高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线习题，文件包含高中数学培优讲义练习人教A版2019选择性必修一专题312抛物线的标准方程和性质-重难点题型检测Word版含解析docx、高中数学培优讲义练习人教A版2019选择性必修一专题312抛物线的标准方程和性质-重难点题型检测学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足x2+y−p22=y+p2，其中常数p>0，则动点Px,y的轨迹是（ ）
A．射线B．直线C．抛物线D．椭圆
【解题思路】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【解答过程】因为x2+y−p22=y+p2表示动点Px,y到定点F0,p2的距离与Px,y到定直线l：y=−p2的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点Px,y的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
2．（3分）（2022·云南·高二期末）已知抛物线x2=mym>0上的点x0，1到该抛物线焦点F的距离为2，则m=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【解题思路】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.
【解答过程】由x2=mym>0，可得其焦点F0,m4，准线方程为y=−m4，
因为点x0，1到该抛物线焦点F的距离为2，所以点x0，1到抛物线准线的距离为2，
则1+m4=2，解得m=4，
故选：C.
3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为（ ）
A．y2=4xB．y2=−4x
C．x2=12yD．x2=−12y
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为y2=mx,m≠0，于是得22=m⋅(−1)，解得m=−4，
所以所求抛物线方程是y2=−4x.
故选：B.
4．（3分）（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知圆C: (x−1)2+y2=4与抛物线y2=ax(a>0)的准线相切，则a=（ ）
A．18B．14C．4D．8
【解题思路】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得．
【解答过程】因为圆C: (x−1)2+y2=4的圆心为(1,0)，半径为r=2，
抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=−a4，
所以1+a4=2，
∴a=4，
故选：C.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(4,−2)，F为抛物线y2=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为（ ）
A．(0,0)B．(1,−22)C．(2,−2)D．(12,−2)
【解题思路】过M点作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义，知|MF| =|ME|，当M在抛物线上移动时，当A,M,E三点共线时，|ME|+|MA|最小，由此即可求出结果.
【解答过程】如图所示，过M点作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义，知|MF| =|ME|.
当M在抛物线上移动时，|ME|+|MA|的值在变化，显然M移动到M'时，A,M,E三点共线，|ME|+|MA|最小，此时AM'//Ox，把y=−2代入y2=8x，得x=12，
所以当|MA|+|MF|取最小值时，点M的坐标为(12,−2)．
故选：D.
6．（3分）（2022·天津和平·二模）已知抛物线y2=2px(p0,b>0)的渐近线于A,B两点（异于坐标原点），双曲线的离心率为2,△AOB的面积为64，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．(2,0)B．(−2,0)C．(4,0)D．(−4,0)
【解题思路】根据双曲线的离心率可得渐近线的斜率，结合渐近线的方程及△AOB的面积可求A,B的坐标，从而可求抛物线的方程，故可得其焦点坐标.
【解答过程】因为双曲线的离心率为2，故ca=2，其中c为半焦距，
故a2+b2a2=2即a=b，故渐近线的方程为：y=±x，
由抛物线、双曲线的对称性可设A(m,−m),B(m,m)(m0，列出方程组，求解，即可得出结果.
【解答过程】建系如图，设抛物线方程为：x2=−2pyp>0，
由题意设D15,ℎ，B30,ℎ−150，
则152=−2pℎ302=−2pℎ−150，
解得：ℎ=−50，p=2.25.
所以此拋物线顶端O到连桥AB的距离为：50+150=200m.
故选：B.
8．（3分）（2022·江西·三模（文））已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，P2,2是平面内一定点，下列说法正确的序号为（ ）
①抛物线准线方程为x=−1；
②若AF+BF=8，则线段AB中点到x轴距离为3；
③以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切；
④△APF的周长的最小值为5+3.
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
【解题思路】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点Ax1,y1、Bx2,y2，利用抛物线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点A作抛物线准线l:y=−1的垂线，垂足为点E，利用抛物线的定义以及P、A、E三点共线时，求出△APF的周长的最小值，可判断④的正误.
【解答过程】对于①，易知点F0,1，抛物线的准线方程为y=−1，①错；
对于②，设点Ax1,y1、Bx2,y2，则AF+BF=y1+y2+2=8，所以，y1+y2=6，
所以，线段AB中点到x轴距离为y1+y22=3，②对；
对于③，由抛物线的定义可得AF=y1+1，所以，线段AF的长为半径的圆与准线相切，③对；
对于④，过点A作抛物线准线l:y=−1的垂线，垂足为点E，
由抛物线的定义可得AF=AE，所以，AP+AF=AP+AE，
当且仅当P、A、E三点共线时，即当PE⊥l时，AP+AF取得最小值2+1=3，
又因为PF=22+2−12=5，所以，△APF的周长的最小值为3+5，④对.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）(多选)顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=3yB．x2=−3yC．x2=12yD．x2=−12y
【解题思路】设抛物线的标准方程为：x2=±2py，根据已知条件求出p的值即可求解.
【解答过程】因为抛物线的对称轴是y轴，可设抛物线的标准方程为：x2=±2py，
因为顶点与焦点的距离等于3，所以p2=3，可得p=6，
所以抛物线的方程为x2=±12y，
故选：CD.
10．（4分）（2022·高三阶段练习）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，点Mx0,y0在抛物线C上，若MF=5，则（ ）
A．F的坐标为1,0B．y0=4
C．x0=4D．OM=42
【解题思路】由抛物线的方程求出焦点F的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得y0、x0的值，可判断BC选项；利用平面内两点间的距离公式可判断D选项.
【解答过程】对于抛物线C，2p=4，可得p2=1，则点F0,1，A错；
由抛物线的定义可得MF=y0+1=5，可得y0=4，则x02=16，可得x0=±4，B对C错；
OM=x02+y02=42，D对.
故选：BD.
11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知点Px0,−y0是抛物线C：y2=4x上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为2,0B．C的准线方程为x+1=0
C．x0+1=x0−12+y02D．x0+1y02+1的最小值为34
【解题思路】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程可判断A，B；利用抛物线的定义可判断C；根据抛物线方程消元，得x0+1y02+1=y024+1y02+1，构造基本不等式求出最小值可判断D.
【解答过程】由抛物线的方程知，焦点坐标为1,0，准线方程为x=−1．故A错误，B正确．
根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即x0+1=x0−12+y02，故C正确．
因为y02=4x0，所以x0+1y02+1=y024+1y02+1=y02+14+1y02+1−14≥214−14=34
（当且仅当y02+14=1y02+1，即y02=1时，等号成立），故x0+1y02+1的最小值为34，故D正确．
故选：BCD.
12．（4分）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，M(3,−2)，F为抛物线C:x2=−2py(p>0)的焦点，点P在C上，PA⊥x轴于A，则（ ）
A．当p=2时，|PF|+|PM|的最小值为3
B．当p=4时，|PF|+|PM|的最小值为4
C．当p=4时，|PA|−|PM|的最大值为1
D．当PF∥x轴时，cs∠OPF为定值
【解题思路】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；
【解答过程】解：对于A：p=2时抛物线C:x2=−4y，焦点F0,−1，点M(3,−2)在抛物线外，
所以|PF|+|PM|≥FM=32+−2+12=10，当且仅当M、P、F三点共线且P在MF之间时取等号（如下图所示），故A错误；
对于B、C：当p=4时抛物线C:x2=−8y，焦点F0,−2，准线方程为y=2，点M(3,−2)在抛物线内，
设PA与准线交于点N，则|PF|=|PN|，所以|PF|+|PM|=|PN|+|PM|≥MN=2−−2=4，
当且仅当M、P、N三点共线且P在MN之间时取等号（如下图所示），故B正确；
|PA|−|PM|=|PN|−2−|PM|=|PF|−|PM|−2≤|FM|−2=1，
当且仅当M、P、F三点共线且F在MP之间时取等号（如下图所示），故C正确；
对于D：抛物线C:x2=−2py，焦点F0,−p2，准线方程为y=p2，
当PF//x，此时yP=−p2，则x2=−2p×−p2，解得xp=±p，
即P−p,−p2或Pp,−p2，如图取P−p,−p2，则PF=p，OP=−p2+−p22=52p，
所以cs∠OPF=PFOP=p52p=255，故D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为 y2=−4x .
【解题思路】设抛物线方程为y2=mx,m≠0，代入点M−1,2求出m即可得抛物线方程.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为y2=mx,m≠0，于是得22=m⋅(−1)，解得m=−4，
所以所求抛物线方程是y2=−4x.
故答案为: y2=−4x.
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是 8 ．
【解题思路】根据焦半径公式求p.
【解答过程】由条件可知，p>0，
所以6+p2=10，解得：p=8，所以焦点到准线的距离为8.
故答案为：8.
15．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，则MF= 4 ．
【解题思路】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设M的坐标y24,y，利用锐角三角函数求出y，再根据抛物线的定义计算可得.
【解答过程】解：由抛物线的方程y2=4x，可得准线方程为x=−1，焦点坐标为F1,0，
设M的坐标y24,y，y>0且y24>1，
又∠xFM=60°，
∴y=3y24−1，整理得3y2−4y−43=0，解得y=23或y=−233（舍去），
所以由抛物线的定义可得FM=y24−−1=4．
故答案为：4.
16．（4分）（2022·全国·高二专题练习）设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A－1,1的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为M，若B3,2，记PB+PF的最小值为N，则M+N= 5+4 ．
【解题思路】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线x=－1的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，PB+PF最小，由点到直线距离公式可得.
【解答过程】如图所示，
过点P作PG垂直于直线x=－1，垂足为点G，
由抛物线的定义可得PG=PF，
所以点P到直线x=－1的距离为PG，
所以PA+PG=PA+PF≥AF=5，
当且仅当A、P、F三点共线时，PA+PG取到最小值，即M=5．
如图所示，
过点P作直线PH垂直于直线x=－1，垂足为点H，
由抛物线的定义可得PH=PF,
点B到直线x=－1的距离为d=4，
所以PB+PF=PB+PH≥4，
当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N=4，
因此M+N=5+4．
故答案为：5+4.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，求点P的轨迹方程.
【解题思路】由题意可知P的轨迹是以F为焦点的抛物线，由此得到出p=4，即可以求出P的轨迹方程．
【解答过程】解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，其开口方向向右，且p2=2，
解得p=4，
所以其方程为y2=8x．
18．（6分）（2021·江苏·高二课时练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
（2）过点P(2，-4)；
（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
【解题思路】(1)根据条件求出双曲线左顶点即可得解；
(2)根据给定条件设出抛物线方程，将给定点坐标代入即得；
(3)根据给定条件设出抛物线方程并设出点A坐标，结合抛物线定义列出方程即可作答.
【解答过程】（1）双曲线方程为x29−y216=1，其左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为(−p2,0)，−p2=−3，解得p=6，
所以所求抛物线方程为为y2=-12x；
（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，
将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，
所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；
（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为x=−p2，
由抛物线定义得5=AF=|m+p2|，又(-3)2=2pm，显然p，m同号，
从而得2m⋅p=92m+p=10 或2m⋅p=92m+p=−10，解得p=±1或p=±9，
所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
19．（8分）（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线y2=4axa>0的焦点为 A ，以Ba+4,0为圆心，AB长为半径画圆，在 x 轴上方交抛物线于 M、N 不同的两点，点 P 是 MN 的中点．求：
(1)a的取值范围；
(2)AM+AN的值．
【解题思路】（1）由题可得圆的方程为x−a+42+y2=16，然后联立抛物线与圆的方程，利用判别式，即得；
（2）利用韦达定理及抛物线的定义即得．
【解答过程】（1）
由题意知抛物线的焦点坐标为Aa,0，又Ba+4,0，
则AB=4，圆的方程为x−a+42+y2=16，
将y2=4ax(a>0)代入上式，得x2+2a−4x+8a+a2=0，
∴Δ=4a−42−48a+a2>0，
解得00，则36=2p×2，解得p＝9，
则抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F4.5,0，
所以焦点在经过抛物面顶点且与镜口圆面垂直的直线上，距顶点4.5m的抛物面内部，
（2）
因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，
所以每根铁筋长为2+p2=2+4.5=6.5米.
21．（8分）（2022·重庆·高三阶段练习）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
【解题思路】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程
（2）由抛物线的定义，公路总长=QF+QP≥PF，即可求公路总长最小值
【解答过程】（1）
如图，建立平面直角坐标系，由题意得，p2=0.4，则抛物线C:y2=1.6x．
（2）
如图，设抛物线C的焦点为F，则F0.4,0，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，∴P5,53，
根据抛物线的定义知，公路总长=Q'F+Q'P≥PF=5−0.42+53−02≈9.806．
当Q'与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为9.806km．
22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）设P是抛物线y2=4x上的一个动点，点F是焦点．
(1)求点P到点A−1,1的距离与点P到直线x=−1的距离之和的最小值；
(2)若B3,2，求PB+PF的最小值．
【解题思路】（1）利用抛物线定义将问题转化为求抛物线上一点P到点A−1,1的距离与其到点F1,0的距离之和的最小值，连接AF交抛物线于点P，即可求得答案；
（2）作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，连接P1F，利用抛物线定义将PB+PF转化为P1B+P1Q,即可求得答案.
【解答过程】（1）
抛物线y2=4x的焦点为F1,0，准线是x=−1．
由抛物线的定义，知点P到直线x=−1的距离等于点P到焦点F的距离，
所以问题转化为求抛物线上一点P到点A−1,1的距离与其到点F1,0的距离之和的最小值，
如图，当A，P，F共线时上述距离之和最小，
连接AF交抛物线于点P，此时所求的最小值为|AF|=22+12=5．
（2）由题意B3,2，可知22