kMB为定值，若有，找出满足条件的点M;若没有，请说明理由．
【题型6 抛物线有关的应用问题】
【方法点拨】
利用抛物线解决实际问题的基本步骤：
①建立适当的直角坐标系；
②求出抛物线的标准方程；
③根据抛物线的方程及定义、直线与抛物线的位置关系来解决实际应用问题.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图所示（单位：m），某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
【变式6-1】（2022·安徽·高二期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
【变式6-2】（2022·江苏南通·高二期末）如图，马路l南边有一小池塘，池塘岸MN长40米，池塘的最远端O到l的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路AB,BC,CD，且AB,BC,CD均与小池塘岸线相切，记∠BAD=θ.
（1）求小路的总长，用θ表示；
（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，tanθ的值.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m．，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？
（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽42m，在水面以上部分高为4m的船船身应至少降低多少米才能安全通过？